非连续Lur’e时滞网络的有限时间聚类同步与自适应控制

汤 泽 高 悦 王 艳 丰建文

(1.江南大学物联网工程学院,江苏无锡 214122;2.江南大学物联网应用技术教育部工程研究中心,江苏无锡 214122;3.深圳大学数学与统计学院,广东深圳 518060)

1 引言

复杂网络是一个跨学科的概念,其问题的来源其实是各种实际网络,比如通信网络、生物神经网络[1]、社会网络、电力网络等等.通过数学图论的方法[2],可以将这些实际的网络转变成由点和线构成的抽象网络.通过研究抽象网络的共性及其处理的普适方法,可以为实际网络的分析提供理论指导.因此,对复杂网络进行深入的研究具有重要的现实意义[3].

近些年来,学者们针对复杂网络中特殊的集群现象-同步,提出了不同的模式,如全局同步[4]、聚类同步[5]、相位同步[6]等.其中,聚类同步是一类特殊的同步模式,它将整个网络分为不同类,属于同一类中的系统需要达到同步,而对于不同类间的系统状态却并无该要求.在目前多数的网络同步研究中,达到同步所需的时间是不确定并很难估计的.而在实际工程应用中,为了节约时间成本,人们往往希望加快收敛速率,在有限时间内实现网络同步.同时,有限时间同步意味着同步收敛时间的优化,它具有更好的鲁棒性和抗干扰能力[7].例如,文献[8]研究了非理想变时滞神经网络的有限时间同步问题,并设计了合适的滑模控制器和切换增益.此外,文献[9]介绍了一种新颖的非奇异终端滑模控制,同时提出了一种用于操作系统中位置跟踪的自适应有限时间控制方法.

众所周知,Lur’e系统是一类特殊的非线性系统,常见的Lorenz系统、Goodwin模型、蔡氏电路都可以看作Lur’e系统.目前,针对Lur’e系统的研究也层出不穷.例如,文献[10]研究了受非周期采样数据影响的混沌Lur’e系统的非周期事件触发主从同步.而文献[11]研究了具有多个时变时滞和随机扰动的耦合Lur’e网络的指数同步问题.

由于不连续系统在现实生活中的广泛应用,由不连续动力系统耦合而成的复杂动态网络的同步问题也逐渐受到了越来越多的关注[12-13].特别地,处理带有右端不连续的微分方程,需要引入广义解的概念.到目前为止,有两种定义带有右端不连续的微分方程广义解的方法:第1种方法利用微分包含的概念,比如Filippov解[13]、Krasovskij解;而第2种方法典型的有Hermes解、Euler解,根据一些算法找到近似解,然后将近似解的统一极限作为广义解.例如,文献[12]研究了一类具有时变时滞和非连续激活函数的神经网络的驱动响应同步问题,并同时考虑了状态反馈控制和自适应控制技术.随后,文献[13]在Filippov解的框架下,基于微分包含理论,通过构造非光滑Lyapunov函数,讨论了具有不连续和分布式时变时滞的神经网络的有限时间同步问题.以上讨论的是具有不连续激活函数的神经网络的有限时间同步问题,对于不连续复杂网络的有限时间聚类同步,尤其是考虑网络具有时变时滞以及非线性耦合现象的,目前尚未见有关研究结果.

基于上述讨论,本文主要研究一类具有多重耦合的非恒同非连续Lur’e网络的有限时间聚类同步问题,通过引入Filippov微分包含概念,巧妙设计牵制控制器,并应用有限时间稳定性定理和Lyapunov稳定性定理,得到该网络实现有限时间聚类同步的判定条件.本文的主要贡献体现在4个方面:1)不同于文献[21],本文考虑一类具有时变时滞和非线性耦合的非恒同不连续Lur’e网络,该网络模型将更接近实际的工程应用系统;2)由于传统的线性化扇形条件对本文的非连续Lur’e系统不再适用[17-18],本文引入Filippov微分包含概念,将非连续函数转变为集值函数,根据测度选择定理选择出与非连续函数对应的可测函数,并据此进行非线性函数的线性化处理;3)通过巧妙设计负反馈牵制控制器来控制当前聚类中与其他聚类有直接联系的少量节点,同时,根据设计自适应控制的更新定律获得最优控制强度,相比于文献[12],可以有效减少控制成本;4)根据有限时间稳定性定理,给出网络实现聚类同步的收敛时间,这意味着同步收敛时间的优化,与文献[4-5]相比,极大地节省了控制所需的时间成本.

2 准备工作

首先,本文给出具有聚类型拓扑结构复杂网络的相关定义.复杂网络中的N个节点可以分为个类且满足N >≥2.若第i个节点属于第j类(i=1,2,···,N,j=1,2,···,),则定义µi=j.令Λj表示属于第j类的所有节点组成的集合,表示属于第j类且和其他类有直接连接的节点组成的集合.根据上述定义,有以下关于集合的性质:

注1本文研究由不连续Lur’e系统耦合而成的动态网络的有限时间聚类同步问题.根据上述假设可知,假设2中不等式是针对每一个不连续点进行非线性数量值函数的线性化估计.对应的,可以给出非线性向量值函数的线性化估计形式

3 非连续Lur’e网络自适应有限时间聚类同步

本节将设计牵制控制器使非恒同非连续Lur’e网络(1)和目标系统(2)能够在有限时间内达到聚类同步.同时,对于时变控制强度,设计自适应更新定律,并根据有限时间稳定性定理,给出相应的同步收敛时间.

针对上述网络,设计负反馈牵制控制器

其中系数εi >0.

