基于动态规划理论的舰空导弹射击方案优化研究∗

朱传伟 黄 敏 付哲泉

（海军大连舰艇学院 大连 116018）

1 引言

舰空导弹装备作为水面舰艇的主战防空武器，是水面舰艇对空防御作战中硬武器抗击的首道防线，对水面舰艇防空作战的效果起到举足轻重的作用。为进一步提高舰空导弹的射击指挥效率，舰空导弹射击指挥员需结合射击指挥决策辅助系统科学合理地制定舰空导弹射击方案，以便达到合理利用作战资源，提高整体作战效能的目的。由于目标空袭战术不断变化，空袭环境越来越复杂，来袭目标数量不断增加，给舰空导弹防空反导作战带来严峻的挑战，舰空导弹射击方案筹划制定与实际运用不匹配的矛盾日益突出。因此，必须要对舰空导弹射击方案优化问题进行深入分析与研究，提高舰空导弹的射击效能，以满足舰空导弹防空反导作战的需要［1］。

射击方案优化目的是在舰空导弹防空反导作战过程中合理使用舰空导弹资源，并实现以较高的毁伤概率杀伤目标，达到有效保卫本舰及海上其他舰船的目标。显然该模型优化是一个多目标多阶段的优化问题。而传统的优化模型均是对空中来袭目标的一次防御过程分解成若干独立交战过程，依据上次交战观效结果制定下次拦截计划的控制模式已难以适应现代防空作战模式下舰空导弹资源综合调度的需要。为了避免上述传统模式下产生的弊端，迫切需要一种综合考虑多次射击的舰空导弹射击方案优化方法，将舰空导弹多次射击过程作为整体进行衡量，有利于进一步优化舰空导弹射击指挥决策方案，减少火力通道占用时间，正确选择导弹发射时机，提高毁伤目标概率，达到提高整体作战效能的目的。

2 舰空导弹射击方案优化的影响因素

舰空导弹射击方案是指在防空反导作战中，针对不同的空袭目标态势，射击指挥员使用舰空导弹对来袭目标进行拦截的组织实施方法［2］。舰空导弹射击方案主要内容包括明确需要拦截哪些目标，确定对来袭目标的抗击采用几发导弹，合理利用火力通道资源执行发射任务，权衡导弹的发射时机和毁伤目标概率，预测对来袭目标的最大可拦截次数等。舰空导弹防空反导作战涉及的环节多、情况复杂，空袭目标战术攻击方式复杂，其射击方案优化的影响因素众多，优化舰空导弹射击方案必须综合考虑这些影响因素，为客观系统地评价射击方案打下良好的基础。依据舰空导弹防空反导作战的特点，结合咨询专家意见，归纳起来，影响舰空导弹射击方案优化的因素主要包括以下四个方面。

2.1 目标威胁等级判断

在舰空导弹射击过程中，目标的威胁判断结果是舰空导弹射击方案优化的基本依据。从对空防御的角度看，对水面舰艇构成威胁的主要空袭目标包括三大类，即飞机类目标、飞航导弹类目标、战术弹道导弹目标。不同的来袭目标在不同的作战态势下对水面舰艇的威胁程度不同，针对不同的威胁等级，在进行舰空导弹射击方案优化时需要侧重于不同的指标，例如对威胁程度较大的反舰导弹来讲，需要着重考察对空作战反应时间与毁伤概率等方面的情况。依据威胁评估的结果，便于指挥员明确需要拦截哪些目标，并迅速、正确地定下火力分配和舰艇机动指挥决策，对空袭目标威胁程度的评估及排序的结果直接影响着舰空导弹射击方案优化的整体效果［3］。

2.2 防空导弹拦截能力

舰空导弹的拦截能力主要表现在舰空导弹对目标的最大可拦截次数，受限于可供发射的导弹数量。根据可拦截目标次数和可供发射导弹数量的关系，又可分为多种情况制定与优化舰空导弹射击方案，在不同的拦截阶段，合理确定射击种类，选择火力通道，力争最佳时机发射，达到期望的作战效果。

2.3 防空导弹火力分配

舰空导弹射击方案优化中，确定由哪些火力通道采取不同发射配置模式和导弹发射时间间隔的射击方式组合是方案优化决策的关键和核心内容，而该问题集中反映了舰空导弹防空作战中的火力分配效果［4～5］。因此，火力分配是舰空导弹射击方案优化中的关键环节，其初始条件是空中目标的威胁程度和舰空导弹武器系统能够对其进行拦截的次数，约束条件是舰空导弹武器系统的火力通道数量、通道的转火射击能力和毁伤目标概率等。

