逻辑推理中判断真假的常用方法探究

王有伟

(甘肃省定西理工中等专业学校)

逻辑推理是对某种事物,根据其周围环境找出内在的逻辑关系,进而推理出合乎逻辑关系的结论.逻辑推理能力是对事物做出符合逻辑关系正确判断的必备能力,也是高中学生要具备的基本核心素养.逻辑推理问题在高考、模拟考试、强基计划和数学竞赛中均为重点考查的内容,而真假性判断更是常考题型.此类问题的解答关键是找准题目中所述事件的逻辑关系,弄清关系的本质.笔者研究发现,表格分析、分类讨论、图示分析、假设判断等方法,有助于我们弄清问题的本质,快速、准确地做出判断.

1 表格分析法

表格分析法是处理逻辑推理问题的常用方法,即将题目条件所给的逻辑关系以表格的形式表示出来.表格能够直接明了地展示问题的本质,使解题事半功倍.当题目关系中所给的数据较多时,可首先考虑采用表格分析法.

例1小明的生日是x月y日,他将x告诉了小红,将y告诉了小兰,然后小明列出了10个日期让两人猜测:2月5日,2月7日,2月9日,5月5日,5月8日,8月4日,8月7日,9月4日,9月6日,9月9日.

看完日期后,小红对小兰说:我不知道小明的生日,你一定也不知道.

小兰听了小红的话,说:本来我不知道,但现在我知道了.

小红接着道:哦,现在我也知道了.

则小明的生日是________.

题目中所提供的日期较多,因此可建立x和y的关系表格(如表1),先将供选择的10个日期在表格中标注出来.

表1

从条件来看,小红只知道小明的生日是几月,而每个月至少有两个日期可选,因此她不知道是几日,但她说小兰一定也不知道,依据是什么?

题目中所给的10个日期中,有一个6日,一个8日,两个4日、5日、7日、9日.如果小明生日是6日或8日,则小兰可以确定小明的生日,但小红说小兰一定不知道,故小明的生日不是6日和8日.进而可知小明生日的月份也不是5月和9月.

小兰听了小红的话,说:本来我不知道,但现在我知道了.剩下的日期中有一个4日,一个5日,一个9日,两个7日,如果小明的生日是7日,则小兰仍不能确定,故可排除2月7日和8月7日,还有三个日期可选.

最后小红也知道小明的生日了,如果是2月,还有2月5日和2月9日两个日期选择,小红是不能确定的,故小明的生日为8月4日.

借助表格分析是本题成功求解的关键,处理此类问题时要注意前一句话与后一句话的关系,前一句话就是后一句话判断的依据,一环套一环,环环相扣.

2 分类讨论法

分类讨论法是常用的数学解题思想方法,应用此方法解题时,首先要确定分类标准,保证分类不重不漏.在处理逻辑推理问题时,根据题目所述的逻辑关系,首先要确定可能有几种结果,再对各种可能结果进行逐一判断,排除错误结论,从而得出正确结论.

例2甲、乙、丙、丁四位同学参加某学科知识竞赛,其中只有三人获奖.四人对获奖结果进行了如下猜测.

甲:乙或丙未获奖.

乙:甲、丙都获奖.

丙:我未获奖.

丁:乙获奖.

如果四位同学的猜测恰有两个正确,则( ).

A.甲和乙不可能同时获奖

B.丙和丁不可能同时获奖

C.乙和丁不可能同时获奖

D.丁和甲不可能同时获奖

四人中有三人获奖,则获奖情况有如下四种.

1)甲、乙、丙获奖,则甲的猜测错误,乙的猜测正确,丙的猜测错误,丁的猜测正确,符合恰有两位同学猜测正确的条件.

2)甲、乙、丁获奖,则甲的猜测正确,乙的猜测错误,丙的猜测正确,丁的猜测正确.其中有三位同学的猜测正确,不符合条件,故排除此种情况.

