高中数学解题中数形关系的应用

文 /吴毓敏

引 言

数与形关系密切，运用数可对形进行准确计算，而运用形可直观地展示数的逻辑关系，提高解题的直观性。学生在高中数学解题过程中注重数形关系的应用，可少走弯路，迅速发现解题思路，突破相关难题。因此，教师在教学过程中应做好对数形关系应用的讲解，展示针对不同题型应如何采用数形关系进行破题，以更好地拓展学生的视野，使其掌握这一高效的解题方法，促进其解题能力的提升。

一、高中数学数形关系分析

为了使学生更好地应用数形关系解答高中数学习题，教师在课堂上应注重结合具体案例，讲解数形关系的重要性，提高学生学习与应用数形关系的意识，同时还应与学生一起总结归纳数形转化的常用思路以及适合运用数形关系解题的常见题型。

数向形转化的思路有借助函数图像进行转化、借助几何图形性质进行转化、借助向量性质进行转化等；而形向数的转化则主要通过构建平面、空间直角坐标系实现。适合运用数形关系解题的题型较多，主要有函数零点问题、函数交点问题、方程根的问题、向量中参数关系问题以及立体几何中求解轨迹长度等问题。当然，为了使学生在应用数形关系解题的过程中提高效率，教师还应注重讲解相关的注意事项，提醒学生在解题时先动脑分析，然后再作答。如在画函数图像时，应先明确定义域，联系已学的函数图像；针对一些特殊的函数，应灵活运用函数的单调性、奇偶性、周期性知识，以保证画图的准确性。

二、高中数学解题中数形关系的应用

（一）数形关系在平面问题中的应用

1.由形化数

由形化数主要是根据给出的图形，对其进行观察和研究，提取图形中的数量关系，找出图形中的内在属性，对题目进行深层次的思考和解答。

例题：已知二次函数y=ax²+bx+c (a≠0)的图像（如图1），在下列代数式中，①a+b+c；②a-b+c；③abc；④2a+b；⑤b²-4ac，值为正数的个数是（ ）

图1

A.1个 B.2个

C.3个 D.4个

解：根据图像可以得出当x=1时，y=a+b+c＜0；当x=-1时，y=a-b+c＞0。因为抛物线开口方向朝上，所以a＞0，因为与y轴的交点在y轴正半轴上，所以c＞0，因为对称轴＞0。所以a和b异号，即b＜0，所以abc＜0，因为对称轴x=-＞1，所以2a+b＜0。因为抛物线和x轴的交点是两个，所以b²-4ac＞0。因此②⑤两个代数式的值为正数，答案是B。

点评：此题主要是考查学生对二次函数的图像和性质的掌握情况。因此，在高中数学解题教学过程中，教师应注重对学生数形关系意识的培养，让学生做到胸中有图、见数想图，拓展学生数学思维。面对复杂的函数问题，学生应从图形角度去思考，分析图形中隐藏的数据和数量关系，寻找直观的解题方式。

2.由数化形

高中数学题目类型较多，不少题目的叙述较抽象，理解起来有一定的难度，难以找出其中的有效信息，不利于学生寻找解题思路。因此，面对复杂的数学问题，教师应当引导学生利用数形关系，由数化形，根据题目中的条件，准确画出图形，通过图像展现其数量关系，展示数学式的本质，明确解题思路。

例题：已知函数y=log2(-x)＜x+1，求解x的取值范围。

解析：此题是超越不等式，看似题目非常简单，一目了然，但是如果从代数式入手，则难以完成题目的解答。这时若引入数形关系，就可以降低问题的难度，简化问题的解答思路。根据题目已知条件，画出函数y=log2(-x)和y=x+1的图像（如图2），根据题设中log2(-x)＜x+1，可知y=log2(-x)的图像在y=x+1的下方，直观的观察可以得出x的取值范围是（-1, 0），非常方便、简洁。

图2

点评：在高中数学的解题过程中，不能为了数形结合而应用数形关系，而是应结合解题的实际需要，考虑利用数形关系有利于解题，选好突破点，构建数量关系，完成数形转化。最后，还要注意对隐含条件的发掘，这对数学题目的思考和解答非常重要。