2.4 舰空导弹发射时机

正确灵活地选择导弹的发射时机，可提高舰空导弹的射击效果，是研究舰空导弹射击方案优化的关键问题之一［6］。在舰空导弹射击方案优化中，发射时机确定的基本原则为尽远发射，为舰空导弹实施连续射击和转火射击创造条件。但从典型舰空导弹毁伤目标特性分析，其发射时机与毁伤目标概率存在着非线性关系，在尽远发射舰空导弹的基本原则下，也要保证达到毁伤目标概率的预期值。因此，在舰空导弹射击方案优化过程中，要定量给出舰空导弹发射时机的计算方法及指标参数，在毁伤目标概率和发射时机之间取得较好的平衡，既保证对来袭目标的拦截效果，又能够为舰空导弹进行连续射击和转火射击创造有利战机，进一步提升舰空导弹射击方案优化的快速性和灵活性。

3 舰空导弹射击方案优化的指标体系

3.1 优化指标体系设计

鉴于舰空导弹射击方案问题涉及影响因素较多，且相关影响因素又可细化分为多种因素。为有效降低舰空导弹射击方案优化指标选择的主观性，提高优化指标体系的实用性和针对性，依据舰空导弹射击方案优化的影响因素、理论内涵和指标体系建立的原则，经过分析与归纳，最终建立舰空导弹射击方案优化指标体系，一级指标包含4个指标，二级指标包含9个指标，见图1。

图1 舰空导弹射击方案优化指标体系

3.2 指标体系各项指标说明

1）目标威胁程度

对于舰空导弹射击方案优化关键问题研究，其前提条件是对来袭目标进行威胁评估，对指挥员准确地判断敌情起着至关重要的作用，也是舰空导弹进行火力分配的基本依据。在射击方案优化研究中，对威胁程度较大的空中目标赋予较大的权值，并以此权值作为权重对射击方案进行加权。加权射击方案准则的有效性和准确性取决于目标威胁大小的判断和权值的确定。

2）最多可拦截来袭目标次数

舰空导弹能够对目标进行拦截的次数决定着射击方案优化问题的最终实现，是在舰空导弹最大拦截能力的基础之上进行优化的。从对空防御的整体性进行考虑，舰空导弹对单目标的最多可拦截次数与系统的作战反应时间、导弹的作战空域、系统的发射准备时间等因素有关［7］。

3）多次拦截可供发射的舰空导弹数量

经计算，舰空导弹可以对来袭目标实施多次拦截，假设某次拦截可供发射的舰空导弹数量为某一随机变量，舰空导弹射击方案的某次射击使用导弹数量不能超过可供发射的舰空导弹数量。

4）舰空导弹射击通道占用时间

舰空导弹射击通道占用时间主要由导弹发射时间间隔、导弹与目标遭遇的飞行时间、为提高射击效果而进行的必要延时、射击效果评估和指挥员进行决策时间等部分组成。舰空导弹射击通道占用时间对于舰空导弹武器系统连续射击和转火射击的组织实施起到至关重要的作用，为能抗击空中来袭的多批次目标，需要尽快释放舰空导弹射击通道资源。

5）舰空导弹消耗量

舰空导弹发射数量是舰空导弹射击方案优化的关键指标。随着来袭反舰导弹数量的不断增多、空袭体系的不断完善，如何利用好有限的舰空导弹数量来进行防空反导作战是射击方案优化过程中需要解决的难题。

6）舰空导弹发射时刻

合理选择舰空导弹的发射时刻能够优化多目标通道舰空导弹武器系统的通道占用时间，提高其转火射击能力，是实现最优火力分配的基础［8］。从舰空导弹武器系统弹道特性上分析，发射时刻的选择应与舰空导弹毁伤目标概率结合进行考虑，单纯强调尽早发射可能会使舰空导弹毁伤目标概率降低，而一味强调毁伤目标概率问题，又可能使舰空导弹射击时贻误战机。

