分式常见错误例析

史新景

中考对分式的考查主要集中在分式有意义的条件和分式的化简求值上。在2021年的中考试卷中，泰州、无锡考查了分式有意义的条件;南京、苏州、无锡、扬州、镇江、盐城、徐州、淮安8个设区市考查了分式的化简求值。有很多市对分式化简的考查基本是逢考必有，比如徐州，自2013年以来，每年均在第19题的第2小题设置对分式化简的考查，分值固定为5分。因此，不论是考查频率还是题目的分值，分式的化简均需引起同学们的重视。本文将以2021年江苏省13个设区市中考数学试卷中分式的部分考题为例，和同学们一起揭开分式的面纱。

例1 函数y=[1x+1]中，自变量x的取值范围是 。

【分析】若分式有意义，则其分母不为0，观察原函数表达式可得答案。

解：∵x+1≠0，∴x≠-1。

故答案为x≠-1。

【点评】当函数表达式是分式，在求自变量取值范围时，需考虑分式的分母不能为0。

例2 化简：[4a][-a+82a]。

【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案。

解：原式=[82a][-a+82a]=[-a2a]=[-12]。

【点评】遇到分式的加减运算，解决的关键是找最简公分母。确定最简公分母的三步为：1.确定系数（各分母系数的最小公倍数）;2.确定字母（各分母中的所有字母）;3.确定指数（各字母的最高次幂）。

分式化简的最后结果一定是最简分式或整式。因此，在加减计算之后一定要检查是否还可以继续约分，约分的关键是找公因式，确定公因式也有三步：1.确定系数（分子、分母系数的最大公约数）;2.确定字母（分子、分母中都含有的字母）;3.确定指数（各字母的最低次幂）。

本题的易错点是在通分时忽视了分数线具有括号的作用。我们应将分子a+8看作一个“整体”，否则会在化简时出现类似于原式=[82a][-a+82a]=[8-a+82a]=[16-a2]的錯误。

例3 计算：（[ab2+ab][-2a+b][+ba2+ab]）

÷[a-bab]。

【分析】本题考查分式的加、减、乘法混合运算，需要先进行括号内的运算，再把除法转化为乘法进行计算。

解：原式=[[ab（a+b）][-2a+b][+ba（a+b）]]

·[aba-b]

=[a2-2ab+b2ab（a+b）]·[aba-b]

=[（a-b）2ab（a+b）]·[aba-b]

=[a-ba+b]。

【点评】解决本题的关键是要明确分式混合运算的顺序，有括号的要先进行括号内的计算。确定最简公分母时，要先把能进行因式分解的分母进行因式分解，比如此题将a+b看作整体，再确定最简公分母为ab（a+b）。我们注意到，解题的第三步也涉及因式分解，所以在化简分式时，要注意观察各分子、分母，能因式分解的，一定要先进行因式分解，然后再进行计算。

例4 先化简，再求值：（1+[1m-1]）·[m2-1m]，其中m=2。

【分析】先将括号内两式通分化简，括号外分子因式分解，然后约分，代入m的值求解。

解：原式=（[m-1m-1][+1m-1]）·[（m+1）（m-1）m]

=[mm-1]·[（m+1）（m-1）m]

=m+1。

当m=2时，原式=2+1=3。

【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握因式分解及分式运算法则是解题关键。括号内对“1”的处理是本题的易错点，应把“1”化为[AA]的形式。2021年苏州、镇江、徐州、淮安等市也对这一易错点做了考查。此外，在代入求值时，如果遇到开放性的字母取值，我们一定要注意使原式中出现的分式都有意义，如本例中m值不能为0和1。

通过以上问题的解决，同学们应不难总结分式化简的一般步骤：

1.有括号先算括号内的，加减法的计算关键在通分：寻找最简公分母（分母能进行因式分解的要先进行因式分解，再按照三个步骤确定最简公分母）;

2.进行乘除运算（除法变为乘法）;

3.分子、分母能因式分解的先进行因式分解;

4.约分：寻找公因式;

5.结果化为最简分式;

6.代入相应的数字或式子，求代数式的值。

只有明确了考查方向，掌握了正确的方法，再加上仔细审题，认真计算，分式的相关问题才能迎刃而解。

（作者单位：江苏省丰县初级中学）

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