例说运动学图像问题的分析与求解

■江苏省镇江第一中学 李更磊 白利燕

运动学图像问题不仅考查同学们对基本概念和基本规律的理解与应用,而且对同学们的读图、识图、画图、用图的能力也提出了较高的要求。同学们在遇到运动学图像问题时,需要认真观察图像,挖掘出图像描述的物理现象和物理过程,找到研究对象遵循的物理规律,建立各个物理量之间的定量关系,灵活运用数学知识完成物理问题的求解。下面选取两类典型的运动学图像问题进行分析与求解,以期能为同学们的复习备考助力。

一、横轴表示时间的图像

横轴表示时间的图像描述的是纵轴物理量随时间变化的规律,常见的横轴表示时间的图像包括x-t图像、v-t图像和a-t图像等。

1.x-t图像:描述的是做直线运动的物体的位移x随时间t变化的规律。观察x-t图像可以知道做直线运动的物体在某一时刻所处的位置,以及物体在这一位置处的速度和加速度。若x-t图像是一条平行于横轴的直线,则表示物体处于静止状态,物体的速度和加速度均为零;若x-t图像是一条倾斜的直线,则表示物体做匀速直线运动,直线的斜率表示物体的速度,物体的加速度为零;若x-t图像是一条曲线,则表示物体做变速直线运动,曲线上某点切线的斜率表示物体在对应时刻的速度,曲线上各点切线斜率的变化反映物体速度的变化。

例1一质量为m的物体放置在集装箱内,物体随集装箱一起向上运动,其位移x随时间t的变化规律如图1所示。物体受到集装箱对它的支持力用N表示,物体的速度用v表示。已知当地的重力加速度为g,以下说法中正确的是( )。

图1

A.0～t1内,v增大,N＞mg

B.t1～t2内,v增大,N＜mg

C.t2～t3内,v增大,N＜mg

D.t3～t4内,v减小,N＞mg

解析:根据x-t图像反映物体的位移x随时间t的变化规律,图像的斜率表示物体的速度可知,0～t1内,物体的位移x增加,速度v增大,加速度方向向上,物体处于超重状态,则N＞mg,选项A 正确;t1～t2内,物体的位移x增加,速度v不变,加速度为零,物体匀速上升,则N=mg,选项B 错误;t2～t3内,物体的位移x增加,速度v减小,加速度方向向下,物体处于失重状态,则N＜mg,选项C错误;t3～t4内,物体的位移x不变,速度为零,加速度为零,物体处于静止状态,则N=mg,选项D 错误。

答案:A

2.v-t图像:描述的是做直线运动的物体的速度v随时间t变化的规律。观察v-t图像可以知道做直线运动的物体在某一时刻的速度,以及物体在这一时刻的加速度。若v-t图像是一条平行于横轴的直线,则表示物体做匀速直线运动,物体的加速度为零;若v-t图像是一条倾斜直线,则表示物体做匀变速直线运动,直线的斜率表示物体的加速度;若v-t图像是一条曲线,则表示物体做变加速直线运动,曲线上某点切线的斜率表示物体在对应时刻的加速度,曲线上各点切线斜率的变化反映物体加速度的变化。

例2如图2所示,一个光滑斜面体固定在水平地面上,轻质弹簧的一端与足够长斜面上端的挡板相连,用手托住小球,使得小球与弹簧的另一端紧贴在一起,弹簧处于原长状态。现将小球向上移动挤压弹簧,使得弹簧的形变量为x,然后释放,则如图3所示的描述小球在斜面上运动时的v-t图像中正确的是( )。

图2

图3

解析:将小球向上移动挤压弹簧,使得弹簧的形变量为x后释放,在小球与弹簧接触的时间内,小球受到重力和沿斜面向下逐渐减小的弹簧弹力作用,小球的速度逐渐增大,加速度逐渐减小,其v-t图像应为一条斜率逐渐减小的曲线;在小球与弹簧脱离的时间内,小球仅受重力作用,小球的速度继续增大,加速度保持不变,其v-t图像应为一条倾斜的直线。

答案:C

3.a-t图像:描述的是物体的加速度a随时间t变化的规律。观察a-t图像可以知道物体在某一时刻的加速度,以及物体在某段时间内速度的变化情况。若a-t图像是一条平行于横轴的直线,则表示物体做匀变速运动;若a-t图像是一条倾斜直线或曲线,则表示物体做变加速运动,且直线的斜率或曲线上某点切线的斜率表示物体在对应时刻加速度的变化率。