7）舰空导弹毁伤目标概率

舰空导弹毁伤目标的概率与单发杀伤概率、导弹发射数量、导弹的发射时机等因素有关。舰空导弹单发杀伤概率属于武器系统的固有能力，导弹的发射数量与指挥员采取的发射种类有关，发射时机是指按下导弹发射按钮的时刻，需要根据战场态势及舰空导弹武器系统的射界，合理进行选择，尽量以较高的毁伤概率拦截目标。

4 舰空导弹射击方案优化的理论模型

4.1 目标函数

1）舰空导弹消耗量

式中：M为舰空导弹射击时的消耗量；n为舰空导弹的拦截次数；m1,m2,......,mn为每次射击发射的舰空导弹数量。

2）舰空导弹毁伤目标概率

式中：Pk为舰空导弹在第k种状态时毁伤目标的概率，Cdk为舰空导弹在状态k时对单目标发射导弹的数量，Pdki为舰空导弹在状态k时对目标发射第i发导弹对目标的单发杀伤概率。

3）舰空导弹发射时机［9］

舰空导弹发射时机可用射击提前系数指标来进行度量。式中：αi为舰空导弹第i次射击的射击提前系数；tsmax为最大毁伤瞬时，来袭目标到达该点，舰空导弹毁伤概率最大；tsy为来袭目标到达舰空导弹杀伤区远界的时刻，称为最早毁伤瞬时；ths为第i次射击的毁伤瞬时。

在舰空导弹任意射击瞬时t，一旦求得舰空导弹的毁伤瞬时ths，即可求得该舰空导弹的射击瞬时。由式（3）可知，射击提前系数取值范围α∊[0,1]，且α的取值能够反映舰空导弹对目标的毁伤时机和毁伤概率。

舰空导弹拦截空袭目标的发射时机可用α的取值来定量描述，α的取值在0～1之间。在左边界时刻发射舰空导弹，其毁伤目标概率最高，发射时机最晚；在右边界时刻发射舰空导弹，其发射时机最早，毁伤目标概率最低。

4）舰空导弹射击通道占用时间

式中：tjg为舰空导弹进行齐射时导弹的发射间隔时间；tfx为舰空导弹的飞行时间；tzh包括进行观察射效和下达转火射击命令所需时间。

4.2 约束条件

1）目标威胁程度

式中：W为空中目标威胁度，Mwy为目标情况判断威胁强弱程度，Mwk为目标攻击可能性概率，Mwn为目标攻击能力。

2）最多可拦截来袭目标次数

式中：k1为想定态势条件下的舰空导弹武器系统拦截次数；ns为依据舰艇载弹量，舰空导弹武器系统所允许的拦截次数。

3）多次拦截可供发射的舰空导弹数量

对舰空导弹发射数量的约束包括两个方面：一是舰空导弹的第i次射击发射的导弹数量不可超过系统允许发射的导弹数量；二是在满足期望毁伤效果的前提下，多次拦截过程中的消耗导弹数量的最大约束。

式中：ηi为第i次拦截可供发射的舰空导弹数量的随机变量；mi为第i次射击使用导弹数量；kd为舰空导弹的最多拦截次数；nmax为满足预期毁伤概率的舰空导弹最大发射数量。

4.3 确定方案集指标相对隶属度矩阵

在舰空导弹射击方案优化研究中，衡量一个方案的优劣标准往往不止一个，通常要将上述模型中的各个目标函数进行综合考虑。为便于优化分析，将待选方案集X的n个方案的指标值经归一化得到相对隶属度矩阵：R4×n=(rij)4×n。

其中：方案的射击时机可用射击提前系数指标来进行度量，其为越大越优型指标，则r1j=αj；

执行该方案的舰空导弹毁伤目标概率为越大越优型指标，则r2j=Pj；

在确定射击方案优化指标权重系数的基础上，针对待选方案的优化指标值，结合最优化理论，采取不同的优化理论和方法，并找到一套行之有效的算法，通过对模型的求解进行舰空导弹射击方案的相关分析与比较。

5 基于动态规划理论的射击方案模糊优选

5.1 动态规划理论

动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法，其核心思想是以连续递推的方式对多阶段决策问题进行最优化，以分段的方式从终点向始点方向寻找最优策略，直至满足全局最优为止。由舰空导弹射击方案优化影响因素分析可知，射击方案优化属于多目标多阶段优化问题，且属于典型的模糊优化决策问题，可利用动态规划理论与多目标模糊识别优化理论结合，以便于达到有效求解多阶段多目标决策问题［9］。

