在初中数学中渗透数学思想和方法

董立平 甘肃省陇南市礼县王坝镇初级中学

数学课程标准明确提出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”新课程标准把数学思想方法放在非常重要的位置，所以初中数学教师要更加重视数学思想和方法的培养与渗透。思想是客观现实反映到人们的大脑之中，经过大脑的思维而产生的结果或观念。方法即用各种方式和行为，来解决某种问题和达到某种目的。数学思想是一种观念，数学方法是一种实际操作手段。初中数学课本中的每个公式和定理都渗透着数学学科的思想和方法，学生在数学学习中可以学到严谨的学科态度、学科精神和实践操作能力等，这些可以沿用到学生今后的学习和生活中，是一种非常好的思想和意志品质。

初中数学教师在数学课程的实施过程中，要注重数学思想和数学方法的培养和训练，从而渗透数学学科核心素养，为学生今后更好地学习夯实基础。

一、了解一些常见的数学思想方法

初中常用的数学思想有整体思想、类比思想、分类思想、数形结合思想、方程思想、函数思想、建模思想、统计思想等。初中常用的数学方法有配方法、待定系数法、换元法、特殊值法等。下面选取几种初中常用的数学思想和方法进行说明。

（一）方程思想

方程思想，就是通过设未知数，列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到解决题目的目的。这种解题思路和策略研究的是已知和未知之间的数量关系，可以解决各种计算问题，是初中阶段一种重要的解题思想，在初中数学中使用频率较高。

在初中数学的学习过程中，应用题的数量逐步增加，如果还用小学时学的算术方法解决应用题，是很难快速得出正确的算式的。初中应用题已知条件很多，将题中的未知条件用字母（一般将所求设为x）来表示，从未知条件与已知条件之间的数量关系进行思考，找出它们之间的等量关系，并将这种等量关系用数学符号表示出来，就成为方程或方程组，然后按照解方程或方程组的步骤就可以得出正确答案。以下面这道应用题为例：某学校为了对学生进行爱国主义教育，组织学生去当地红色革命教育基地进行参观学习，从学校出发步行6千米到达教育基地，返回时比去时每小时少走1千米，结果返回时比去时多用了半小时。求学生返回时的步行速度。如果用算术法，推导复杂，运用方程思想，把所求返回时的步行速度设为x千米/时，根据题目中的已知条件，可知出发时的速度为x+1千米/时，可列出方程，解方程得出x=-4，x=3，得出答案后，需要检验方程的解是否满足条件，是否使实际有意义，显然x=-4不符合题意，需舍去。

（二）化归思想

化归思想是转化和归结的简称，能将复杂的问题变简单，由繁化简，由复杂化简单。在解决数学问题时，尤其是解决代数问题时，经常会用到化归思想。比如，在方程或方程组的解决中，通常采用代入法或加减消元法来化“多元”为“一元”，因式分解本质上也是一种“降次”，这都体现了化归思想。

（三）分类思想

分类思想是一种比较重要的数学思想，不仅是数学学科，在其他学科中也时常用到。初中阶段的数学概念、定理和公式，常常会根据不同的条件，得出不同的结论，这就需要分类讨论。如二元一次方程根的情况，就需要分类讨论，若Δ＞0，该方程有两个不相等的实数根；若Δ=0，该方程有两个相等的实数根；若Δ＜0，那么该方程没有实数根。

（四）数形结合思想

即把代数和几何两者结合起来，把题中的数量关系利用图形表示出来，既分析代数的意义，又分析几何的意义，从而找到解题思路，得出正确答案。数形结合是学生刚上初中就接触的数学思想。七年级第一章就是《有理数》，其中“有理数大小的比较”在数轴学习之后，引出绝对值的概念后才进行学习，“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”“正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数”，其中两个负数大小的比较是重点和难点，结合数轴就可以把这个抽象的问题形象化，“以形助数”，将代数问题几何化。这种思想在数学中使用频率很高。