3.数形互换

在实际的应用中，教师还应引导学生注重数与形的相互转换，根据数与形的对立和统一特点，对图形进行观察，分析数学式结构。教师可以引导学生通过想象和联想，实现数与形的转换，将抽象内容直观展示出来，发掘其中隐含的数量关系，从而达到有效解答数学问题的目的。在一些高中数学题目中，不少代数式含有根号，在结构上没有明显的几何特征，通过代数式的方式解题较难，此时可以引入换元法，利用数形关系解决问题。

解法一（代数法）：根据题意，曲线方程可以转化为x²+y²=1（x≥0），将y=x+k带入其中，得到2x²+2kx+k²-1=0（x≥0），因为方程只有一个非负数根。所以，（1）当方程有相等根时，即△=0，得出当时，x为负数，不符合题意；当时，x为正数，符合题意。（2）当方程根是0时，得出k=±1；当k=-1时，x不符合题意，舍去；当k=1时，x符合题意。（3）当方程根为一正一负时，两根的积小于零，得出-1＜k＜1。综上所述，可以得出，k的取值范围是或者-1＜k≤1。

点评：对比两种解题方式，我们可以看出使用代数法解题，步骤较为复杂，解题过程中容易出错；而结合数形关系，利用图形进行解题，可以将复杂问题简单化，将抽象问题转化成具体问题，一些数学难题就迎刃而解了。

（二）数形关系在空间问题中的应用

1.由形化数

解决高中数学空间问题时，可以由形化数，将空间几何问题转化为代数运算，以降低思考、解题的难度。由形化数的常用手段是构建空间直角坐标系，即找到相关点的空间坐标，借助向量的运算计算相关参数，研究相关对象之间的关系。为了更好地提高解题效率、降低计算的复杂度，在构建空间直角坐标系时，学生应充分利用题干中的垂直关系，并在计算过程中准确运用向量坐标运算的相关法则。

点评：该题较为基础，难度不大。解答该题需要根据构建的空间直角坐标系确定各个点的坐标，在此基础上运用向量知识求出具体的向量；同时，需要搞清楚平面法向量与平面向量之间的关系，将几何问题转化为代数运算问题。

2.由数化形

高中数学空间问题复杂多变，解题方法灵活多样。根据问题画出对应的图形后，学生能借助图形直观地看到点、线段、平面之间的关系，达到化难为易的目的。为了更好地提高空间问题的解题正确率，教师应引导学生把握由形化数的细节，提高画图的精确性，尤其应通过相关参数的运算以及以往的解题经验，做好所画图形细节上的调整，使其符合题干描述。

点评：该题创设的情境较为新颖，属于动点问题，能很好地考查学生的空间想象能力。解答该题的关键在于吃透题意，根据问题以及相关参数的运算，准确判断点P的运动轨迹。

3.数形互换

部分高中数学空间问题综合性较强，对思维的灵活性要求较高。在解答这种题时，学生不仅需要具备良好的空间想象能力，而且需要认识到不同图形位置关系引起的参数变化，尤其应提高数形互换意识，根据题意画出相关图形，通过数与形的相互结合找到解题突破口。为提高解题效率，学生应灵活运用立体结合知识理解线与线、线与平面、平面之间的空间关系，同时还应注重勾股定理、正弦定理、余弦定理等的应用，更准确地计算出相关参数。

例题：已知球O是正三棱锥A-BCD的外接球，其中BC=3，点E在线段BD上，且BD=3BE，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）。

A.2π B.3π C.4π D.5π

点评：该题考查的是三棱锥和球的相关知识，难度较大。难点在于如何借助相关图形以及空间想象能力确定何时截面的面积达到最小值，同时还要根据自身经验灵活转化相关图形的视角，结合已知条件正确地计算出相关线段的长度。因此，解题时需要将数与形相互对照。

结 语

在高中数学解题过程中，学生巧妙利用数形结合思想，有助于解决抽象化的数学问题，提高解题的效率和质量。在教学中，教师应认真分析哪些知识点涉及数形关系，根据相关知识的难易程度，确定明确的教学目标，采取有效的教学方法，充分利用几何画板等多媒体信息技术进行教学，使学生牢固地掌握相关基础知识，再结合教学内容做好相关理论及习题的讲解[1]。为使学生体会到运用数学关系解题的便利，提高学生运用数形关系解题的意识，教师还应注重“一题多解”，给学生留下课堂总结的时间，使其总结适合运用数形关系解题的题型、不同习题的解题突破口以及具体的解题思路，以提升学生的数学学科核心素养。