谈谈立体几何中的点到直线距离的求法

甘志国

(北京丰台二中 100071)

但用以上公式不能求点到直线的距离，下面谈谈立体几何中点到直线距离的求法.

图1

图2

(3)在空间直角坐标系中，若三点A,B,C(两点B,C不重合)的坐标分别是(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3)，则点A到直线BC的距离

在Rt△APQ中，由勾股定理可得欲证结论成立.

(ⅱ)当P∈l时，可得

=PQ.

综上所述，可得欲证结论成立.

(2)(ⅰ)当点P∉l时，由题设,得

在Rt△APH中，由勾股定理,得

(3)由结论(1)，可得点A到直线BC的距离

由拉格朗日恒等式：

若ui,vi∈C(i=1,2,…,n;n≥2)，则

令n=3，可得恒等式

=(u1v2-u2v1)2+(u1v3-u3v1)2+(u2v3-u3v2)2.

由此恒等式，可得

在该恒等式中令

a1=x2-x1,b1=y2-y1,c1=z2-z1,a2=x3-x2,b2=y3-y2,c2=z3-z2，

由①可得欲证结论成立.

注第(1)问得到的结论就是普通高中教科书《数学·选择性必修·第一册·A版》(人民教育出版社，2020)第33页给出的结论的推广.实际上，它与第(2)问的结论如出一辙.

题1如图3所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1,AB=2，点E在棱AB上且AE=EB，求点E到直线A1D的距离.

图3

解法1如图4所示建立空间直角坐标系D-xyz，得点D(0,0,0),A1(1,0,1),E(1,1,0)，

图4

所以点E到直线A1D的距离

题2(2021年高考上海卷第9题)在圆柱底面半径为1，高为2，AB为上底底面的直径，点C是下底底面圆弧上的一个动点.若点C绕着下底底面旋转一周，则ΔABC面积的取值范围是____.

解法1 如图5所示，过点C作CC′⊥上底面于点C′，再过点C′作C′H⊥AB于点H，可得AB⊥平面CC′H，所以AB⊥CH.

图5

可得C′H的取值范围是[0,1](当且仅当点C′与点A或点B重合时，C′H=0；

当且仅当点C′与上底面的两个半圆AB的中点重合时，C′H=1).

解法2 如图6所示建立空间直角坐标系O′-xyz(其中O′是圆柱下底面的中心)，可得两点A(0,-1,2),B(0,1,2).

可设点C(cosθ,sinθ,0)(0≤θ<2π).

图6

由定理(2)，可得点C到直线点AB的距离