巧构函数,妙用导数

孙桐江

(天津市静海区第六中学)

解决一些含有导函数的关系式(或不等式)问题时,经常要合理构造函数,利用导数运算以及导函数的正负取值情况确定相应函数的单调性,再结合函数的基本性质解决与之相关的函数问题.在解决一些导数问题中,若已知某个含f′(x)的关系式或不等式,往往可以将所求问题转化为函数的单调性问题,这时就需要根据关系式或不等式的形式,巧妙构造函数,再根据导数确定所构造函数的单调性,并综合其他相关知识顺利求解问题.本文总结题目类型与解决策略,以期引领并指导数学学习与复习备考.

1 构造函数xf(x)或

若问题条件中含有“xf′(x)＋f(x)”或“xf′(x)－f(x)”形式的关系式或不等式,可考虑构造函数xf(x)或进行求解.

例1(2015年全国Ⅱ卷理12)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(－1)＝0,当x＞0时,xf′(x)－f(x)＜0,则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是( ).

B.(－1,0)∪(1,＋∞)

C.(－∞,－1)∪(－1,0)

D.(0,1)∪(1,＋∞)

分析根据题目条件中不等式含有“xf′(x)－f(x)”的形式,合理构造对应的函数,通过求导处理,结合相关代数式的正负取值情况,利用函数的单调性与奇偶性,以及函数的零点来解决相应的抽象不等式问题.

解 根据题意,构造函数g(x)＝,求导可得g′(x)＝,由于当x＞0时,xf′(x)－f(x)＜0,所以当x＞0时,g′(x)＜0,即函数g(x)在(0,＋∞)上单调递减.

又由于函数f(x)(x∈R)是奇函数,则知函数g(x)是偶函数,所以函数g(x)在(－∞,0)上单调递增,且g(－1)＝g(1)＝0,所以当0＜x＜1 时,g(x)＞g(1)＝0,则f(x)＞0 成立;当x＜－1 时,g(x)＜g(－1)＝0,则f(x)＞0成立.

综上,使得f(x)＞0 成立的x的取值范围是(－∞,－1)∪(0,1),故选A.

2.公司层面与业务层面的共同点。公司层面与业务层面的共同点主要体现在三方面。一是控制遵循的原则基本一致。即都要遵循全面性原则、重要性原则、制衡性原则、适应性原则、成本效益原则；二是控制实现的总体目标是一致的。即都围绕实现生产经营目标、财务目标和合规目标而实施；三是防范的基本风险是一致。即主要为了经营风险、防范战略风险、法律风险和财务风险。

本题先构造与题目条件相吻合的复合抽象函数,再通过求导并结合题目条件确定新构造函数的单调性.根据题目条件联想与之对应的复合函数是求解问题的关键.

2 构造函数xf(nx)或

若问题的条件中含有“nxf′(nx)＋f(nx)”或“xf′(x)－nf(x)”形式的关系式或不等式,可考虑构造函数xf(nx)或进行求解.

例2已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x),且满足f(－1)＝0,当x＞0 时,2f(x)＞xf′(x),则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是_________.

分析本题先根据题目条件中的不等式“xf′(x)＜2f(x)”合理构造函数F(x)＝,并结合条件确定函数F(x)的单调区间,最后由函数的图像直观确定相应不等式的解集.

解根据题意,构造函数F(x)＝,求导可得F′(x)＝,由于当x＞0 时,xf′(x)－2f(x)＜0,所以当x＞0时,F′(x)＜0,故函数F(x)在(0,＋∞)上单调递减,而函数f(x)为偶函数,则知F(x)＝为偶函数,所以F(x)在(－∞,0)上单调递增.

由f(－1)＝0,可得F(1)＝F(－1)＝f(－1)＝0,根据函数的单调性、奇偶性可得f(x)函数的大致图像,如图1所示,根据图像可知f(x)＞0的解集为(－1,0)∪(0,1).

图1

题目条件中的不等式为合理构造函数提供了条件.对于这类问题,经常借助题目条件中的关系式,合理变形与构造较为常见的函数,这也是构造函数解题的基础.

3 构造函数

若问题条件中含有“f′(x)－f(x)”形式的关系式或不等式,可考虑构造函数辅助解题.

例3若函数y＝f(x)的定义域为R,∀x∈R,f′(x)＜f(x),且f(x＋1)为偶函数,f(2)＝1,则不等式f(x)＜ex的解集为_________.

分析根据题目条件中的不等式“f′(x)＜f(x)”合理构造函数F(x)＝,再通过求导、结合不等式恒成立的条件确定函数F(x)的单调性.

解构造函数F(x)＝,求导可得

由∀x∈R,f′(x)＜f(x),可得

则函数F(x)在R上单调递减.

又由于f(x＋1)为偶函数,则有f(x＋1)＝f(－x＋1),结合f(2)＝1,令x＝1,可得

那么F(0)＝1,由f(x)＜ex,得＜1,即F(x)＜F(0),根据函数F(x)是R 上的单调递减函数,可得x＞0.

函数y＝ex的导数特征为进一步构造与之对应的函数提供了条件.若所求题目条件中涉及含ex的关系式,通常构造与这类函数有关的复合函数进行求解.

4 构造函数

若问题条件中含有“f′(x)sinx－f(x)cosx”形式的关系式或不等式,可考虑构造函数进行求解.

例4已知定义在(0,)上的函数f(x),f′(x)是它的导函数,且恒有f(x)＜f′(x)tanx成立,则( ).

分析根据题目条件中的不等式“f′(x)tanx＞f(x)”构造函数g(x)＝,通过求导确定函数的单调性,再结合不同的函数值比较大小.

本题通过关系式的变形与转化,合理构造与三角函数相关的复合函数辅助求解.对含三角函数的关系进行恒等变形时,根据条件确定与之对应的复合函数,是解决问题的先决条件.

其实,需要根据题目条件中的不同关系式(或不等式)的形式构造与之相吻合的函数问题,除以上几种类型外,还有其他类型,例如,通常利用导数判断函数的单调性来处理一些与函数的单调性、极值或最值有关的问题.在平时的学习中,要善于利用化归与转化思想解决相应的数学问题,这对全面提升导数的综合应用,培养自身的数学核心素养大有帮助.

(完)