一题多解 触类旁通

高 斌

[摘 要]文章以高三数学第二轮复习中的试题讲评为切入口，阐述一题多解、多解一解、一题多变等，从而促进学生学会举一反三、触类旁通。

[关键词]试题讲评;平面图形;数量积

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）02-0026-04

高三数学第二轮复习有诸多考试，如周考、月考、期中考、阶段质量检测、联考、模拟考等。试卷讲评课成为常态化课型，其过程大概为：订正→讲评→错题再做→订正归类。试卷讲评课借助数据诊断为学生提供分析和纠错，教师需科学、合理地选择讲评内容和讲评方法，选择具有针对性和代表性的重点知识和题目，对学生已学过的数学知识、方法技巧等进行巩固、完善和提升。教师应提高试卷讲评的实效性，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养。本文以一道试题为切入口，展开“与平面图形有关的数量积问题”的复习。

[例1]如图1，已知在[Rt△ABC]中[∠A=90°]，[AB=2]，[AC=4]，点[P]在以[A]为圆心，且与边[BC]相切的圆上，则[PB·PC]的最大值为               。

A. [16+1655] B. [16+855]

C. [165] D. [565]

一、试卷分析

学生答题的正确率为28.6%。经过订正，发现学生出现如下问题。

1.从数量积定义[PB⋅PC=PBPCcos∠BPC]出发，做不下去了。

2.在[△BPC]中，由余弦定理得[BC2=PB2+PC2-2PB⋅PC⋅cos∠BPC ]， [∴PB⋅PC=PBPCcos∠BPC=]

[12PC2+PB2-BC2=12PC2+PB2-10]。

3.[∵BC=PC-PB]，[∴BC2=PC-PB2=PC2-2PC⋅PB+PB2，] [∴PB⋅PC=12PC2+PB2-BC2=12PC2+PB2-20=12PC2+PB2-10]。

4.由題意以点A为原点建系可知[A（0， 0）]，[B（0， 2）]，[C（4， 0）]，[P（x， y）]，则[PB=（-x， 2-y），PC=（4-x，-y）]，所以[PB⋅PC=x2-4x+y2-2y]，做不下去了。

原因分析：出现问题1、问题2、问题3是由于[P]点是圆上的动点，[PB]和[PC]都是变化的，并且线段长度之间没有明显的几何量依存关系，不能轻易地做下去;出现问题4是因为学生通过建系坐标法得到的结构涉及两个变量[x]，[y]，没有注意到[x]，[y]的依存关系，也没想到换元或者利用数形结合解决问题，导致半途而废。

二、试题解法

由题意知[BC]与圆[A]相切，切点为[D]，连接[AD]，如图2。

易求半径[PA=r=AD=455]。

（可由等面积法或点到直线的距离求得）

解法一（基底法）：由题意可知，不共线向量[AB，AC]的夹角和模已知，作为基底，

[∴PB⋅PC=（PA+AB）⋅（PA+AC）=PA2+PA⋅AC+AB⋅PA+AB⋅AC=PA2+PA⋅（AC+AB）+0=165+PA⋅（AC+AB）]。

（1）当[PA]与[AB+AC]同向时，[PA⋅（AB+AC）]取到最大值，此时[PA=455]，[AB+AC=4+16=25]，∴[PA⋅（AB+AC）]的最大值为[455×25=8]，从而[PB⋅PC]取到最大值[565]。