（五）函数思想

函数思想贯彻初中和高中的数学学习中，在初中阶段，对函数要求较低，函数思想在高中阶段非常重要，所以初中数学教师在初中就要帮助学生打好基础。函数思想是利用函数的图像和性质，用变化的观点来观察和分析问题，借助函数关系，从而使数学问题得以解决。

二、培养和渗透初中数学思想和方法的重要性

2021年国家发布“双减”政策，旨在有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担。而数学方法和数学思想，可以有效规避死记硬背的枯燥方式，改变学生大量做数学题的现象，提高学生的数学学习效率，让学生重新喜欢上数学学科，感受到学习数学带来的愉悦感，全面提高数学能力。

（一）培养数学思想和方法是学好数学知识的必备条件

到了初中阶段，相比小学时以数字计算为主，数学抽象了很多，难度也大了许多。初中数学题相比小学数学题复杂多变，灵活深奥，应用数学思想和方法解答初中数学题，可以将复杂的数学题变得简单，还可以培养学生的数学学习能力、运算能力、逻辑推理能力、抽象思维能力等。

（二）锻炼学生的意志品质

坚持不懈、多方面思考、细心、合理推理等都是非常好的意志品质。学生在不同难度的数学练习题中可以锻炼这些品质，独立思考并理解问题。当然，题的难度要适宜，若太简单，没有挑战性，容易给人枯燥、乏味的感觉，不能锻炼学生的意志品质，若太难，又会打击学生学习的积极性，丧失学习的信心。

初中数学教师不仅在课堂教学过程中传授数学知识，还要让学生在掌握数学知识的基础上，初步形成数学的思维策略。通过具体的数学概念、公式、例题等具体载体，渗透其中蕴含的数学方法，使学生对数学更感兴趣，更好地理解数学知识，掌握数学知识。这才是所谓的“授之以渔”。单纯的知识，会随着时间慢慢遗忘的，而解决问题的方法和思维，能使学生受益终身，学生将来不管从事什么工作或职业，在解决问题的时候，数学思想作为一种思维策略，会潜移默化地发挥作用。

三、数学思想和方法的培养

从学生方面来讲，要大胆创新，养成良好的学习习惯，勤奋刻苦，掌握重点知识是关键。初中数学从初一到初三，内容众多，难度逐步升级，学生在学习的过程中必须对重点的知识尤其关注，熟练掌握。在具体的学习过程中，可以从以下几方面入手。

（一）课前预习准备

初中数学的课前预习很重要，数学教材上的重要概念和定理可以在课前先熟记下来，对于公式，也要提前弄明白每个字母所代表的含义，结合教材上的例题进行初步的理解，不懂的地方进行标注，以便听课的过程中注重听教师讲解。

（二）学会听课

学会认真听讲是学好初中数学关键的一环。一些学生在学完一节课后会有这样的感受，教师讲的我都听懂了，概念、定理也能背下来，但一到做题的时候就不会了，教师一点拨后就会做了。出现这种情况，是因为数学是一门注重方法的学科，重要的是理解和实际运用，需要学生注重听教师在解题过程中解题方法的选择和对题目的分析，弄明白为什么会选择这种解题方法，而且一些解题方法教材上没有明确标注，需要在练习中体会，所以学生要认真听隐藏在题目中的方法，看教师是如何想到并运用这种方法的。

（三）课后复习

学好数学关键还是要多做练习，多理解，通过典型题目来检验对知识的掌握情况，通过练习来理解公式和定理。

（四）错题反思

把做错的题目在错题本上记录下来，标注自己当时出错的地方，还要标注这道题所用到的知识点和方法，不仅如此，隔一段时间还要翻一翻错题本，进行温习。通过不断练习自己薄弱的地方，慢慢把薄弱变优势。不要小看这种重复的力量，它能助你学好任何知识，也是学习新知必备的一种品质。

