基于伪辛空间的（m，0，0，1）型子空间的子空间码构造

2022-03-22高晋如

中国民航大学学报 2022年1期

高有，高晋如

（中国民航大学理学院，天津300300）

随着人类对通信网络需求的增加，通信领域的发展也越来越快，传统的通信模式已无法满足人们日益增长的社会通信需求，因此新的理论和技术不断产生。传统的随机线性网络编码是网络中传播信息的有力工具，但易受各种来源导致的错误影响，当利用接收到的分组随机线性组合推导出所发送的消息时，即使一个错误分组中的单个错误也可能使整个传输变得无用。因此，随机线性网络编码的差错控制非常关键，近年来也受到越来越多的关注。子空间码作为网络编码中的一个重要组成部分[1-2]，具有一定的检错与纠错能力，与传统纠错码的区别是子空间码将每个子空间看作一个码字，定义一个子空间距离，子空间距离的大小可以用来衡量该子空间码的检错与纠错能力。

目前，国内外学者对于子空间码的研究已有很多优秀成果。Koetter 等[3]提出了线性算子信道模型与Reed-Solomon-like 码，并给出了关于子空间码的第一组详述结果，打开了研究子空间码的大门；此外，他们计算得到了子空间码的Sphere-Packing 界、Gilbert 界及常维码的Singleton 界，这些性能界虽然比较宽泛但具有广泛的适用性。Xia 等[4]研究并计算得到了常维码的部分上下界，给出了目前为止一类最优的上界，并证明了常维码达到一类上界的充分必要条件，在此基础之上发现了一类最优常维码。近几年，关于常维码的研究仍在继续，文献[5-10]基于有限域上不同几何空间（仿射空间、奇异线性空间、酉空间、辛空间）的子空间的几何性质构造常维码，研究解决了子空间码的一些性能界。目前，国内外并没有基于伪辛空间的子空间构造子空间码及研究所构造的子空间码的码字个数上下界的相关研究成果，因此，基于伪辛空间的（m，0，0，1）型子空间构造子空间码，并利用伪辛空间的相关几何性质研究并计算所构造的子空间码的球填充界、Singleton 界、Gilbert-Varshamov 界和Wang-Xing-Safavi-Naini 界，对于网络编码中常维数子空间码的理论研究具有一定的意义。

1 伪辛空间及其计数定理

伪辛空间的基本概念及相关计数定理[11]如下。

设Fq是一个有限域，含有q 个元素，其中q 是一个素数的幂。设S 是Fq上n×n 的非奇异非交错对称矩阵，若Fq上n×n 的矩阵T 满足TSTT=S，则称T 关于S 是伪辛的。这些满足条件的T 关于矩阵乘法构成一个群，称为Fq上关于S 的伪辛群，记作PSn（Fq，S）。

定理1设S 是Fq上n×n 的非奇异非交错对称矩阵，若n=2v+1 为奇数，v∈N，则S 合同于S1=若n=2v+2 为偶数，则S 合同于S2=

Fq上关于S1和S2伪辛群记作PS2v+1（Fq，S1）和PS2v+2（Fq，S2），简记为PS2v+1（Fq）和PS2v+2（Fq），合记作PS2v+δ（Fq），其中δ=1，2。

定义1设P 是一个（m，2s + τ，s，ε）型子空间（τ =0，1，2；ε=0，1），满足条件：①PSδPT合同于L（m，2s+τ，s）；②ε=0 时，e2v+1∉P；ε=1 时，e2v+1∈P（ei表示第i 个位置的单位向量）。

定理2伪辛空间中，（m，2s+τ，s，ε）型子空间存在的充要条件是

式中：当δ =1 时，n0=0；当δ =2 时，（τ，s）=（0，0）对应n0= m，（τ，ε）=（0，1）对应n0= 0，其他情况对应n0=2（v+1）-m。

对于一个（m，2s+τ，s，ε）型子空间，其中含有（m1，2s1+ τ1，s1，ε1）型子空间的数目记作N（m1，2s1+ τ1，s1，ε1；m；2s+τ，s，ε；2v+δ）。

定理3在伪辛空间中，存在（m，2s+τ，s，ε）型子空间，则

式中n1=m1，m1，m-m1+2s1，2（m-m1+2s1）分别对应（τ，τ1）=（0，0），（2，0），（2，1），（2，2）。

式中n2= 0，0，m - m1+ 2s1分别对应（τ，τ1）=（0，0），（2，0），（2，2）。

2 子空间码的构造及其界的计算

2.1 子空间码的构造

取C⊆M（m，0，0，1；2n + 2），C 中共含有M 个（m，0，0，1）型子空间，将C 中任一子空间记作一个码字，则码字个数为M，取C 的任意两个码字U 和V，定义

从而定义集合C 的最小距离为

d（C）=min{d（U，V）|U≠V，U，V∈C}则称C 是一个（2n+2，M，d，（m，0，0，1））q码。记Aq（2n+2，d，（m，0，0，1））表示子空间码C 所含有的最大码字个数。由定义可知，d 是偶数，所以只需考虑d=2α（α∈N）。