（2）取[BC]中点[E]，连接[AE]，如图3。

[PB⋅PC=165+PA⋅（AC+AB）=165+PA⋅2AE ][=165-2APAE⋅][cos∠PAE]。

易得[AP， AE]模的大小为定值，根据它们的夹角[∠PAE=π]，[PB⋅PC]取到最大值[565]。

解法二（“距离型”求最值法）：如图4，建立直角坐标系，设[P（x， y）]，有[x2+y2=165]。

由题意可知[A（0， 0）]，[B（0， 2）]，[C（4， 0）]，则[PB=]  [（-x， 2-y）]，[PC = （4-x，-y）]，

所以[PB⋅PC=x2-4x+y2-2y=（x-2）2+（y-1）2-5]，从而求[PB⋅PC]的最大值，

即求圆[x2+y2=165]上点[（x， y）]到点[（2， 1）]的距离的最大值平方后减去5，

所以只需求圆[x2+y2=165]上点[（x， y）]到点[（2， 1）]的距离的最大值[dmax]，

根据平面几何知识知，[dmax]等于圆心[（0， 0）]到点[（2， 1）]的距离加上半径，

[即 dmax=（2-0）2+（1-0）2+455=5+455=955]，

此时[（dmax）2-5=815-5=565]，所以[PB⋅PC]的最大值为[565]。

解法三（“截距型”求最值法）： 同解法二，[PB⋅PC=x2-4x+y2-2y=-4x-2y+165]，从而求[PB⋅PC]的最大值，即求与直线[-4x-2y=0]平行的直线在[y]轴上截距的最大值。

当直线[-4x-2y=m][ y=-2x-12m]与圆相切，此时圆心[（0， 0）]到该直线[-4x-2y-m=0]的距离等于半径[r=455]，即[-4×0-2×0-m（-4）2+（-2）2=m25=455]，解得[m=±8]，

所以[-4x-2y]的最大值为[m=8]，[PB⋅PC]的最大值为[8+165=565]。

解法四（三角函数法）：实际上可以认为是应用参数方程或者进行三角换元求最值。

如图5，建立直角坐标系，圆A：[x2+y2=165]，设[P45cos θ， 45sin θ]

[θ∈0， 2π]，

由题意可知[A（0， 0）]，[B（0， 2）]，[C（4， 0）]，

则[PB=- 45cos θ， 2-45sin θ] ，

[PC=4-45cos θ，-45sin θ]，

所以[PB⋅PC=-165cos θ+165cos2θ-85sin θ+] [165sin2 θ=- 165cos θ-85sin θ+165 =- 8sin（θ+φ）+][165]，其中[tan φ=2]，[θ∈0， 2π]，

[∵-1≤sin（θ+φ）≤1]，∴当[sin（θ+φ）=-1]时，[PB⋅PC]取到最大值[565]。

解法五（平面向量“极化恒等式”法）：

设[a， b]是两个平面向量，则有恒等式：[a⋅b=14（a+b）2-（a-b）2]。

如图6，半径[PA=r=AD=455]，取[BC]中的点[E]，连接[PE]，[∴PB⋅PC=14（2PE）2-BC2=PE2-14BC2=PE2-5]，

从而求[PB⋅PC]的最大值，即求圆[A]上的点到[BC]中点[E]的距离最大值，

[∵PEmax=AE+r=12BC+r=5+455=955]， [∴PB⋅PC]的最大值为[565]。

三、试题变式

变式1：如图7，已知在[Rt△ABC]中，[∠A=90°]，[AB=2]，[AC=4]，点[P]在以[A]为圆心，且与边[BC]相切的圆上，则[PB⋅PA]的取值范围为                  。

解法一（向量法）：

[PB⋅PA=PBPAcos∠BPA=455PB]·[cos∠BPA]，即求[PB]在[PA]上投影的最值，则[PB⋅PA]的最大值为[455455+2=165+855]，最小值为[-4552-455=165-855]。

以确定向量[AB]表示变化的向量。

[PB⋅PA=（PA+AB）⋅PA=PA2+AB⋅PA=165-AB⋅AP=165-2APcos∠BAP]，

即求[AP]在[AB]上投影的最值，同上。

取[AB]的中点[E]，[PB⋅PA=14（2PE）2-AB2=PE2-14AB2=PE2-1]，

由图8可知，[AE+r=r-12AB≤PE≤AE+r=12AB+r=1+455]，

即[455-1≤PE≤1+455]，所以[165-855≤PB⋅PA≤165+855]。

解法二（坐标法）：如图9，建立直角坐标系，设[P（x， y）]，有[x2+y2=165]，

由题意可知[A（0， 0）]，[B（0， 2）]，[C（4， 0）]，则[PB=]   [（-x， 2-y）]，[PA=（-x，-y）]，[PB⋅PA=x2+y2-2y=x2+（y-1）2-1]（距离型），当[P（x， y）]取[0，-455]时，[PB⋅PAmax= ][0+-455-12-1=165+855]，当[P（x， y）]取[0，455]时，[PB⋅PAmin=0+455-12-1=165-855]。

