关于复分裂四元数的复矩阵表示及其求逆方法

邓勇

(喀什大学数学与统计学院，新疆喀什 844000)

0 引言

Hamilton 对数学科学最杰出的贡献之一就是在1843 发现了实四元数.正是因为有了实四元数，所以才找到了一种将复数推广到更高维空间的方法.实四元数集可表示为

其中，i2=j2=k2=-1,且ijk=-1.实四元数集是一个4 维Clifford 非交换可除代数[1，2].在实四元数诞生不久，James Cockle 于1846 年又引入了实分裂四元数集

其中，i2=-1，j2=k2=1,且ijk=1.实分裂四元数集也是一个4 维Clifford 非交换代数.但与实四元数代数不同的是，实分裂四元数集包含零因子、幂零元和非平凡的幂等元[3].此外，任何一个实分裂四元数均可由2×2 复矩阵表示[4].由于实四元数乘法的非交换性，所以实四元数矩阵理论已成为研究非交换代数的热点之一.文献[5]对实四元数及其矩阵作了简要讨论；文献[6，7]分别研究了实四元数矩阵的相似性、标准形和特征值；文献[8]给出了实四元数矩阵在复数域上依然成立的一些定理.

实分裂四元数及其矩阵理论是近几年才流行起来的研究内容，它为解决量子力学、量子场论、空间几何学、深度学习、物理学、编码理论、信号处理等领域的数值计算、空间旋转等问题提供了有力工具[9，10].文献[11，12]分别研究了实分裂四元数的矩阵方程.

本文研究复分裂四元数，并用i表示复数单位，i，j，k表示四元数单位.

1 复分裂四元数

定义1.1以复数为系数的分裂四元数q=q0+q1i+q2j+q3k(q0,q1,q2,q3∈C)称为复分裂四元数，其中复数单位和四元数单位的乘法规则如下：

表示所有复分裂四元数组成的集合.

定义1.2设q=q0+q1i+q2j+q3k∈，称Sq=q0和Vq=q1i+q2j+q3k分别为q的标量部分和向量部分.若Sq=0，则称q为纯复分裂四元数；若Vq=0，则q成为一个复数.

对∀q=q0+q1i+q2j+q3k∈，其中ql=al+ibl(al,bl∈R,l=0,1,2,3).q还有另外两种表示形式：

由于复分裂四元数q的复形式可借助实分裂四元数的特性，所以在各种问题的讨论中复形式的运用更为常见.

定义1.3设p=p0+p1i+p2j+p3k，q=q0+q1i+q2j+q3k∈HCS.若pl=ql(l=0,1,2,3)，则称p和q相等，记作p=q.称

分别为复分裂四元数p与q的和、积以及c与p的标量积.显然，复分裂四元数的加法、乘法和标量积关于封闭.

复分裂四元数与实分裂四元数的区别之一是，它有三种不同类型的共轭，即

分别为q的四元数共轭、复数共轭和全共轭.

2 基本代数性质

命题2.1对∀p,q∈和∀c∈C，下列性质成立：

由于复分裂四元数环是一个非交换代数，所以它具有以下一些有别于复代数的性质，即

命题2.2对于∀p,q∈.一般地，下列性质成立：

证明取p=(1+i)j，q=(1+i)+(1+i)j∈.通过直接计算即可验证.

定理2.1对∀q=q0+q1i+q2j+q3k∈，它总可以用一个4×4复矩阵来表示.

证明定义上的映射

不难证明，此映射是线性同构映射，并且基元1,i,j,k在fq下的作用结果为

事实上，对∀q=q0+q1i+q2j+q3k∈，再定义映射

由于fq是同构映射，进而χ也是同构映射，因此本质上相同，即由此可见，研究复分裂四元数的问题可等价地转化为处理相应的4×4复矩阵.

定义2.1设q=q0+q1i+q2j+q3k∈，称

证明（1）和（3）的证明可由定义2.1 直接验证获得.下面只给出（2）的证明.由于

因此，由复分裂四元数的复矩阵表示，可得

3 可逆性判定

由于复分裂四元数环是非交换代数，所以一般地，有qp≠pq.然而，如下命题却成立.

命题3.1设q,p∈.若qp=1，则pq=1.

证明令q=q0+q1i+q2j+q3k，p=p0+p1i+p2j+p3k(ql,pl∈C，l=0,1,2,3).于是，结合命题2.3的证明可得

将这四个方程合并为一个矩阵方程

由于矩阵方程（*）是一个复矩阵方程，所以其中的两个复矩阵可交换，即（*）也可写为

由(**)又可以得到如下四个方程

命题证毕.

定理3.1设q=q0+q1i+q2j+q3k∈.于是，qC可逆⇔q可逆.

证明“⇒”若qC可逆，则存在(qC)-1∈M4×4(C)，使得

因det(qC)=13 ≠0，故qC可逆，并且

“⇐” 按照必要性证明的推导方法，不难获证，在此从略.

实际上，定理3.1 的证明过程给出了求可逆复分裂四元数逆的方法，具体步骤归纳如下：

（1）写出q的复矩阵表示qC；

（2）求出(qC)-1；

（3）取(qC)-1第一列的元素p11,p21,p31,p41(∈C)，于是

4 数值算例

例求复分裂四元数q=1+(1 -i)i+(-1+2i)j+(1+2i)k的逆.

解令q=q0+q1i+q2j+q3k，其中q0=1，q1=1 -i，q2=-1+2i，q3=1+2i.于是，q的复矩阵表示为