浅谈函数思想在高中数学解题中的应用

张宏斌

(新疆维吾尔自治区喀什地区疏附县第二中学 844100)

在高中学习一开始，学生们就会学习到各种函数，函数的各种性质需要学生们熟练的掌握理解运用.这些函数是学生们高中学习的基础，一元二次方程中韦达定理和求根公式，指数函数与对数函数的运算法则等的应用.

1 在数学学习中应用函数思想的意义

1.1 培养学生的数学逻辑思维

学习数学最重要的就是要培养学生的数学思维，也就是培养学生运用数学思想解题的能力，常见的数学思想有数形结合、函数等，学生如果能够运用这些数学思想进行解题，便能够在一定程度上提高自身的数学解题能力，促进自身的全面发展.如果教师在教学的过程中能够渗透函数思想，那么学生不仅能够更好的理解函数的意义，还能够综合不同的数学知识点，让学生以一种系统的方式学习复杂的数学内容.也就是说，学生将函数作为线索串联了不同的数学知识，这有助于学生掌握复杂的数学知识，帮助学生学好数学，同时也能够锻炼学生运用函数思维解决数学题目的能力，有助于学生更好的学习数学知识.

1.2 提高学生的数学解题能力

学习数学最重要的就是要培养学生的解题能力，也是学生应用数学知识的能力.如果教师在教学的过程中能够渗透函数思想，那便意味着学生能够逐步理解函数的基本内涵，并且能够将其应用在解决数学题的过程之中，函数是一种数学思想，运用这种思维进行解题能够提高学生的解题能力，这对学生而言是一种高效学习数学知识的方法.所以，高中数学教师在教学的过程中要善于运用函数思想进行解题，并以此为范例让学生知晓解题的过程和步骤，从而让学生具备运用函数思想进行解题的意识，当学生获得这种解题意识之后，他们会在做题的过程中运用函数思想，这有助于学生多个角度寻找解题的方向，有助于培养学生的解题能力.

2 在高中数学学习中应用函数思想的措施

2.1 函数思想在数列中的应用

在高中阶段学生们会接触到数列，关于数列的题型大致分为数列的通项公式、数列的前n项和这两个.在每年的高考试卷中第17题不是数列题型就是解三角形，大多数情况下都是数列题型.在试卷的前面部分的选择和填空题中也会出现数列的题型.可见，数列是高中数学中的重要内容，相对其他题型而言，数列题也容易拿分，但是需要注意的是，不少数列题的难度较大，较为抽象，教师如果在数列教学的过程中渗透函数思想，有助于帮助学生更好地理解知识点，学习数列.

数列教学中最简单的就是等差数列和等比数列，整两个数列的通项公式很容易表示出来，并且也有相对的求和公式.其实我们可以把等差数列看做不连续的一次函数，等比数列则是不连续的指数函数，两种数列对应的前n项和公式也是如此.在学习数列的过程中，老师都会把数列给学生们写在黑板上，但是在以后的解题过程中，更多人会把数列当做一个函数来进行解题.等差数列{an}的前n项和为Sn，Sn>0,Sn+1<0，问当n为何值时Sn最大？这是一个非常常见的数列题型，当然，在实际的案例中也会有真正的数据.首先我们要对解题中需要的数据进行假设，之后再写出Sn和Sn+1的表达式，判断公差d的正负，根据题意解出答案.在这个过程中，就相当于解函数题型.其实完全可以把这个数列的前n项和Sn画成图像，图像的两个零点分别是原点和点A，n取值范围在为(12，13).

2.2 函数思想在三角函数中的运用

三角函数是高中数学重要的知识点之一.在必修四第一单元和一五第一单元都是对函数的讲解，前者关于对三角函数的图像以及规律，三角函数也是函数的一种，但是也有自己的特点.如果将函数思想运用到解决三角函数题型之中，学生对该题型的理解会更加深刻，在解题的过程中也会更加游刃有余.

一般在填空题最后一小题，选择题中都会出现三角函数.在选择题中主要考察三角函数的二倍角公式的运用以及函数图像的平移问题；但是在填空题中，对于三角函数的考察难度较高，令很多学生望而生畏.函数的图像平移规律都是一样的，只不过在三角函数中增加了图像的拉伸与压缩，这对于学生们来说是一个新的知识点.学生们要熟练地掌握二倍角公式，把题目中所有的角度都换成一个角度，之后再用换元进行解决问题.这就要求学生们在掌握二倍角公式的基础上，还要了解正弦角、余弦角以及正切角之间的关系.在解三角形问题中，学生们要熟练的掌握边角互换公式.这部分题型比较抽象，学生们仅靠思考可能没有没有正确的思路，在必要时候学生们可以通过画图加深对题型的理解.在运用正弦定理和余弦定理的时候，通常需要确定三角形边长或者角度范围，学生们可以运用二次函数图像确定范围.在换元过程中，学生们要注意三角函数的取值范围，在很多情况下学生们往往会忘记自己所设参数的取值范围，而造成解题错误的情况.