例3一辆汽车由静止开始沿平直公路运动,其加速度a随时间t的变化规律如图4所示,以下说法中正确的是( )。

图4

A.0～t0内,汽车的平均速度为a0t0

B.第2t0末,汽车的速度为

C.t0～2t0内,汽车的位移大于

D.0～2t0内,汽车的位移等于a0t20

解析:根据a-t图像可知,0～t0内,汽车做匀加速直线运动,末速度v1=a0t0,平均速度,选项A 错误。根据a-t图像与横轴围成的面积表示速度的变化量可知,0～2t0内,汽车速度的变化量Δv=a0t0+,因此第2t0末汽车的速度,选项B 正确。作出对应的v-t图像如图5所示,根据v-t图像与横轴围成的面积表示位移可知,t0～2t0内,汽车的位移x2＞,选项C正确;0～2t0内,汽车的位移,选项D错误。

图5

答案:BC

二、横轴表示位移的图像

横轴表示位移的图像描述的是纵轴物理量随位移变化的规律,常见的横轴表示位移的图像包括v-x图像和a-x图像等。

1.v-x图像:描述的是物体的速度v随位移x变化的规律。根据v-x图像的斜率可知,物体的加速度a=kv,即v-x图像的斜率和物体速度的变化共同决定物体的加速度。

例4一辆轿车和一辆货车在同一地点,同一时刻,沿相同方向做直线运动。轿车做初速度为零,加速度大小为a1的匀加速运动;货车做初速度v0=6 m/s,加速度大小为a2的匀减速运动,运动至速度减小为零后保持静止状态。轿车和货车在运动过程中的速度—位移图像如图6所示。下列说法中正确的是( )。

图6

A.货车从开始运动至停止的过程中发生的位移为18 m

B.两车同时到达x=6 m 处

C.从两车开始运动至货车停止的过程中,两车之间的最大距离为18 m

D.从两车开始运动至货车停止的过程中,两车之间的最大距离为6 m

解析:根据匀变速直线运动规律可知,轿车的位移与速度的关系式为v21=2a1x1,变形得;货车的位移与速度的关系式为v22-v20=-2a2x2,变形得结合v-x图像可得,当v1=v2时,=6 m;当x1=x2(x1、x2大于6 m)时,v1=8 m/s,v2=2 m/s,即联立以上各式解得a1=2 m/s2,a2=1 m/s2。货车从开始运动至停止的过程中发生的位移,选项A 正确。根据匀变速直线运动的位移公式可得,轿车到达x=6 m 处所用的时间t1满足关系式x=,解得t1= 6 s;货车到达x=6 m 处所用的时间t2满足关系式解得舍去]。因为t1＞t2,所以货车先到达x=6 m处,选项B错误。当两车速度相等时,两车之间的距离最大,根据a1t=v0-a2t,解得t=2 s,则两车之间的最大距离Δx=v0t-,选项C错误,D 正确。

答案:AD

2.a-x图像:描述的是物体的加速度a随位移x变化的规律。观察a-x图像纵坐标的变化情况可以知道物体在运动过程中加速度的变化情况,确定物体是做匀变速运动还是非匀变速运动;将匀变速直线运动的位移与速度的关系式v2-v20=2ax变形得ax=,因此a-x图像与横轴围成的面积的2倍表示物体在做匀变速直线运动的过程中速度平方的变化量。

例5位于水平桌面上的物体在水平外力F的作用下由静止开始运动,以物体静止时所处的位置为坐标原点O,以外力F的方向为正方向建立x轴,则物体的加速度a随位移x的变化规律如图7所示。下列说法中正确的是( )。

图7

A.当物体的位移为x1时,物体的速度大小为

B.当物体的位移为x2时,物体的速度达到最大

D.在0～x2的过程中物体做匀加速直线运动,在x2～x3的过程中物体做匀减速直线运动

解析:根据a-x图像与横轴围成的面积的2倍表示物体在做匀变速直线运动的过程中速度平方的变化量可得,当物体的位移为x1时,物体的速度大小v1满足关系式v21=2a0x1,解得,选项A 正确。因为a-x图像与横轴围成的面积最大时,物体的末速度最大,所以当物体的位移为x3时,物体的速度达到最大,且最大速度vmax=选项B错误,C正确。观察a-x图像可知,在0～x2的过程中,物体的加速度恒定,物体做匀加速直线运动,在x2～x3的过程中,物体的加速度逐渐减小,物体做变加速直线运动,选项D 错误。

答案:AC

运动学图像的形式多样,变化多端,解决运动学图像问题的依据是基本的物理规律和物理方法,解决运动学图像问题的基本步骤是观察图像,弄清纵、横轴表示的物理量→根据物理规律推导纵、横轴表示的物理量之间的函数关系式→结合图像的斜率、截距、交点、面积等表示的物理意义列出关系式→解对应关系式回答相关问题。