5.2 基于动态规划的射击方案优化实现

舰空导弹对空中来袭目标进行第一次射击后，如目标未被杀伤，且仍在舰空导弹的发射区内，依据舰空导弹战斗使用基本原则，应首先采用连续射击的方式继续对目标进行拦截，直至将目标击毁。基于动态规划理论和舰空导弹拦截目标方式特点的分析，对于多次射击阶段的舰空导弹射击方案优化选择问题可以尝试采用多目标多阶段动态规划进行实时决策。

1）阶段

对于舰空导弹射击方案问题研究，可将多次拦截过程作为A个阶段，第几次射击数作为阶段变量a。

2）状态

对于舰空导弹射击方案问题研究，毁伤目标概率、射击通道占用时间均为状态变量。

3）决策

对于舰空导弹射击方案优化问题研究，各阶段发射的舰空导弹数量、火力单元的选择、导弹发射间隔时间、系统的可靠性为决策变量。本文暂不考虑系统兼容性的影响。

4）策略

对于舰空导弹射击方案问题研究，对于不同的射击阶段会有多个在一定范围内可供选择的允许策略。在问题优化过程中，可以利用基于动态规划的相关理论求得各不同射击阶段的最优策略。

5）状态转移方程

在第a阶段某状态xa下所做得出的决策ua(xa)，其整个过程反映在第a阶段的状态xa向第a+1阶段的状态xa+1进行转移，可用状态转移方程来描述整个的转移过程［10］。对于舰空导弹射击方案优化问题研究，由一个射击阶段向另外一个射击阶段的转变过程可由前向或后向递推方程进行求解和计算。

6）指标函数

对于舰空导弹射击方案问题研究，指标函数包括：毁伤目标概率和系统可靠性为越大越优型指标，可直接作为优属度函数；通道占用时间和发射导弹数量为越小越优型指标，需进行归一化处理。

5.3 基于级别特征值最小法的方案优化

设决策者确定阶段a的指标权重为ω(a)=(w1(a),w2(a),…,wm(a))，可得阶段a状态sa-1作出决策j的相对优属度［9］：

应用级别特征值向量式，得到阶段a方案集级别特征值向量：

aH由阶段a的起始状态ca-1与该阶段所选的决策da决定，因此aH为ca-1与da的函数，

则多目标决策系统模糊优选动态规划后向递推的方程形式为

根据式（9），在已知状态cA为界限的前提下，能够计算在各个cA-1状态下，第A阶段的方案级别特征值最小值为

依次后向推进对A-1阶段进行求解：

依次后向推进直至第1阶段，经计算可得：

类似地，可以给出模糊优选动态规划前向递推的基本方程为

此时，即可在边界条件为应用起点为c0的状态下，由式（13）可计算在不同的c1状态时，第1阶段的决策级别特征值最小值。

按此前向递推进行第2阶段计算，得

依次递推计算至第A阶段，得

根据终点的边界条件，求得第A阶段的最优策略根据多目标决策系统模糊优选动态规划前向递推的方程，在解算得到第A阶段最优决策的基础上，依次求解其余各个阶段的最优方案，最终可求得多目标规划各个阶段的最优策略

6 算例分析

6.1 情节设定

假设空中来袭反舰导弹以速度300m/s对水面舰艇编队中单艘舰艇实施攻击，目标航路捷径为0，飞行高度为5m，舰空导弹对该目标的杀伤区远界为12km，近界为4km，单发杀伤概率为0.5～0.7。舰艇所装载舰空导弹的火力通道划分区域如图2所示。

图2 空袭目标来袭态势

设空袭态势为多方向单目标来袭，目标威胁程度由高到低依次为 1001、1002、1003、1004。由来袭目标的基本参数和舰空导弹杀伤区范围，经计算，舰空导弹对1001批目标最多可进行两次拦截，对1002、1003、1004批目标最多可进行3次拦截。本文以对1003批目标进行拦截为例，要求舰空导弹以确保毁伤概率不低于0.9毁伤目标，已知舰空导弹的单发杀伤概率值为0.5～0.7，如果不考虑对目标的毁伤积累，并且各发导弹对目标的杀伤概率相等时，由式（2）可计算得到一次拦截所需要舰空导弹数量为2发～4发。

