聚焦竞赛中复数列问题的解法

胡定跃

(山东省济南市章丘区第五中学)

复数列问题抽象程度高、综合性强、能很好地考查考生的数学思维能力,因而备受数学竞赛命题者的青睐.这类问题往往给出复数列的递推关系式,解答时需要分析、考虑递推关系式的结构特征,然后灵活运用复数的概念、性质及运算法则,结合数列的有关知识来求解,是数学竞赛中体现知识融合交会,落实数学抽象、逻辑推理、数学建模及数学运算等数学核心素养的一类热点问题.下面探究近几年全国高中数学联赛试题中复数列问题的常见解法.

1 直接递推

例1已知复数列{zn}满足:z1＝1,zn＋1＝＋1＋ni(n＝1,2,…),其中i为虚数单位,表示zn的共轭复数,则z2015的值为________.

根据已知条件给出的递推公式zn＋1＝＋1＋ni进行递推,得到复数列{zn}的项之间的关系,最后构造等差数列求得结果.

由

得

因此,对任意n∈N*,将式①代入②,得zn＋2＝＋1＋(n＋1)i＝zn＋1－ni＋1＋(n＋1)i＝zn＋2＋i,所以zn＋2－zn＝2＋i.

又因为z1＝1,所以z1,z3,…,z2015,…构成一个以z1为首项,2＋i为公差的等差数列,所以

z2015＝z1＋(1008－1)(2＋i)＝2015＋1007i.

本题利用共轭复数的概念、性质=z＝z和运算法则等复数知识,直接按已知条件中复数列的递推公式进行递推、变形,转化得到zn＋2－zn＝2＋i后,得知复数列的奇数项构成等差数列,利用等差数列的通项公式求得结果.

例2复数z1,z2,…,z100满足:z1＝3＋2i,zn＋1＝·in(n＝1,2,…,99)(i为虚数单位),则z99＋z100的值为________.

直接根据已知条件给出的递推公式zn＋1＝·in递推复数列{zn}的项之间的关系,最后构造等比数列求得结果.

因为z1＝3＋2i,所以由zn＋1＝·in,得z2＝2＋3i.由

得

将①代 入②,得zn＋2＝＝zn·i,于 是＝i,所以z1,z3,…,z99构成一个以z1为首项,i为公比的等比数列,所以z99＝z1·i＝(3＋2i)·i＝－2＋3i,所以由zn＋1＝·in,得

综上,z99＋z100＝－5＋5i.

本题利用了共轭复数的概念、性质＝z和运算法则等复数知识,将复数列的递推公式变形、转化,得到＝i后,得知复数列的奇数项构成等比数列,利用等比数列的通项公式并结合虚数单位i的周期性求得z99,进而利用已知条件给出的递推公式求得z100,从而得到结论.

2 实、虚部分别递推

例3已知复数列{zn}满足z1＝,zn＋1＝(1＋zni)(n＝1,2,…),其中i为虚数单位,求z2021的值.首先设出复数的代数表示,然后将递推公式zn＋1＝(1＋zni)转化为代数表示,研究实部、虚部的递推关系,最后问题得以解决.

对任 意 的n∈N*,设zn＝an＋bni(an,bn∈R),则

本题在设出复数代数表示的基础上,利用了共轭复数的概念和复数代数表示的乘法运算法则及复数相等的充要条件等复数知识,将复数列的递推公式分别转化为实部和虚部两个实数列的递推关系,分别得到递推公式后,又还原回复数列,从而使问题得以解决.

3 利用复数的模递推

例4设复数列{zn}满足:|z1|＝1,且对任意的正整数n,均有＝0.证明:对任意的正整数m,均有|z1＋z2＋…＋zm|＜

当m为奇数时,设m＝2s＋1(s∈N*),由①②可知

综上,结论得证.

本题将复数列的递推关系转化为其模的递推关系来研究,在对正整数m分奇、偶讨论的基础上,依据复数模的性质进行“放缩”,充分考查问题的化归转化能力和数学抽象、逻辑推理及数学建模等核心素养.

例5称一个复数列{zn}为“有趣的”,若|z1|＝1,且对任意正整数n,均有＝0.求最大的常数C,使得对一切有趣的数列{zn}及任意正整数m,均有|z1＋z2＋…＋zm|≥C.

该题可谓是例4试题的“升级版”,解答思路与例4 基本上是一致的,通过变形复方程＝0,分解得到zn＋1与zn的递推关系,然后转化为|zn＋1|与|zn|的递推关系,再对正整数m分奇、偶讨论,最后利用复数模的性质和“放缩”得到结论.由例4知

当m为偶数时,设m＝2s(s∈N*),利用②可得

当m为奇数时,设m＝2s＋1(s∈N*),由①②可知

本题以新定义信息为背景并运用极限知识进行问题探索,充分体现了高等数学与初等数学的衔接,同时也考查了问题的化归转化能力及数学抽象、逻辑推理及数学建模等核心素养.

(完)