教师方面，要先从激发学生的兴趣入手，形成良好的学习数学的氛围，不断更新教学理念，改进教学方法。

1.激发学生学习数学的动机

初中数学学科的魅力是很强的，且在实际生活中应用非常广泛，学生可以在生活中进行实践应用，激发学习数学知识的热情。教师要根据教材的不同内容，采用不同的情境、方式、语言来授课，语言要形象、生动、风趣、幽默、贴近学生，例子要贴近实际、贴近时代，使学生积极主动地学习。兴趣是学生参与学习活动的动力源泉。教师要以兴趣引路。为此，初中数学教师要认真研究学生的心理，让学生对所学感兴趣，用各种教学方法、利用各种媒介使学生投入进来，这样学生的学习思维就会与教师的教学保持完美统一，学习欲望被充分调动。

教师要想激发学生学习数学的动机，在平时的教学中还可以多多激励学生。激励的作用是巨大的，它对人的精神有催化作用，促使学生积极主动地喜欢上数学课。枯燥、反复的说教是达不到教育的效果的，教育是春风化雨、潜移默化的，教师有效的鼓励不失为激发学生学习数学的有效方法之一。

2.创设良好的学习氛围

教师要在班级中创设良好的学习环境，使班级中形成人人学数学的氛围，大家你追我赶，劲头十足。为此，教师要对不同学习能力的学生提出不同的要求，建立学习方面的规章制度，制订合理的学习目标，严格管理，并在班里为学生树立学习的榜样，运用激励评价体系，鼓励学生，让学生之间自发、自动形成互帮互助学习小组。

教师要重视学生与学生间的交流和学习，充分发挥学生的主体作用，多给学生一些自主学习的空间，课堂上多给学生讨论的空间，让他们能相互讨论，发表意见，从而可以有思维的碰撞，这对培养数学的思想和方法大有裨益。教师引导，学生自主进行探究，积极主动地参与知识的发生、形成、运用，学生会在发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程中不断提高自身分析问题、解决问题的能力。

3.注重方法的传授、能力的培养

这里的能力，指在数学学习活动中的听、说、思考等方面的能力。“听”首先是学生要认真听课，同时教师要倾听学生在本节数学课后对数学知识的理解和感受。一方面，教师要通过典型题型的讲解，总结归纳解题的方法，并提升为抽象的数学思想；另一方面，在解题的过程中，充分发挥数学思想和方法的作用，使学生触类旁通，举一反三，提高运用数学思想和方法的能力。

数学是一门运用学科，来源于生活，用之于生活，数学教师要把数学知识与学生的生活实际相结合，让学生觉得利用所学可以解决实际问题，学生才会更加愿意投入更多的努力学习，形成良性循环，提高学生运用数学知识分析、解决实际问题的能力。数学概念和定理是抽象的，把教学中的知识与学生的实际生活相联系，可以使抽象的知识形象化，学生会不自觉地想到数学概念、定理和某个生活实际问题，再碰到类似的问题时，可以运用学过的方法解决，培养了学生的能力。

教材中的数学思想和方法种类多样，也有难有易，在教学时，初中数学教师要逐步渗透这些数学思想和方法，这就需要我们熟悉初中所有的教材内容，努力钻研教材，挖掘教材里的各种数学思想和方法渗透的契机、方式、方法等，按照初中生的年龄特点、学习水平、思维能力，由浅入深、由易到难地进行思想方法的训练。教师应根据教材，全局掌控，研究哪个知识点可以进行哪些数学思想和方法的教学，哪种重要的数学思想和方法在哪些知识点的教学中进行渗透。数学思想和方法的渗透是循序渐进的，学生需要逐步掌握，可以和掌握数学知识一样分四个层次：了解、理解、掌握、运用。如数学思想和方法在初一、初二年级的要求就是结合数轴、有理数、绝对值、一元一次不等式等，让学生初步了解，有感性的认识，到了初三，就要结合直角坐标系进行理解和掌握，并初步运用于正比例和反比例函数、一次函数和二次函数的学习中。

初中数学的教学目标不是简单地完成数学教学任务，而是让学生学会运用数学思维来解决今后学习、生活和工作中的问题。因此，初中数学教师要不断改进教学方法，提高自己的教学水平和教学效果。