初中几何证明题复习题型设置初探

2022-03-18张秋菊

中学教学参考·理科版 2022年1期

张秋菊

[摘要]在初中几何证明复习课中设置“一题多解”题型、开放性题型、变式题型，既能激发学生的复习兴趣，充分调动学生的学习积极性，又能促使学生扎实掌握基础知识，提高分析问题和解决问题的能力，进而提高初中几何证明复习的有效性。

[关键词]初中;几何证明题;题型

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2022）02-0029-03

传统的初中几何复习课中，教师大多是先让学生回顾梳理已学知识，然后再让学生进行习题练习。这样的复习课不但枯燥乏味，而且学生兴趣不大，教学效率也不高。对此，教师在引导学生复习知识点的同时还应引导学生找到数学本质，总结归纳出解题的一般思路，进而逐步培养学生观察、比较、分析、综合和概括的能力。初中几何证明复习课中，复习题型的设置是关键。下面笔者结合教学实践，介绍三类初中几何证明题的复习题型。

一、“一题多解”题型

在初中几何证明复习中设置“一题多解”题型，不仅能让学生牢固掌握和运用所学知识，还能让学生通过分析比较多种解法，找到解题的最佳途径和方法，培养学生的创造性思维。

[例1]如图1，已知[AB=DC]，[AC=DB]，试说明：[∠1=∠2]。

解法一：

在[△ABC]和[△DCB]中，

[AB=DC，AC=DB，BC=CB（公共边），]

∴[△ABC≌△DCB（SSS）]，

∴ [∠A=∠D]，

在[△AOB]和[△DOC]中，

[∠A=∠D，∠AOB=∠DOC（对顶角相等），AB=DC，]

∴ [△AOB≌△DOC（AAS）]，∴ [∠1=∠2]。

解法二：

在[△ABC]和[△DCB]中，

[AB=DC，AC=DB，BC=CB（公共边），]

∴△[ABC≌△DCB（SSS）]，

∴[∠A=∠D]，

∵[∠1+∠A+∠AOB=180°]，[∠2+∠D+∠DOC=180°]，

又∵[∠AOB=∠DOC]（对顶角相等），∴[∠1=∠2]。

解法三：

在[△ABC]和[△DCB]中，

[AB=DC，AC=DB，BC=CB（公共边），]

∴[△ABC≌△DCB（SSS）]，

∴[∠ABC=∠DCB]，[∠DBC=∠ACB]，

∴[∠ABC-∠DBC =∠DCB -∠ACB]，

即[∠1=∠2]。

解法四：

连接[AD]，

在[△ABD]和[△DCA]中，

[AB=DC，DB=AC，AD=DA（公共边），]

∴[△ABD≌△DCA（SSS）]，∴[∠1=∠2]。

此例可在复习三角形全等时设置。从学生独立完成到教师展示评价，多种解法应运而生，而从这些解法中，学生牢固掌握了三角形全等的判定和性质。通过比较分析，显然解法四是最简单的。

[例2]如图2，在平行四边形[ABCD]中，[BE=DF]，求证：四边形[AECF]是平行四边形。

解法一：∵四边形[ABCD]是平行四边形，

∴ [AB∥CD]， [AB=CD]，

又∵[ BE=DF]，∴[AB-BE=CD-DF]，

即[AE=CF]，又[AE∥CF]，

∴四边形[AECF]是平行四边形。

解法二：∵四边形[ABCD]是平行四边形，

∴[AB=CD]，[BC=AD]，[∠B=∠D]，

又∵[BE=DF]，∴[AB-BE=CD-DF]，

即[AE=CF]，

在[△BCE]和[△DAF]中，

[BE=DF，∠B=∠D，BC=AD，]

∴[△BCE≌△DAF（SAS）]，∴[CE=AF]，

∴四边形[AECF]是平行四边形。

解法三：∵四边形[ABCD]是平行四边形，

∴[AB∥CD]， [BC=AD]，[∠B=∠D]，

在[△BCE]和[△DAF]中，

[BE=DF，∠B=∠D，BC=AD，]