注2对比文献[12]中控制器的设计ui(t)=-ki(t)-ηisgn(ei(t)),该控制器施加在网络中所有节点上,本文控制器(4)只施加在不同聚类间有直接连接的Lur’e系统上,此控制更易实现且能有效降低控制成本.同时,控制器中项

主要用于减弱不同聚类间因Lur’e系统相互连接造成的影响,而控制器中除此之外的其他项则主要用于驱使属于同一聚类中的所有非连续Lur’e系统实现有限时间同步.

根据定义2和引理5,可得

则在牵制控制器(4)和自适应更新定律(5)的作用下,非连续Lur’e网络(1)和目标Lur’e系统(2)在有限时间内能够实现聚类同步,且其同步收敛时间可以估计为

根据式(6),计算V(t)关于时间t的集值Lie导数,并应用引理5可得

注4在复杂网络的有限时间同步问题中,控制器通常设计为-ρ•sgn(ei(t))|ei(t)|α,0 ≤α≤1,本文将根据α的不同取值分3种情况进行讨论.首先,当α=0时,控制器为-ρ•sgn(ei(t)),由于符号函数sgn(•)的存在,此控制器是不连续的,这种控制器专为不连续系统设计,能抵消因应用测度选择定理造成的差异性;其次,当0＜α ＜1时,控制器是连续的,此控制器将主要应用于连续系统中;最后,当α=1时,控制器为-ρ•ei(t),这是一个典型的线性负反馈控制器,主要用于解决系统的渐进稳定问题.

注5在文献[7-9,19-21]中,对有限时间同步问题进行了相应的研究.特别地,在笔者先前的工作[21]中,对非连续复杂网络的有限时间同步问题进行了讨论,但在网络的模型和控制器中并没有考虑系统中存在的时间延迟,而时间延迟会导致系统振荡及发散等问题,从而对系统性能造成一定的影响.因此,在本文中,考虑了非恒同带时变时滞的网络模型,并且分别在控制器和Lyapunov函数中设计项

来实现带耦合时滞网络的有限时间同步.同时,在文献[21]的数值模拟部分,控制器控制强度被设置为固定的d3=1.5,d4=2,这往往会大于实际所需的控制强度.为了有效的节省控制成本,本文在控制器(4)中针对时变控制强度li(t)设计了相应自适应更新定律.相应的,设计控制器中ηiΩ(ei(t))(|li(t)|+)与Lyapunov函数中项来实现控制强度在有限时间内达到最优.综上所述,本文对比笔者之前的工作有了很大的改进.

若考虑网络(1)由连续的Lur’e系统组成,则假设2中由测度选择定理造成的差异性=0,本文有如下推论.

假设3假设函数在Rm上连续可微,存在非负常数使得

i=1,2,···,N,对任意向量s,z ∈Rm成立.

推论1若假设3成立且函数gk(·)∈NCF(ξ,δ),ξ >δ >0,k=1,2,···,n.如果存在正常数z′和β′使得定理1中条件1,2成立,则在控制器(4)和自适应更新定理(5)的作用下,连续Lur’e网络能在有限时间内能够实现聚类同步,且同步收敛时间可以估计为

4 数值仿真

本节将给出一个数值仿真来验证文中提出的非连续Lur’e网络有限时间聚类同步判定方法和控制器设计的正确性和可适用性.

考虑由10个Lur’e系统耦合而成的复杂动态网络并将其分为3个聚类(Λ1={1,2,3},Λ2={4,5,6},Λ3={7,8,9,10}),其中每个聚类中Lur’e系统的动力学方程如下:

根据网络的拓扑结构图1,第1个聚类中Lur’e系统3,第2个聚类中Lur’e系统4,第3个聚类中Lur’e系统9,10与其他聚类中的Lur’e系统有直接连接,故将在这4个Lur’e系统上施加控制器,并设置控制器参数ρ=2,=5,ηi=0.6,αi=0.3,εi=0.5,通过计算可得到可行的z,β使定理1中条件成立.由网络的系统参数可得V(0)=15.9,则此网络的同步收敛时间为T=13.2.

图1 Lur’e网络的拓扑结构Fig.1 The topology of Lur’e network

证明定理满足后,本文在图2中分别绘制了3个聚类中各Lur’e系统的状态演化曲线.由图2可知,在每个聚类内部,随着时间t趋于同步收敛时间T,各Lur’e系统的3个状态都分别趋于一致.定义该网络3个聚类同步误差分别为

图2 3个聚类中Lur’e系统状态演化曲线Fig.2 The state evolution curves of Lur’e systems in three clusters

图3表示3个聚类的同步误差曲线.显然,在同步收敛时间T内,误差曲线趋近于零.最后,图4给出了自适应控制强度li(t)的演化曲线.以上数值仿真说明了非连续Lur’e网络在所设计的控制器和自适应更新定律下能够实现有限时间的聚类同步,证明了本文结论的有效性.

图3 3个聚类的同步误差曲线Fig.3 Synchronization error curves of three clusters

图4 自适应控制强度li(t)的演化曲线Fig.4 Adaptive control strength li(t)evolution curves

5 结论

本文研究了一类非连续具有时变时滞耦合的Lur’e复杂网络的有限时间聚类同步问题.针对非连续Lur’e系统函数,本文引入了Filippov微分包含理论,并且设计了有效的牵制控制器.通过充分考虑Lyapunov稳定性定理及有限时间稳定性理论,得到了该网络在有限时间内达到聚类同步的充分判据,同时给出了网络达到聚类同步的收敛时间的估计.此外,针对时变反馈强度,本文设计了自适应更新定律以获得最优控制强度.最后,数值仿真的结果充分验证了本文控制器设计及同步判据的有效性和可行性.此外,具有多重脉冲效应和受到随机扰动下非连续复杂网络的有限时间聚类同步问题将会是今后的研究重点之一.同时,拓宽文中处理非连续网络方法的应用条件也是未来需要解决的问题.