巧变换破解不等式证明——2021年新高考数学全国Ⅰ卷第22题

叶 欣

(北京市北京工业大学附属中学 100022)

新高考数学试题的特点之一是注重知识的综合应用，通过在知识网络交汇点处设计试题，使得对数学基础知识的考查达到必要的深度，突出数学核心素养的落实.以函数为背景考查不等式成立的证明就是上述指导思想的体现，也是高考热点问题.函数是高中数学的主线，其中导数更精确地刻画了函数的性质，为研究函数的单调性、极值与最值、求曲线的切线等问题提供了有效的方法与途径，方程与不等式是研究和解决有关函数问题的重要工具，同时在解决有关方程与不等式的问题时，又常以函数的相关性质为依据，并借助于函数的图象解释其几何意义.

1 高考试题呈现

题目(2021年新高考数学全国Ⅰ卷第22题)已知函数f(x)=x(1-lnx).

(1)讨论f(x)的单调性；

本题第(1)问是讨论函数的单调性，由于函数中不含参数，因此不会涉及分类讨论，属于基本问题.第(2)问是给出一个新的等式并证明相关不等式成立的问题，要解决问题首先要根据等式特征合理变形，再利用已知函数的性质完成不等式证明，难度较大，下面做重点分析.

2 常规解法展现

解法1 由条件blna-alnb=a-b，

因为当x∈(0,e)时，f(x)>0；

当x=e时，f(x)=0；

当x∈(e,+∞)时，f(x)<0.

又fmax(x)=f(1)=1,所以结合单调性可知

x1∈(0,1)，x2∈(1,e)，k∈(0,1).

即证2

下面先证x1+x2>2.

因为2-x1>1，f(x)在(1,+∞)单调递减，f(x2)=f(x1)，所以x1+x2>2⟺x2>2-x1⟺f(x2)

令h(x)=f(x)-f(2-x)(0

则h′(x)=f′(x)+f′(2-x)=-ln[x(2-x)].

因为x∈(0,1)，所以x(2-x)∈(0,1).

所以h′(x)>0恒成立.故h(x)单调递增.

因此h(x)

所以x1+x2>2得证.

再证x1+x2

因为e-x1>1，f(x)在(1,+∞)单调递减，f(x2)=f(x1)， 所以x1+x2f(e-x1)⟺f(x1)>f(e-x1).

下面可以仿照上面的过程完成证明(略).

3 其他解法探究

下面再来探讨一下证明“x1+x2

思路1 采用比值换元法.

因为f(x2)=f(x1)，所以f(x2)=f(tx2).

即x2(1-lnx2)=tx2(1-lntx2).

可证ex≥x+1(当且仅当x=0时取等号).

即证lnt

易证其成立，所以x1+x2

因为f(x2)=f(x1)，所以f(x2)=f(tx2).

即x2(1-lnx2)=tx2(1-lntx2).

可证lnx≤x-1(当且仅当x=1时取等号).

点评针对多变量的问题常可以采用“比值换元”的方法，这里通过换元并利用等式f(x2)=f(x1)确立变量与新元的关系，最终将要证明的二元不等式转化为一元不等式，进而利用指、对常用不等式ex≥x+1和lnx≤x-1完成证明.上面两种方法的思路相同，但对于不等式的变形程度不同，使得后续证明略有差异.

思路2 采用零点转化法.

解法4 令F(x)=f(x)-k，

则x1,x2是函数F(x)的两个零点.

由(1)知F(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)单调递减.

因为F(k)=f(k)-k=-klnk>0，所以x1

要证x1+x2

即证x2F(e-k).

即证0>F(e-k).

令q(x)=F(e-x)=f(e-x)-x(0

则q′(x)=-f′(e-x)-1=ln(e-x)-1<0.

所以q(x)在(0,1)上单调递减.

所以q(x)

所以F(e-k)<0.

所以x1+x2

点评由于x1,x2为f(x)=k的两个不等实根，通过平移，将条件转化为x1,x2是函数F(x)=f(x)-k的两个零点，使得借助函数F(x)的图象和性质解决问题成为可能.

思路3 采用切线放缩法.

解法5 因为当x∈(0,1)时，f(x)=x(1-lnx)>x.

又f(x1)=f(x2)=k，所以x1

又f(x)在点(e,0)处的切线为y=-x+e，

可证当x∈(1,e)时，f(x)=x(1-lnx)<-x+e.

所以k<-x2+e.

即x2<-k+e.所以x1+x2

点评利用曲线的切线进行放缩是解决有关不等式恒成立的一种方法，尤其是针对含有指数、对数的函数，利用曲线的切线进行放缩往往能实现事半功倍的效果.

思路4 采用割线分析法.

解法6 因为当x∈(0,1)时，f(x)=x(1-lnx)>x.

又f(x1)=f(x2)=k，所以x1

要证x1+x2

即证x2f(e-k).

即证f(e-k)

令g(k)=f(e-k)-k(0

则g′(k)=-f′(e-k)-1=ln(e-k)-1<0.

所以g(k)在(0,1)上单调递减.

所以g(k)

所以x1+x2

解法7 同解法6将要证明的不等式转化为证明k+x2

令t(x)=f(x)+x(1

则t′(x)=f′(x)+1=1-lnx>0.

所以t(x)在(1,e)上单调递增.

所以t(x)

即f(x2)+x2

点评结合对函数f(x)的图象和性质的分析，发现可以借助曲线f(x)与直线y=x的位置关系，比较f(x)与x的大小，并利用函数f(x)的单调性将问题转化，通过构造新函数并研究其单调性完成不等式的证明.这种由形进行分析，用数进行证明，也是数形结合思想的体现.

以函数为背景对不等式证明的考查是高考中的热点问题，由于这类问题切入角度多变、解决方法灵活，一直是学生感觉较为困难的.在复习的过程中，要注意对典型的问题进行反思总结，通过对不同解法进行分析、比较，抓住并理解问题的本质，在掌握解决这类问题的通性通法的基础上，了解一些比较常见的破解问题的技巧方法，提高数学思维的灵活性、深刻性.