2.2 子空间码的界

定义2以M（m，0，0，1；2n + 2）中的一个子空间V 为中心，以t 为半径的球S（V，（m，0，0，1），t）定义为：M（m，0，0，1；2n+2）中与V 的距离满足d（U，V）≤2t 的所有（m，0，0，1）型子空间的集合。

定理4S（V，（m，0，0，1），t）中所含有的（m，0，0，1）型子空间的个数与V 的选取无关，且

式中：V∈M（m，0，0，1；2n + 2）是伪辛空间中一个固定的（m，0，0，1）型子空间；Nq（2n+2，（m，0，0，1），（m，0，0，1），（m - i，0，0，0））表示M（m，0，0，1；2n + 2）中满足V∩W∈M（m-i，0，0，0；2n+2）的（m，0，0，1）型子空间W 的个数；Nq（2n+2，（m，0，0，1），（m，0，0，1），（m-i，0，0，1））表示M（m，0，0，1；2n+2）中满足V∩W∈M（m - i，0，0，1；2n + 2）的（m，0，0，1）型子空间W 的个数。

证明设V∈M（m，0，0，1；2n+2）是伪辛空间中的一个固定的（m，0，0，1）型子空间，Nq（2n+2，（m，0，0，1），（j，0，0，1），（s，0，0，1））表示M（j，0，0，1；2n+ 2）中满足V∩W∈M（s，0，0，1；2n + 2）的（j，0，0，1）型子空间W 的个数。V∩W 为（s，0，0，1）型子空间有N（s，0，0，1；m，0，0，1；2n+2）=种可能，当（s，0，0，1）型子空间确定以后，该子空间可以扩充为一个（j，0，0，1）型子空间，一共有种扩充方法，所以

则

设V∈M（m，0，0，1；2n+2）是伪辛空间中一个固定的（m，0，0，1）型子空间，Nq（2n + 2，（m，0，0，1），（j，0，0，1），（s，0，0，0））表示M（j，0，0，1；2n + 2）中满足V∩W∈M（s，0，0，0；2n+2）的（j，0，0，1）型子空间W的个数。V∩W 为（s，0，0，0）型子空间有N（s，0，0，0；m，0，0，1；2n+2）=种可能，当（s，0，0，0）型子空间确定以后，该子空间可以扩充为一个（j，0，0，1）型子空间，一共有种扩充方法，所以

则

由式（1）知，Nq（2n + 2，（m，0，0，1），（m，0，0，1），（m-i，0，0，0））与Nq（2n+ 2，（m，0，0，1），（m，0，0，1），（m-i，0，0，1））是满足与确定的（m，0，0，1）型子空间V的距离为2i 的（m，0，0，1）型子空间的个数，因此

显然，S（V，（m，0，0，1），t）的数量与子空间V 的选择无关。

定理5（球填充界）设t=[（α-1）/2]，则

设C 是（m，0，0，1）型子空间的集合，V∈C，W′是伪辛空间的任一（2n+1）维子空间。定义

C′={V′|V′=Hm-1（V∩W′），V∈C}，

式中Hm-1（V∩W′）表示若V∩W′是一个（m-1，0，0，1）型子空间，则用V∩W′替换V，否则用V 的一个（m-1，0，0，1）型子空间替换。

引理1设C⊆M（m，0，0，1；2n+2）是一个（2n+2，M，d，（m，0，0，1）q码，其中d ＞2，则上面定义的C′是一个（2n+1，M，d′，（m- 1，0，0，1））q码，其中d′≥d-2。

证明设U 和V 是子空间码C 中的两个不同码字，根据C′定义对应得到U′ = Hm-1（U∩W′），V′ =Hm-1（V∩W′）。显然，U′⊆U，V′⊆V。

由于d（U，V）= 2m - 2dim（U ∩V）≥d，则2dim（U′∩V′）≤2dim（U∩V）≤2m-d。

又由式（1）得

d（U′，V′）=dim（U′）+dim（V′）-2dim（U′∩V′）=

2（m-1）-2dim（U′∩V′）≥

2（m-1）-（2m-d）=d-2

因为d ＞2，则d′=d（U′，V′）≥d-2 ＞0，即U′与V′是两个不同的码字，所以码C 与码C′具有相同的码字个数。

定理6（Singleton 界）

定理7（Gilbert-Varshamov 界）

证明设C 是一个（2n+2，M，2α，（m，0，0，1））q码，假设该码的码字个数达到了码C 含有的最大码字个数，即M=Aq（2n+2，2α，（m，0，0，1））。则对任意V∈C，由于码C 已经达到了最大码字个数，则在M（m，0，0，1；2n+2）中，不存在（m，0，0，1）型子空间U，使得d（U，V）≥2α。否则将U 加到码C 中，得到一个码字个数为M+1 的码，与码C 已经达到最大码字个数矛盾。所以，对∀V∈C，有M·|S（V，（m，0，0，1），α-1）|≥N（m，0，0，1；2n+2）。

因此，M≥N（m，0，0，1；2n+2）/|S（V，（m，0，0，1），α-1）|，其中