随机过程理论中的三个基本概念错误

摘  要：随机过程是揭示和探讨客观世界动态随机现象数量关系及其变化规律的应用数学理论。文章分析随机过程理论在研究质点随机运动时，将质点位移与时间之间的数量关系抽象为随机变量，并用描述大量重复试验中随机事件发生可能性的概率来度量随机游走每一步向右或向左的可能性大小，以及将随机过程样本函数当作随机变量等基本概念错误。随机过程理论中出现的基本概念错误不仅导致随机过程样本轨道研究对象发生错位，而且也为自然科学、工程技术和社会科学提供错误的理论、方法及工具。

关键词：随机过程;样本轨道;随机变量

中图分类号：G642      文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2022）06-0096-04

Abstract： Stochastic process is an applied mathematical theory that reveals and discusses the quantitative relationship and changing laws of dynamic random phenomena in the objective world. This paper analyzes the random process theory when studying the random movement of the particle， abstracting the relationship between the displacement of the particle and time as a random variable， and measuring the possibility of right or left in each step of random walk by the probability of a random event occurring in a large number of repeated trials， and treats the sample function of random process as a random variable. The basic conceptual errors in the stochastic process not only lead to the dislocation of the research object of random process sample path， but also provide wrong theories， methods and tools for natural sciences， engineering technology and social sciences.

Keywords： stochastic processes; sample path; random variable

數学概念是人脑对客观事物的数量关系和空间形式的思维反映。数学概念虽然远离了直观的经验世界，但却能更深刻地反映客观世界的本质。数学学科通常运用定义的形式来明确数学概念的内涵——对象“质”的特征，及其外延——对象“量”的范围。数学概念是建立数学理论和其他科学理论的基石，如果对数学概念所表达的内涵和外延出现误解和误用，则建立的科学理论就像基础不牢的高楼大厦一样，迟早会发生地动山摇般的坍塌。

一、函数基本概念

函数定义：在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，则称变量y为变量x的函数，记作：

y=f（x），    （1）

其中：变量x称为自变量，变量y称为函数。

函数f（x）通常有三种表示方法：解析法、列表法和图像法。

观察质点位移x（t）随时间t的变化过程（图1），无论质点做确定性运动还是随机性运动，在每一个确定的时刻，都有唯一一个确定的质点位置与时间“一一对应”，因此，质点位移x（t）与时间t之间的数量关系为确定性的函数关系。

牛顿在研究质点运动时，将质点位移与时间之间的数量关系抽象为时间函数x（t），而随机过程理论在研究质点位移与时间之间的数量关系时，竟将质点在t时刻的位置x抽象为t时刻的随机变量X（t），而随机变量X（t）和样本轨道x（t）是两个具有不同内涵和外延的单值函数。

随机过程理论将质点位移与时间之间的数量关系抽象为随机变量，得出了一系列与事实明显不符的结论。例如，随机过程理论将一个布朗粒子的位移x（t）当作随机变量X（t）[1]，得出了布朗粒子位移服从正态分布的结论（图2）。

假设布朗粒子的位移服从正态分布，则布朗粒子的位移曲线应具有如下两个特点。

（1）对称性。位移曲线关于原点对称。

（2）集中性。布朗粒子在原点附近出现的次数最多。

但从图2的布朗粒子位移曲线可以看出，布朗粒子位移曲线具有明显的线性趋势不符合正态分布的“对称性”和“集中性”。

事实上，爱因斯坦布朗运动理论关于“布朗运动服从正态分布”的结论指的是大量布朗粒子在某一时刻的空间位置分布（图3），而不是具体某一个布朗粒子的位移性质，大量布朗粒子在t时刻的位移x1（t），x2（t），…，xi（t），…是随机变量X（t）在t时刻的状态。

质点位移是时间的函数，但是随机过程理论却将质点位移错误地抽象为随机变量，导致研究对象从一个质点改变为大量质点，必然会得出一系列与事实不符的结论。

二、概率基本概念

概率定义：在相同条件下重复进行n次试验，其中事件A发生的次数为nA，如果随着试验次数n的增多，事件A发生的频率nA/n会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。

从概率定义可以看出，概率p是描述试验次数n足够大时随机事件发生可能性大小的数量指标，概率p不能用来描述试验次数n较小，特别是n=1时的随机事件发生可能性。但是随机过程理论恰恰就用概率p来度量n=1时的随机事件发生可能性大小[2-3]。

以一维随机游走为例，随机过程理论是这样定义随机游走的：设想一个质点在直线的整数点上运动，假设质点从原点出发，每隔Δt时间以概率p向右移动一步，或以概率q=1-p向左移动一步，则定义质点在第n步时的位置x（n）为从原点出发的随机游走。