3)甲、丙、丁获奖,则甲的猜测正确,乙的猜测正确,丙的猜测错误,丁的猜测错误,符合条件.

4)乙、丙、丁获奖,则甲的猜测错误,乙的猜测错误,丙的猜测错误,丁的猜测正确,只有一位同学的猜测正确,故排除此种情况.

综上,获奖的同学可能为甲、乙、丙或甲、丙、丁,故选项A,B,D 错误,故选C.

本题也可从猜测的真假性入手进行判断,其中乙的猜测和丙的猜测矛盾,从而找到解题突破口.

3 图示分析法

处理逻辑推理问题的关键步骤是整理与分析逻辑关系.图形最显著的特征就是直观性,它能将错综复杂的逻辑关系直观地呈现出来.在处理逻辑推理问题中常用的图形有树状图、流程图、网状图等.

例3(2017年全国Ⅱ卷理7)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( ).

A.乙可以知道四人的成绩

B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩

D.乙、丁可以知道自己的成绩

由条件可画出图示关系,如图1所示.因为四人的成绩中有2位优秀,2位良好,甲知道乙和丙的成绩,如果2人均为优秀或均为良好,则甲可以判断自己的成绩.但现在甲不知道自己的成绩,说明乙和丙中一个是优秀,一个是良好.而乙知道丙的成绩,所以乙能据此判断自己的成绩.乙和丙的成绩其中一个为优秀,一个为良好,则甲和丁的成绩其中一个为优秀,一个为良好,而丁知道甲的成绩,所以丁可据此判断自己的成绩.

图1

通过上面的分析,我们得到新的关系,如图2所示.

图2

据此可知乙只知道自己和丙的成绩,故选项A错误.

丁只知道自己和甲的成绩,故选项B错误.

乙、丁不知道对方的成绩,故选项C错误.

乙和丁可以知道自己的成绩,故正确选项为D.

根据图示我们得出了题目表面的逻辑关系,再挖掘甲所说的话背后的深层含义,迅速找到了解题的突破口.

4 假设判断法

假设判断法是处理逻辑推理问题的常用方法,真话、假话问题是考查逻辑推理的重要题型,假设判断法就可以处理此类问题.我们可假设某句话为真,再结合题目所给的其他关系,看是否与假设相矛盾,再进行排除.进而得出正确答案.

例4A,B,C,D 四名实习生同时参加了某公司人力资源部的面试,在面试结果公布之前四人做出如下猜测.

A 说:面试通过者在B,C,D 三人中.

B 说:我面试没有通过,C面试通过了.

C 说:A 和D 中的一人面试通过了.

D 说:B的猜测是正确的.

面试结果公布后,四人中有两人的猜测是正确的,另外两人的猜测不正确,已知有两人面试通过,则面试通过的人是_________.

不难判断四人所说的话中B和D 同真或同假;因此可据此找到解题的突破口.

假设B和D 的猜测是正确的,则A 和C 的猜测是错误的.

B说:我面试没有通过,C 面试通过了.那么另外一个面试通过的人就在A 或D 中产生,因此C 的猜测也是正确的,与条件“四人中只有两人的猜测正确”矛盾.

所以A 和C 的猜测是正确的,B 和D 的猜测是错误的.

A 说:面试通过者在B,C,D 三人中,所以A 面试没有通过.

C说:A 和D 中有一人面试通过,因为A 面试未通过,所以D 面试通过了.

B说:我面试没有通过,C面试通过了,这个猜测是错误的,所以B面试通过了,C面试没有通过.

综上,面试通过的人是B和D.

求解本题的关键是发现B和D 猜测真假性相同这一隐含条件,并据此做出假设进行判断.此类问题常出现隐含关系矛盾的情况,因此要对这些关系仔细审视、准确识别、合理利用.

逻辑推理问题常被称为小学生能做的高考题,不言而喻,此类问题考查的是能力,不是知识.因此我们要找准问题的切入点,采用恰当的分析方法,方能正确求解问题.

(完)