电磁感应电路在不同惯性系中消耗的电功率

汪金花 李普年

（江苏省邳州市运河中学，江苏 邳州 221300）

2007年高考上海卷和2017年高考江苏卷中，均出现了由于磁场区域运动产生的电磁感应问题，试题（两次高考题目相似）中关于电路消耗的电功率，很值得深入分析和思考.

1 高考真题回放

例1.（2007年高考上海卷）如图1所示，光滑的平行长直金属导轨置于水平面内，间距为L、导轨左端接有阻值为R的电阻，质量为m的导体棒垂直跨接在导轨上.导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好.在导轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B.开始时，导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场（区域）以速度v1匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平向左、大小为f的恒定阻力，并很快达到稳定速度，此时导体棒仍处于磁场区域内.

图1

（1）求导体棒所达到的恒定速度v2；

（2）为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过多少？

（3）导体棒以恒定速度运动时，单位时间内克服阻力所做的功和电路消耗的电功率各为多大？

显然，题设中磁场区域和导体棒运动的速度是以固定导轨的地面为参考系的，但题目第（3）问中电路消耗的电功率问题，并没有明确指出在哪个参考系中计算.那么，电磁感应电路在不同惯性系中消耗的电功率一样吗？

2 电磁感应回路总电动势大小与参考系无关

由于题目导体棒所在处磁场的磁感应强度B不变，无论是地面惯性系K，还是产生磁场的“源”（磁体或载流线圈）为参考系K′，经过时间Δt，穿过回路的磁通量的有效面积均减小ΔS＝L（v1－v2）Δt，应用法拉第电磁感应定律就能简洁地得出回路总电动势E＝BL（v1－v2），即题目回路总电动势与参考系无关.

该题条件下，回路中究竟只有动生电动势？还是动生电动势和感生电动势都存在？以及是否存在反电动势呢？下面的深入研究发现，这些问题其实跟观察者所处的参考系有关.

3 电磁感应电路消耗的电功率与参考系有关

3.1 以固定导轨的地面为参考系K中分析

由于题设中没有明确指出参考系，一般默认是地面参考系.在K系的观察者观测到的不是静磁场，而是运动的磁场产生的电磁场；在产生磁场的“源”（磁体或载流线圈）为K′系的观察者观测到的只是静磁场.如图2所示，由电磁场变换公式，K系和K′系中的电磁场存在以下变换关系［1］

图2 不同参考系中的电磁场变换

K′系 中：而题目中磁场的运动速度v＝v1远小于真空中的光速c，则洛伦兹变换膨胀因子γ＝因此K系中的观察者认为，同时存在沿z轴正方向的电场Ez＝v1B和沿y轴负方向的磁场By＝－B.

因此，观察者在K系中观测，图1中导体棒中的自由电子受到的非静电力是沿棒向上的感生电场力eEz＝ev1B和沿棒向下的洛伦兹力f洛＝ev2B的矢量和，即F非静电力＝eEz－ev2B，由电动势的定义得回路总电动势

由（1）式中非静电力起源的认识可知，在K系的观察者观测到的回路总电动势有两部分组成：一个是自由电子所受的沿棒向上的非静电力（感生电场力eEz）产生的感生电动势E1＝BLv1，其方向在图1中沿导体棒向下（与电路中电流方向一致，体现了导体棒的“发电机”角色）；另一个是自由电子所受的沿棒向下的非静电力（洛伦兹力ev2B）产生的动生电动势E2＝BLv2，其方向在图1中沿棒向上（与电路中的电流方向相反，是反电动势，体现了导体棒的“电动机”角色）.回路总电动势是感生电动势E1和动生电动势E2（这两个电动势方向相反）的差，即总电动势E＝E1－E2＝BL（v1－v2）.因此，图1回路的等效电路如图3所示.

图3 K系中的等效电路

由图3可知，K系的观察者观测到的是：电源E1提供电能，电源E2和电阻R均消耗电能，则K系中电路消耗的电功率为

回路电流

由导体棒的平衡条件F安＝BIL＝f及（3）式，易得导体棒的恒定速度为

由（1）－（4）式得，K系中电路消耗的电功率为

3.2 以产生磁场的“源”（磁体或载流线圈）为参考系K′中分析

在K′系的观察者观测到的只是静磁场，图1的导体棒相对于磁源向左以速度v相对＝v1－v2运动，导体棒中随棒运动的自由电子受到沿棒向上方向的洛伦兹力f洛＝eB（v1－v2），f洛是产生动生电动势的非静电力，即F非静电力＝f洛，电路中只存在动生电动势，由电动势的定义得回路总电动势

K系和K′系中根据电动势定义分别计算出的回路总电动势（6）式和（1）式数值相等（但非静电力的起源不同），与前面用法拉第电磁感应定律计算的回路总电动势一致，又一次证明了回路总电动势与参考系无关.

由于K′系的观察者只观测到一个动生电动势，其方向与电路中电流方向一致，因此该观察者认为导体棒只是一个提供电能的发电机，图1回路的等效电路如图4所示.显然，K系和K′系中图1回路的等效电路图3和图4明显不一样.

图4 K′系中的等效电路

根据等效电路图4，K′系中电路消耗的电功率为

显然，K系和K′系中分别计算出的电路消耗的电功率（5）式与（7）式不同.这表明：电磁感应电路在不同惯性系中消耗的电功率不同.

4 文献中常见解析的参考系是什么

关于题目第（3）问中电路消耗的电功率，文献中有以下3种常见的解析.

回路感应电动势E＝BL（v1－v2），回路感应电流导体棒所受磁场的安培力F安＝ILB＝

当导体棒的速度恒定时有F安＝f，可得v2＝

方法1：当导体棒的速度达到恒定速度v2时，电路消耗的电功率［2］

方法2：克服安培力做功的功率是相对于磁场静止的观察者的功率，导体棒相对于磁场的速度大小v＝（v1－v2），则电路消耗的电功率［3－4］

方法3：在导体棒以恒定速度运动的过程中，安培力对导体棒做正功W1＝F安v2t，安培力的反作用力对磁场做负功W2＝－F安v1t.这个发电系统产生的电能就是安培力和安培力的反作用力分别对导体棒和磁场系统所做功的总功的绝对值（类似于一对相互作用的摩擦力的总功的绝对值是摩擦生热的量度）.所以电路消耗的电功率［5］

这3种方法的结果相同，且与当年高考参考答案的结果一致.对比上述K系和K′系中的分析可知，文献常见解析的上述3种方法计算的结果，应该是以产生磁场的“源”（磁体或载流线圈）为参考系K′中的电路消耗的电功率.

5 结束语

综上所述，在宏观低速的条件下，电磁感应回路的总电动势与参考系无关.但电磁感应电路在不同惯性系中消耗的电功率不同，这是由于不同惯性系中的观察者观测到的场不同，因此不同参考系中电动势的本质非静电力的起源不同、回路中的等效电源不同、等效电路不同导致的.

由于该题题设中没有明确指出参考系，一般默认是地面参考系，因此该题第（3）问中电路消耗的电功率的正确结果应该是地面参考系中计算的P电＝fv1.而高考参考答案和文献［2－5］计算出的电路消耗的电功率是以产生磁场的“源”（磁体或载流线圈）为参考系时电路消耗的功率.