2.3 函数思想在解析几何中的运用

函数在几何中的应用是数形结合的完美阐释，在中学阶段学到的所有的图形，都可以在二维坐标系中用函数的形式表达出来.在必修二、选修1-1第二章、必修五的线性规划中学生们都需要用到函数方程解决问题.所以，教师在讲解几何知识的时候，要善于将其与函数思想结合起来，并且要注重用深入浅出的方式进行数学教学，帮助学生更好得学习几何知识，培养学生的数学能力.

在几何图形中，最常见的就是用函数解决焦点、切线问题，其实是将问题进行转化的过程.在高考选择的后两题中，会有一道题是几何题型的焦点问题或者最值问题.第18题多数学生也会选择建立三维空间坐标系解决问题.第20题被大部分学生称为试卷上最难的题.这三道题都是将几何问题转化为函数问题进行解决，首先几何问题是抽象的学生们在考场上无法画出标准的图形以及焦点，所以学生们只能借助函数解出所求点的坐标.直线与其他图形相交求焦点，将直线的方程代入其他图形的方程，通常函数的交点就是所求方程的零点，韦达定理的熟练掌握是解题的关键所在.同样这种问题看似复杂，其实如果学生们有思路，很容易得出答案，但是计算量会比较大.

2.4 函数思想在应用题中的运用

很多学生在思想中高中学习的数学知识和应用没有关系，在日常的练习中学生们可能会遇到关于统计类问题，这部分题型多以应用题的形式展现，但是在高考中这仅仅作为一个很小的知识点，在填空选择中出现.所以，教师要能够意识到函数知识与应用题之间的密切联系，并在教学的过程中借助例子让学生亲自认识到二者之间的联系，并帮助学生学会运用函数思想解决应用题，这不仅仅是为了解题，另一方面，这种方式也能够帮助学生进一步理解函数知识，将其更好地内化于心.

线性回归方程就是将我们现实生活中的问题，通过统计运用合适的函数表示出来.在选做题的学习中，学生们会了解到，运用参数方程极坐标方程表示不同的图形，同样这些方程也是函数在几何中的应用的一种表现.在学习导数和统计案例的过程中，我们会接触到一些生活中的优化问题，多数情况下是将生活中的问题进行统计制作表格，之后我们运用二次函数找到其中的最大值或者最小值，其中也可以运用导数解决部分问题.导数的定义是函数在各点处切线的斜率，这就会让很多学生都不明白.老师可以将物理的知识和数学知识相结合，物理中最简单的路程、速度、加速度，三者之间的关系就是原函数和导数之间的关系.在路程时间图像中斜率表示速度，而我们用路程除以时间也是速度，加速度也是如此，这样学生们可以清楚的了解到导数的含义.在教学过程中学生们可能会遇到一些应用问题，但是将应用问题转化为函数的思想，需要学生们不断思考.其实数学主要是对数字的学习，如果学生们能有这样的思想，那么就会把所有的问题都转化为函数的形式解决，并且在中学阶段，几乎所有的问题都可以转化为函数，在高考中90%的题型都可以运用函数解决，这就需要学生们用好函数思想，在遇到题之后能将题中的信息转化为函数的形式之后再通过函数的知识进行解决.总之，教师要借助数学教学让学生获得这样一种意识，即函数思想可以与应用题相联系，这对开拓学生的解题思维具有重要的作用.

2.5 函数思想在不等式题目中的应用

构造函数是将不等式知识与函数思想结合的体现方式.比如：求证ab+bc+ca+1≥0.如果只从不等式的角度出发进行解题，那么该题的难度较大，很多学生无从下手.但是如果换个角度思想问题，那么该题的难度会降低很多.这种转换角度具体而言就是转换解题思路，借助构造函数的方式将不等式问题转化成函数问题.在该题目中，教师引导学生将AB+BC+CA+1≥0转化成函数，构造F(A)=AB+BC+CA+1,在这种情况下，该题便发生了变化也就是说该题从不等式问题转化成了一个函数问题，这是一个关于A的函数，A的取值范围是已知的，只要证明F(1)>F(-1),便能够证明F(A)≥0.经过这样的转化，题目不仅变得容易理解，而且解题过程也变得简单.从学生的角度考虑问题，他们是乐于接受这种函数转化的.也就是说，教师要善于将函数知识与不等式知识结合起来，借助构造函数的方式解决复杂抽象的不等式问题.教师要在教学的过程中为学生提供此类例题，从而加强学生的练习，让学生掌握转化的方法，提高学生的数学解题能力.总之，解决该题的关键就是构造函数，这也就要求学生要具备一定的函数意识，在遇到具体的题目的时候要有一定的敏锐性，能够灵活进行转化，简化做题步骤，降低解题难度.

在中学阶段函数思想是一种解题有效的思想之一.多数的题目都可以通过转化成函数问题，通过函数解题不仅可以拓展学生们的思维，同时也非常的方便，它打破了传统的学生思考问题的方法，将数字和图形结合起来，可以清晰明了的让学生们理解题目.函数思想的运用减少了学生走弯路的情况，将复杂的问题简单化，帮助学生们找到题目的突破口，学生们提高成绩有着非常重要的影响.