小学低年段四则运算含义建模的有效策略

文/ 广州市越秀区黄花小学 张满穗

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出：“通过义务教育阶段的数学学习，使学生能获得适应社会生活和进一步发展所需要的数学的基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”四则运算含义在儿童思维认知的建立过程是一个完整的抽象建模过程。帮助学生完整地经历这个过程，不仅能让学生建立稳固的四则运算含义知识基础，更能让学生体验思想的感悟和经验的积累，得到数学基本思想的发展。

一、 应重视整数加减乘除含义建立的教学

首先，这是一个从具体到抽象的完整过程。“就一个具体数学概念的抽象过程，大体可以分为三个阶段。第一阶段是简约阶段：把握事物关于数量或者图形的本质，把繁杂问题简单化，给予清晰表达。第二阶段是符号阶段；去掉具体内容，利用符号和关系术语，表达已经简约化的事物。第三阶段是普适阶段：通过假设和推理，建立法则、模式和模型，在一般意义上描述一类事物的特征或规律。”小学低年段所学习的四则运算虽然是在自然数集内总结的，但仍应该符合数学概念的抽象规律。

其次，一、二年级学习的加减乘除，看起来简单，甚至有不少学生觉得入学前都已经会了。其实，真的会了吗？他们明白的是运算法则，还是运算的含义？他们心里的所理解的运算含义清晰了吗？事实上，学生对加减乘除运算已然不是一无所知。然而，其含义在他们的认知中仍是模糊的、片面的，含义和混算法则是混淆的。进入小学低年段才真正经历从“无”到“有”，从“模糊”到“清晰”的系统学习过程。例如简单如加法，部编版教科书是这样编排的：小丑左手拿着3 个气球，右手拿着2 个气球，然后两只手上的气球拢在一起，非常形象地展现了这个合并的过程。接着用点子图，表示这个过程，最后用3＋2=5 表示。同时，列举了铅笔、车子等不同的生活情境反复再现这个抽象的过程。

再次，低年段建立的稳固模型为高年段在扩充数集中运用模型打下坚实的基础。中高年级的解决问题依赖前期四则运算含义模型的基础。中年级时从生活问题中总结常用数量关系：速度×时间= 路程，单价×数量= 总价，如果低年段对四则运算模型建立十分稳固，从实际情景中抽象出这些数量关系便顺理成章了。到了高年级，各种复杂的问题，也是基本模型的复合变式，唯有根深蒂固的模型，才不会在纷繁复杂的问题情境中加减乘除地瞎蒙。

二、 帮助学生建立稳固模型的有效策略

（一）用操作开启抽象的思维之门

首先是小丑左手抓着4 个气球，右手抓着1 个气球，然后左右手拢在一起合成了5 个气球。此情境用小圆片替代具体情境中的数量，左边摆4 个小圆片，右边摆1 个小圆片，然后把左右两边的小圆片推到一起，便完成了加法合并的含义。儿童在这个把左右两边推到一起的操作中，体验着动态的“合并”。接着换情境，左边花朵上停着3 只蝴蝶，右边又飞来2 只蝴蝶也停到花朵上。让儿童用小圆片表示出来，他们感知着：不同的事物，数量3 和2 合并都可以用小圆片来替代，并且动作都是一样的。进而，继续转换数个情境和数量，例如笔筒里原有4 支笔，又放进来1 支笔，用小圆片表示。在反复地操作中，儿童对数量合并的动作越来越纯熟，并且发现，情境只是这个动作的外衣，只要表示两个数量合并在一起，都能用小圆片和相同的动作使之简化。情境中的数量关系间的共性在儿童的一次次操作中被感知，抽象也在儿童的一次次操作中悄然推进了。

（二）用画图搭建主动建构的基石

画图帮助儿童脱离操作，不断提升抽象水平。根据简约程度的不同我们常用的有两种方法：一种是替代物图，例如用小圆，小三角形代替；另一种是更为抽象的数量关系图。由于一二年级儿童年龄较小，从替代物图开始慢慢逐渐使用数量关系图。

（三）用语言表达连通进入数学的桥梁。

从具体情境中抽象出四则运算的含义需要语言来承载。而低年级既有从日常语言向数学语言转换的困难，也有语言快速发展的优势。结合学生特点我们着重研究选择学生易懂易说的语言以及如何让学生能够充分地说。结合操作与图示，我们引导学生遇加法情境时说“要求……？就是求几和几合起来是多少”；遇到减法情境时说“要求……？就是求从几里去掉几是多少”；乘法则是“求几个几的和是多少”；除法要分两种情况，等分除时，用“把几平均分成几份，求每份是多少”，包含除是用“求几里有多少个几”。

（四）用算式将模型简约至符号

一、二年级初建模型，算式作为最为简约的形式，为学生抽象建模过程打通最后的一环。其中最关键的便是运算符号，从情境到动作、图再到语言所表达的含义，最终定格在算式的运算符号上。儿童从此获得了印象深刻的含义与运算的对应。操作、画图、语言、算式四个环节是有机结合在一起的。操作时应配合语言表达，画图后也应能说出运算的含义，并且应经历多个情境反复建构。

（五）在运用中反复再现模型

学习一种运算的含义课时并不多：加法和减法分别用2 课时；乘法用3 课时；除法稍微多一点，如果算上有余数除法，教材编排了5 个课时。在这些课时里，学生虽然完整经历概念抽象的必须环节，但离建立稳固模型相差甚远，很容易被新的情境材料或者数集的扩充而干扰。加上记忆的规律，极易重返模糊状态。因此，在后继的解决实际问题当中，应当反复再现抽象过程。此时相对于操作，画图起到了更为高效表征作用。因此，在解决问题中，我们主要采用画图、表达、列式三个环节再现抽象过程，遇到特别难的情境时也会从操作开始。如此，在整个一、二年级甚至三年级的解决问题学习和练习中，学生得到了周而复此的情境到模型的对应，四则运算的含义便在丰富的外延体例中建立稳固了。

实践表明，经过以上策略的教学实施，学生不仅理解了四则运算的含义，而且画图表达和语言表达力强，在具体情境中数量关系的辨析力强，长时记忆稳固。在后续进一步提炼生活实际问题中的常用数量关系更加顺利，在随后的学习中进一步提炼生活实际问题中的常用数量关系更加顺利，运用四则运算解决问题时，对应性强，灵活度好，自信心更足，学习内驱力更足。