∴[△BCE≌△DAF（SAS）]，∴[∠BEC=∠DFA]，

∵[AB∥CD]，∴[∠BEC=∠ECF]，

∴[∠DFA=∠ECF]，∴[CE∥AF]，

又∵[AE∥CF]，∴四邊形[AECF]是平行四边形。

解法四：∵四边形[ABCD]是平行四边形，

∴[BC=AD]，[∠BAD=∠DCB]，

在[△BCE]和[△DAF]中，

[BE=DF，∠B=∠D，BC=AD，]

∴[△BCE≌△DAF（SAS）]，

∴[∠BEC=∠DFA]，[∠BCE=∠DAF]，

∴[180°-∠BEC =180°-∠DFA]，[∠BAD-∠DAF=∠DCB -∠BCE]，

∴[∠AEC=∠AFC]，[∠EAF=∠ECF]，

∴四边形[AECF]是平行四边形。

此例可在复习平行四边形的判定时设置。关于平行四边形的证明通常有5种判定方法：①两组对边分别平行;②两组对边分别相等;③一组对边平行且相等;④两条对角线互相平分;⑤两组对角分别相等。此例用了4种判定来证明，这大大提高了复习的效率。通过解法优化比较，发现解法一是最简便的。

二、开放性题型

开放性题型可为每个学生提供更多交流与合作的机会，学生通过积极主动的思考和交流，培养了发散性思维，提高了数学学科核心素养。开放性题型在初中几何证明中的优势尤为突出。

[例3]如图3，要使[△EDB≌△EAC]，[△AOB≌△DOC]，需添加的两个条件是，并说明理由。

分析：因为图中隐含公共角和对顶角，所以不管添加的条件是先使[△EDB]与[△EAC]全等，还是先使[△AOB]与[△DOC]全等，都是添一角一边或是两边。不过要注意在添两边时必须是夹公共角或对顶角的两边。

此题一出，学生就进行了激烈的讨论，通过讨论发现此题可添的条件不下10种。例如：①[AE=DE]，[BE=CE];②[AE=DE]，[∠B=∠C];③ [AC=BD]，[∠B=∠C];④[AE=DE]，[∠EAC=∠EDB];⑤ [BE=CE]，[∠B=∠C];⑥[OA=OD]，[OB=OC];⑦[OA=OD]，[∠B=∠C];⑧[OB=OC]，[∠B=∠C];⑨[OB=OC]，[∠BAC=∠CDB];⑩[AB=CD]，[∠B=∠C];等等。这样，学生根据自己的体验，用自己的思维方式，自主去探索，去发现有关的数学知识，既调动了学生的学习积极性和主动性，又使学生对判定定理印象深刻，大大提高了复习效率。

三、变式题型

在初中几何证明复习课中设置变式题型，可以引导学生多方面、多角度、多途径地思考问题，让学生多合作探讨、多交流争论，从而有效培养学生的创造性思维。

[例4]如图4，已知[OA=OD]，[AC=BD]。试说明：[∠B=∠C]。

分析：由已知[OA=OD]，[AC=BD]，根据等式的基本性质得到[OB=OC]。因为[∠AOB]与[∠DOC]是对顶角，所以[∠AOB]与[∠DOC]相等，可得[△AOB≌△DOC]。再由全等三角形的对应角相等得[∠B=∠C]。

解：∵[OA=OD]，[AC=BD]，

∴[BD-OD=AC-OA]，

即[OB=OC]，

在[△AOB]和[△DOC]中，

[OA=OD，∠AOB=∠DOC，OB=OC，]

∴[△AOB≌△DOC（SAS）]，

∴[∠B=∠C]。

变式1：如图5，已知[AC=BD]，[OA=OD]，试说明[∠ABC=∠DCB]。