运用于弧形闸门的鱼腹式桁架的合理弦杆线形研究

郑铁恒

（中铁工程设计咨询集团有限公司，北京 100055）

0 引言

鱼腹式桁架具有跨度大、承载力高、轻便省材、造型美观等优点，如今已逐渐被运用于水工闸门领域[1]。在直升式弧形闸门中鱼腹式桁架通常作为水平向主梁，弧形挡水面板设在鱼腹式桁架的上弦杆，水压力通过面板和肋梁传递到鱼腹桁架式主梁，所以鱼腹式桁架所受到的外荷载为垂直于上弦杆轴线的均布水压力。目前国内外基于水压力工况所开展的鱼腹式桁架线形研究工作相对较少，为使水工领域的鱼腹式桁架发挥出较好的力学性能，文中以一榀两端简支的空腹鱼腹式桁架为例，对鱼腹式桁架的合理线形进行理论推导与有限元验证。

1 鱼腹式桁架合理线形推导

1.1 上弦杆轴线方程推导

假定鱼腹式桁架在水压力q1的作用下，上弦杆主要受轴向压力作用，下弦杆主要受轴向拉力作用，腹杆为仅受轴向压力的二力杆，且各腹杆轴力相等，其计算简图如图1 所示。分别取上弦杆和下弦杆为隔离体进行受力分析。将上弦杆视为存在水平推力的三铰拱结构，其结构计算简图如图2 所示，其中l 为拱的跨度，f 为拱的失高，F 为腹杆对弦杆的作用力。由于F 沿跨度方向等间距布置，故可将其简化为沿x 向分布的均布力q2，易知q2=10F/l。同时将水压力q1沿x 轴和y轴进行分解，则上弦杆的计算简图转变为图3 所示。

图1 鱼腹式桁架计算简图

图2 上弦杆初始计算简图

图3 上弦杆简化后的计算简图

在一定荷载作用下使拱各截面处于均匀受压状态的轴线称为合理拱轴线[2，3]，即上弦杆各个截面均应处于无弯矩状态。此时，材料能得到充分利用，杆件的截面尺寸最为经济。对上弦杆任意截面求矩得：

进一步化简得：

由此可知，上弦杆轴线方程是椭圆方程，其中q1与水压力有关，为已知量，q2与腹杆的轴力有关，为未知量。

1.2 下弦杆轴线方程推导

同理，鱼腹式桁架的下弦杆可简化为受均布荷载的三铰弧形拉杆，其计算简图如图4 所示。

图4 下弦杆计算简图

同样对下弦杆任意截面求矩可得到下弦杆的轴线方程：

由式（3）可知，下弦杆轴线方程是抛物线方程。

1.3 上下弦杆的变形协调

水工闸门中的鱼腹式桁架是受对称荷载的对称结构，故其跨中部位的x 向位移为0，y 向位移最大。由于腹杆的压缩刚度较大，故可忽略腹杆的压缩变形，将上下弦杆的跨中y 向位移相等视为结构的变形协调条件。由于上下弦杆的剪力和弯矩处处为0，故仅考虑轴力项对弦杆位移的影响。根据虚力原理[4，5]，结构位移的计算公式为：

分求出上弦杆在沿y 向分布的均布力q1和沿x向分布的均布力q1-q2作用下中间铰点C 的y 向位移ΔKF1和ΔKF2，其公式如下：

由于l2＞＞f2，故近似地取q1=2q2，代入式（2）中可得上弦杆的轴线方程为：

1.4 鱼腹式桁架位移和内力求解

将q1=2q2代入式（5）、式（6）中，可进一步求得：

由此可知，当鱼腹式桁架弦杆的矢跨比越小，水压力q1的x 向分量对结构y 向位移的影响也越小。令f/l=1/10，则可求得ΔKF1/ΔKF2=2.44%。可见，在正常的矢跨比区间内，q1的x 向分量对鱼腹式桁架y 向位移的影响较小。

2 鱼腹式桁架合理线形的有限元验证

2.1 ANSYS 有限元建模

由于上一节的理论推导工作是建立在部分假定和简化的基础上进行的，难免会存在误差。所以将采用ANSYS 有限元软件对理论推导结果的合理性进行验证。

采用ANSYS 软件建立跨度l=22m，上下弦杆的矢高f=2m 的单榀鱼腹式桁架。上下弦杆的线形分别按式（10）和式（3）的轴线方程来进行建模。弦杆的截面尺寸为400×16，腹杆的截面尺寸为299×14，钢材的钢号为Q355。闸门结构受上游水压作用将产生弯矩、剪切、拉压等内力[4-6]，而BEAM188 单元是一个二节点的三维线性梁单元[7]，可以较好地模拟弦杆的受力状态。