当p=q=0.5时，可用抛掷一枚均匀硬币来模拟随机游走，若每次抛掷硬币的结果为正面向上，则质点向右移动一步;如果为反面向上，则质点向左移动一步。

对于抛硬币试验，实际频率与概率0.5之差与试验次数n的平方根成反比[4]，试验次数n较小时，实际频率变化剧烈，即使在n=100时，实际频率也在0.35～0.65波动，频率没有稳定性。只有当试验次数n充分大时，频率才会逐渐稳定于概率0.5。表1为历史上一些著名数学家的抛硬币试验结果。

概率0.5是描述抛硬币试验次数n充分大时的统计参数，不能用来描述一次抛硬币结果出现正面或反面可能性的大小。这就如同物理学中的温度是用来度量分子集体热运动平均动能的统计参数，不能用来度量一个分子的动能。

对于从原点出发的一维简单随机游走，当步数n充分大时，质点向左与向右的步数大致相等，各占步数n的比例（频率）会逐渐稳定于概率0.5。当步数n=1时，频率不是0就是1，不存在稳定的频率值，因此，随机过程理论用概率0.5來描述n=1时质点向左或向右的可能性，是对概率定义的内涵及外延出现了根本性的理解错误和应用错误。

随机过程理论用概率p和q来描述每一次抛硬币出现正面和反面的可能性，或用概率p和q描述随机游走每一步向右或向左的可能性，如同用温度来度量一个分子的动能一样荒谬，由此推导出的随机游走性质及结论必然与事实不符。

随机游走第n步时的位置x（n）是步数n或时间nΔt的函数，用概率描述每一步向右和向左的可能性，意味着随机过程理论将质点位移x（n）当作随机变量X（n），无形中导致研究对象从一个质点变为大量质点。

三、随机过程基本概念

随机过程定义：依赖参数t∈T的一族随机变量X={X（t），t∈T}称为随机过程。

事实上，X（t）是定义在Ω×T上的二元函数X（ω，t）。对于固定的时间t，X（ω，t）是状态ω的函数，称为随机变量，记为X（t）;对于固定的状态ω，X（ω，t）是时间t的函数，称为样本函数或样本轨道，记为x（t）。

一个样本函数x（t）对应着随机试验中的一次“测量结果”，即人们实际观察到的随机现象随时间演变过程，因此x（t）也被称为随机过程的一个“实现”，图5为随机过程X（ω，t）、随机变量X（t）和样本函数x（t）三者之间的关系示意图。

图中的三条样本函数曲线x1（t），x2（t）和x3（t）可分别看成是三个随机运动质点的位移曲线，所有质点在t时刻的位置（图中灰点）就是随机变量X（t）在t时刻的状态。

随机过程X（ω，t）既可看成是所有样本轨道x（t）的集合，也可看成是所有随机变量X（t）的集合。

从图5可以看出，随机变量X（t）和样本函数x（t）具有完全不同的物理意义。随机变量X（t）用来描述大量质点的空间统计特性，样本函数x（t）则用来描述一个质点的时间运动规律。

根据随机过程的定义，随机变量X（t）和样本轨道x（t）是两个具有完全不同内涵与外延的单值函数，但是，随机过程理论在研究随机游走和布朗运动样本轨道的性质时，却将样本轨道x（t）当作随机变量X（t）[5]，因而出现了一系列与事实不符的谬误。

图6为1 000个布朗粒子的样本轨道，所有样本轨道x（t）在t时刻的函数值服从（0，tσ2）正态分布，但是对于其中的任何一条样本轨道，都随时间向远离原点的方向扩散，显然不具有正态分布的“对称性”和“集中性”。

随机过程理论混淆了样本轨道与随机变量之间的区别，无形中使研究对象从一条样本轨道改变为所有样本轨道的集合，并将随机变量的统计特性当作样本函数随时间的演变规律，因而出现了“布朗运动样本轨道服从正态分布”和“布朗运动样本轨道处处不可导”的谬误。

四、典型错误分析

维纳根据爱因斯坦布朗运动理论“大量布朗粒子在某一时刻的位置分布服从正态分布”的结论，从随机变量的角度对布朗运动进行了定义。

维纳过程定义：设{X（t），t≥0}为随机过程，如果

（1）{X（t），t≥0}为平稳独立增量过程;

（2）X（0）=0;

（3）对任意的t≥0，X（t）～N（0，σ2），其中σ>0为常数。则称X（t）是参数为σ2的布朗运动，或维纳过程。

维纳过程仅从空间维度定义了布朗运动随机变量X（t）的统计特性，并没有在时间维度上对布朗运动样本轨道x（t）进行定义，因此，维纳过程不能直接用来描述布朗粒子随时间演变的过程。但是在随机过程理论中，人们将X（t）当作布朗运动样本轨道x（t）的定义及模型，推导出了与事实严重不符的谬误。