或者（截距型）：[PB⋅PA=x2+y2-2y=165-2y]，从而求[PB⋅PA]的最大值，即求与直线[-2y=0]平行的直线在[y]轴上截距的最值，[∵-455≤y≤455]，[∴165-855≤y≤165+855]。

或者（三角函数法）：圆A：[x2+y2=165]，设[P45cos θ， 45sin θ] [θ∈0， 2π]，

由题意可知[A（0， 0）]，[B（0， 2）]，[C（4，0）]，

则[PB=- 45cos θ， 2-45sin θ]， [PA=] [-45cos θ， -45sin θ]，

所以[PB⋅PA=165cos2θ-85sin θ+165sin2θ=165--855sin θ]，

[∵-1≤sin θ≤1]，∴[165-855≤PB⋅PA≤165+855]。

小结：根据不同的已知条件，如何选择最优的解法？

（1）如果是含有直角的图形，图形本身具有对称性的图形（如长方形、正方形、圆等），图形已知夹角或边长，可以考虑使用基底法或者坐标法;

（2）如果图形不具备建系的条件，或者已知向量确定不变时，可以选择基底法或投影法;

（3）圆上动点与圆外定点、定直线的最值问题，转化为圆心与圆外定点、定直线的最值问题。

变式2：如图10，过点[P（-1， 1）]作圆C：[（x-t）2+（y-t+2）2=1（t∈R）]的一条切线，切点为[A]，则[PA·PC]的最小值是                    。

变式2设计为含参的题型，同样需要将几何问题转化为代数问题，选择合适的代数方法求解，这也是新高考常见的考查方向。从实际课堂互动来看，学生在这块确实存在困难，需要单独进行专题化复习讲解。

四、教学总结

1.让学生掌握基本的解法：将几何问题转化为代数模型，再利用几何意义解题，体现数形结合思想;由多变量问题向单变量问题转化（换元或者代換），变量统一，体现化归思想。

2.训练学生的思维。收集问题，进行题型归类、方法归类、知识拓展。通过一题多解、一题多变、一题多问，训练发散性思维;多题归一，训练整合思维。

3.让学生选择最优解法。在复习中，教师应根据学情，引导学生选择最优的方法。

4.试卷讲评课的基本做法：

（1）剖析问题，攻破难点。统计学生的答卷数据，将知识点、计算方法等归类。根据分析的数据，有选择地重点讲评试题，这样既能节省时间，又能攻破难点。

（2）内外牵引，齐头并进。一份试卷的讲评不能仅限于就题讲题，要有变式、拓展。一类方法，要串联尽可能多的知识;一个板块，要总结出常规方法、合适方法和技巧性方法，以供学生选择，这样学生都得到较好的提升。

（3）对中择优，对中觅简。试卷讲评过程中，一题多解要突出优解。试卷讲评不仅要讲评错题，也要选择性地讲评正确的题目;同一个知识点，不同题型，如选择题、填空题、解答题，方法往往因题而异，应做到“快、狠、准”。

（4）暴露错误，引导分析。利用多媒体展示学生的卷面和答题过程，突出常见错误和优秀解法，展示较难问题的分析与解决过程，对标评分细则，提要求、立规矩。

（5）试卷讲评要重视思路的分析和思维的锻炼。教师要多学习、多研究，知道“考什么，怎么考，怎么解，如何赋分”。教学中，教师要以微专题的形式各个击破，给学生思考和讨论的空间，扫除盲点、查漏补缺、增分数、提能力。

总之，教师应让学生在数学教学活动中发挥自身的内在潜能，对标高考评价体系的“一核、四层、四翼”，在深度思考中深化“四基”，在探究和发现中提高“四能”，在构建知识体系和综合应用知识的过程中发展数学学科核心素养。

（责任编辑 黄桂坚）

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