LINK8 单元是沿杆轴方向的拉压单元，可以较好地模拟腹杆的受力状态。故采用BEAM188 单元和LINK8 单元分别模拟鱼腹式桁架的弦杆和腹杆。外部水压力q1的大小为291.4kN/m。如此，就建成了受力简图与图1 基本相同的有限元模型，如图5 所示。

图5 鱼腹式桁架有限元模型

2.2 有限元计算结果与理论推导结果对比

通过对模型的静力分析得到桁架弦杆的轴力图、剪力图和弯矩图如图6～图8 所示。由图6～图8 可知，上下弦杆的轴力较为均匀，剪力和弯矩相对较小。弦杆的剪力最大值156.92kN，仅为轴力最小值4210.80kN 的3.73%。上下弦杆杆端弯矩55.17kN·m，上弦杆的跨中弯矩为53.82kN·m，均较小。下弦杆的跨中弯矩为152.71kN·m，接近于弦杆弯矩的最大值，但相比于较大的轴力值，其偏心距e 仅为弦杆截面高度h 的8.66%。有限元计算结果中弦杆之所以会产生剪力和弯矩主要是由于实际模型中腹杆的内力并非均布力，而是集中力。有限元计算结果表明，弦杆接近于轴心受力构件，所以在理论推导中将上下弦杆简化为两端和跨中铰接的仅受轴向力的三铰杆结构具有一定的合理性。

图6 鱼腹式桁架弦杆轴力图

图7 鱼腹式桁架弦杆剪力图

图8 鱼腹式桁架弦杆弯矩图

将鱼腹式桁架有限元模型的腹杆轴力值按照与图5 中相对应的腹杆编号顺序列于表1 中。由表1 可知，有限元模型中各腹杆的轴力大小非常接近，轴力平均值为309.23kN，与理论推导的腹杆轴力值320.57kN相差3.54%。可见，腹杆轴力的有限元计算结果与理论推导结果较为吻合，所以在理论推导中将腹杆的集中力简化为均布力具有合理性。

表1 有限元模型的腹杆轴力kN

将有限元模型的弦杆轴力数据与理论推导结果进行对比，如表2 所示。由表2 中的数据对比可知，弦杆轴力的有限元计算结果与理论计算结果的偏差不超过5.49%，且上下弦杆的轴力绝对值从支座向跨中呈现的变化趋势与理论推导的结果相符。

表2 有限元计算与理论推导的弦杆轴力对比

通过上述有限元计算结果和理论推导结果的对比可以发现二者内力的吻合度较好，产生少量内力偏差的原因主要是由于有限元模型中腹杆为集中力，而理论推导中为了形成导函数连续的轴线方程，将该集中力简化为均布力，这导致二者在弦杆节间存在内力偏差，但并不影响桁架整体的内力分布状态。所以我们选用式（3）和式（10）的作为弦杆的轴线方程，具备合理性。

3 结语

（1）以均布水压力作用下的空腹鱼腹式桁架为力学模型，在部分力学假定的基础上进行弦杆轴线方程理论推导，得出鱼腹式桁架的上弦杆的轴线方程接近于椭圆方程，下弦杆的轴线方程接近于抛物线方程，轴线方程主要与鱼腹式桁架的跨度l 和弦杆的矢高f 相关。

（2）根据理论推导出的弦杆轴线方程建立鱼腹式桁架有限元模型并进行内力分析。分析结果表明，弦杆主要受轴力作用，其弯矩和剪力均较小，说明轴线方程接近于仅承受轴向力的合理杆轴线。各腹杆的轴力值十分接近且与理论计算结果仅相差3.54%，所以理论推导中将弦杆视为三铰杆的假定以及将腹杆集中力简化为均布力的假定是合理的。

（3）根据理论推导出的弦杆轴线方程所建立的鱼腹式桁架有限元模型，其弦杆轴力值与理论推导的轴力值相近，差值不超过5.49%，且轴力沿弦杆的分布也与理论推导结果基本吻合，验证了理论推导所得出的弦杆轴线方程的合理性与适用性。