以布朗运动样本轨道可导性为例，如果布朗运动样本轨道x（t）可导，则下述时间函数的极限存在

随机过程理论在求解式（2）的极限时，用随机变量X（t）取代了x（t）[6-7]，于是有：

式（3）为随机变量的极限，根据维纳过程定义，其方差为

当Δt趋于零时，式（4）趋于无穷大，式（3）的极限不存在，因此随机过程理论得出了“布朗运动样本轨道处处不可导”的错误结论，与物理学观察实验结果严重不符。

2010年，美国得克萨斯大学的李统藏成功测量到了直径为3 μm的单个布朗粒子瞬时速度[8]。李统藏的实验结果表明：布朗粒子的瞬时速度波形为白噪声（图7），布朗粒子的瞬时速度（导数）不仅存在，而且可观测。

李统藏的布朗粒子瞬时速度测量结果在《科学》杂志上发表后在全球引起了极大反响，《科学》杂志专门为李统藏的论文配发了录音采访，《自然》杂志随后也迅速报道了该实验，美国明尼苏达大学等学校的相关课程已经将该实验作为教学内容。

事实上，根据维纳过程定义中“布朗运动为平稳独立增量过程”的假设，就可以得出单个布朗粒子的瞬时速度v（t）在不同时刻互不相关的结论，因此可直接写出布朗粒子瞬时速度v（t）的自相关函数：

Rv（τ）=N0δ（τ），        （5）

式中：τ为时间间隔，N0为正实常数，δ（τ）为单位冲击函数。

根据维纳-辛钦定理，可得单个布朗粒子瞬时速度v（t）的功率谱密度：

Sv（ω）=N0，           （6）

即v（t）的功率谱密度在整个频率轴上均匀分布，表明v（t）为平均功率为N0的白噪声n（t）。

由于单个布朗粒子的瞬时速度就是维纳过程样本轨道的导数，有

v（t）==n（t） ，          （7）

因此，可得维纳过程样本轨道x（t）的数学模型：

x（t）=x（0）+n（t）dt ，                 （8）

即维纳过程样本轨道x（t）为白噪声n（t）在[0，t]区间上的积分。

式（8）的积分上限随时间t变化，因此维纳过程样本轨道x（t）为非线性时变数学模型。式（8）不仅能揭示单个布朗粒子的运动规律和大量布朗粒子的统计特性，而且还能预测单个布朗粒子未来的发展趋势和变化结果[9]。

事实上，将式（8）的样本轨道x（t）代入式（2），有

式（9）右边为白噪声n（t）在Δt区间上的算术平均值，其物理意义为白噪声n（t）在区间Δt上的直流分量，因此，其极限存在并且有限，表示布朗运动样本轨道x（t）可导。

五、结论

随机过程是以数学为工具，研究并解决自然科学、工程技术和社会科学等领域中动态随机现象及实际问题的应用数学学科，《随机过程》教科书中出现的函数、概率和随机过程基本概念错误，不仅导致随机过程自身研究对象发生错位，而且也为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的理论、方法及工具。“与实际结合，问题驱动”是应用数学学科发展的不竭动力和重要特征，因此，随机过程学科必须要迅速纠正现有《随机过程》教科书中的基本概念和研究方法错误，在全新范式下重建隨机过程样本轨道理论。随机过程学科样本轨道研究方法的变革，将颠覆和改变现有自然科学、工程技术和社会科学对动态随机现象的认识，引发一场持久广泛的科学革命，同时也为中国的随机过程学科进入世界一流前列提供了千载难逢的历史性发展机遇。

参考文献：

[1]何书元.随机过程[M].北京：北京大学出版社，2013.

[2]钱敏平，龚光鲁，陈大岳，等.应用随机过程[M].北京：高等教育出版社，2017.

[3]方兆本，缪柏其.随机过程[M].北京：科学出版社，2014.

[4]抛硬币试验误差模型及分布规律[EB/OL].https：//zhuanlan.zhihu.com/p/344444585.

[5]王梓坤.布朗运动的若干结果[J].数学通报，1993（6）：35-38.

[6]Sheldon M.Ross.应用随机过程：概率论模型导论[M].龚光鲁，译.北京：人民邮电出版社，2016.

[7]Gregory F. Lawler.随机过程导论[M].张景肖，译.北京：机械工业出版社，2013.

[8]Tongcang Li， S. Kheifets， D. Medellin， et al. Raizen. Measurement of the Instantaneous Velocity of a Brownian Particle[J]. Science， 2010（25）：1673-1675.

[9]高宏.公理化方法重建布朗运动理论[J].数学学习与研究，2020（23）：133-134.