对于1003批目标最多可实施3次拦截，假设前两次拦截均没有杀伤目标，舰空导弹需要完成3次射击的组织实施过程，可将3次射击过程作为3个射击阶段，依据理论模型优化不同阶段的射击方案。对于图2给出的空袭目标态势下，1003批目标处于舰空导弹的2号火力通道与4号火力通道的抗击区域，而且2号火力通道与4号火力通道还要兼顾对1002批目标和1004批目标的拦截。那么指挥员对于1003批目标射击方案的优化时要根据目标空袭态势的变化，优化其发射时机、选择发射数量，既要保证对1003批目标的可靠拦截，又要兼顾考虑火力通道占用、毁伤目标概率等指标，保证对1002批、1004批目标的预期毁伤效果。

6.2 待选方案确定

假设舰空导弹的发射种类可选择单射和2发连射，2发连射的间隔时间为1s或1.5s。按照给定舰空导弹单发杀伤概率数值、预期毁伤概率及所需要舰空导弹数量2发～4发，依据不同火力通道导弹发射数量的选取、火力通道的选择、导弹发射间隔时间的不同，通过优化组合排列，可确定舰空导弹的9种候选射击方案，见表1。

表1 待选射击方案

6.3 射击方案优选

1）确定满足毁伤预期的待选射击方案集

根据舰空导弹射击待选方案的确定，依次对每个射击方案进行计算，找出满足毁伤预期的预期最早毁伤瞬时射击方案和最大毁伤概率射击方案作为备选方案列入待选方案集。则可得到n个满足毁伤预期的待选射击方案集X={X1,X2...,Xn}∊R4，每个方案均可以计算得到该方案的射击提前系数、毁伤目标概率、通道占用时间、发射导弹数量4项指标值。

2）指标值的获取

当采用射击方案1时，经计算得最早毁伤瞬时射击方案，其指标为［0.72，0.90，18.0，2.00］，最大毁伤概率射击方案，其指标为［0.60，0.91，16.5，2.00］。

同理，采用方案2～方案9，经计算得到最早毁伤瞬时方案、最大毁伤概率射击方案。

综合可得到满足毁伤预期的待选射击方案集合为

依据方案集指标隶属度矩阵的确定方法，将9种方案的4个指标值分别进行归一化处理，可得18个待选射击方案的指标隶属度矩阵：

同理可得，舰空导弹第二次射击和第三次射击的待选射击方案的指标隶属度矩阵：

3）指标权重确定

指标权重需要根据战场态势、指挥员经验和偏好进行调整，如何确定权重本文不予讨论。假设第一次射击指标权重ω1=(0.35,0.4,0.1,0.15)，第二次射击指标权重ω2=(0.25,0.45,0.1,0.2)，第三次射击的指标权重ω3=(0.15,0.55,0.05,0.25)。

6.4 计算结果及分析

对舰空导弹射击方案待选方案的优化与选择，可以采用多目标多阶段模糊优选动态规划求解方法中的最大优属度方法。

利用文中给出的优属度算法，以级别特征值的大小为依据，对方案集中各方案进行排序，得到三个阶段的射击方案优化排序结果为：第一阶段的最优决策方案为方案1（即待选射击方案1中最早毁伤瞬时射击方案）；第二阶段为射击方案10（即待选射击方案5中最大毁伤概率射击方案）；第三阶段为射击方案16（即待选射击方案8中最大毁伤概率射击方案）。各阶段方案优属度计算结果见表2。

表2 三个射击阶段的方案级别特征值

7 结语

舰空导弹射击方案研究是有关舰空导弹作战使用研究的一项重要内容，也是提高武器装备作战能力的重要途径和手段，科学、合理的作战使用和指挥决策需要射击方案优化的定量依据和理论支撑［11～12］。舰空导弹射击方案优化问题可以表示成一类结构性决策问题，从而可用评价与优化方法进行求解。根据舰空导弹射击方案优化指标体系分析，舰空导弹射击方案决策影响因素很多，且存在很大的随机性和不可预知性。本文只是选取若干关键指标讨论了舰空导弹射击方案的优化与选择问题，在典型战术背景条件下，运用基于动态规划理论的射击方案模糊优选理论，结合舰空导弹消耗量、舰空导弹毁伤目标概率、舰空导弹发射时机、射击通道占用时间四项指标，以每次射击过程作为动态规划的一个阶段，指挥员可以根据空袭目标态势变化和偏好采用分三步优选的方式寻求最佳的射击方案。