正弦行波激励下单层偏心框架结构扭转响应的解析解

刘铁林，杨 越，李文博

（沈阳建筑大学土木工程学院，辽宁 沈阳 110168）

引言

建筑结构扭转破坏是一种常见的震害形式。针对建筑结构地震扭转振动问题，学者已经开展了许多研究工作。一些学者研究了一致激励偏心框架及框剪结构的弹性扭转［1-4］和弹塑性扭转［5-9］问题。自从Newmark［10］率先开展行波激励下对称建筑结构地震扭转振动问题的研究之后，一些学者针对行波激励下对称和偏心结构的地震扭转响应进行了研究。Hao［11］针对多点激励下的单层对称框架结构，研究了柱剪力和楼板扭矩。结果表明，不考虑行波效应会低估柱子的剪力值。Heredia-Zavoni 等［12］和阳栋等［13］针对多点地震激励下的对称框架结构，研究了柱剪力的响应。结果表明，考虑地震动的行波效应时，底层柱剪力明显增大。Hao［14］利用随机方法研究了多点激励下单层偏心框架结构的扭转响应，结果表明，结构自振频率和地震动相位差以及非耦联扭平频率比都会影响结构的扭转响应。

上述研究采用数值方法。刘铁林等［15］针对正弦行波激励下单层对称框架结构，采用解析方法研究了结构的扭转响应。结果表明，激励频率在低于基频的一定范围，激励频率越低，柱剪力行波效应越显著。

文中针对正弦行波激励下单层偏心框架结构的扭转振动问题，采用解析方法研究结构的扭转响应。建立单层偏心框架结构在行波激励下的振动方程并采用相对运动法对其进行求解，获得结构响应的解析解。计算正弦行波激励下单层偏心框架结构扭转响应，探讨质量偏心率和激励频率对结构的峰值楼板扭矩和峰值柱剪力的影响规律。

1 振动方程

1.1 振动方程建立

图1（a）是单层偏心框架结构示意图，其中b和a分别是x和y方向跨度，h是结构高度。设m是刚性楼板质量，Jcm是绕楼板质心铅直轴的转动惯量。kx与ky分别是各柱在x和y方向的侧移刚度。点Cs是结构的刚心和楼板形心重合点，点Cm是楼板质心，ex是x方向的质量偏心距。波动沿x方向传播，y方向激励。左侧1 柱和2 柱的柱底先同时受到激励，右侧3 柱和4 柱的柱底经b/v时间后再同时受到激励，v是视波速。图1（b）是某时刻楼板振动示意图，其中粗实线是楼板经过质心y方向平动和绕质心转动后的振动位置。

图1 单层偏心框架结构Fig.1 Single-story eccentric frame structure

设柱顶x方向绝对位移分别为ux1、ux2、ux3和ux4，柱顶y方向绝对位移分别为uy1、uy2、uy3和uy4，柱底y方向绝对位移分别为uy01、uy02、uy03和uy04，则由图1可建立结构y方向平动和扭转振动方程为：

需要说明的是，左侧的1柱和2柱y方向的剪力相等，右侧的3柱和4柱y方向的剪力相等。

1.2 拟静力位移和动力量方程

利用相对运动法，由方程（3）可得拟静力位移为：

分别为结构非耦联的y方向自振圆频率和扭转自振圆频率。

2 楼板扭矩和柱剪力的解析解

2.1 正弦行波激励加速度

利用地震动加速度和位移时程的构成［16］，选取地震动加速度和位移时程通项作为正弦行波激励，则左侧柱底和右侧柱底y方向正弦激励时程如下：

当0≤t≤b/v时

当t≥b/v时

式中，Ag为正弦行波振幅；θ为激励频率。

2.2 楼板质心的绝对位移和楼板转角位移

将式（8）和式（9）中的柱底y方向的位移时程代入式（4）得到拟静力位移，将式（8）和式（9）中的柱底y方向的加速度时程代入方程（5），利用振型叠加法得到动力量位移，将拟静力位移和动力量位移相加，可得行波激励下偏心结构楼板质心的绝对位移和楼板转角位移稳态解如下：

当0≤t≤b/v时，

当t≥b/v时，

式中，η=ex/b为文中采用的楼板x方向偏心率。

当激励频率θ趋于0 时，sinθt和sinθ(t-b/v)分别近似为θt和θ(t-b/v)，则由式（10）～（13）可知位移响应均为零。当θ趋于∞时，则由式（10）～式（13）显然可知位移响应也皆为零。即当激励频率θ趋于0或∞时，楼板质心y方向的绝对位移和绕质心的转角位移都趋于0，即处于静止状态。

当偏心距ex趋于0即η= 0时，有ω1=ωy，则式（10）～式（13）可退化为文献［15］给出的行波激励下对称框架结构扭转响应的解析解。

当视波速v趋于无穷大时，式（12）和式（13）可退化为一致激励下偏心结构的位移响应

由式（14）中的右式可知，一致激励下偏心结构楼板会产生扭转振动，并存在2 个共振区，而一致激励下对称结构楼板不产生扭转振动。

由式（14）的第一个式子减去一致激励情况下的基础位移uy0l=uy0r= -( )Ag θ2sinθt+Agt/θ，可得一致激励下偏心结构的楼板质心相对于基础的y方向侧移为

式（14）中的左式和式（15）不显含偏心率η，但ω1和ω2与结构偏心距ex有关，因此楼板质心y方向的绝对位移和相对侧移实际上皆与结构的偏心有关。一致激励下偏心结构的y方向振动存在2个共振区。

注意到对称结构即偏心率η为零时，ω1=ωy，则由式（15）可得一致激励下对称框架结构楼板相对基础的y方向侧移为

2.3 楼板扭矩

注意到η=ex/b，则由方程（3）的第二行，得扭矩为：

将式（10）～式（13）代入上式，可得行波激励下偏心结构楼板扭矩的稳态解如下：

当0≤t≤b/v时，

当t≥b/v时，

与绝对位移响应的分析同理，当激励频率θ趋于0和∞时，易得两个时间段的扭矩都为0。

注意到偏心率η= 0 时有ω1=ωy，则式（18）～式（19）可退化为文献［15］给出的行波激励下对称框架结构楼板扭矩稳态响应的解析解。

当视波速v趋于无穷大时，式（19）可退化为一致激励下偏心结构的楼板扭矩，

由式（18）和式（19）可见，行波激励下无论是偏心结构还是对称结构都会产生扭转振动。由式（20）易见，一致激励下偏心结构的楼板扭矩不为零，而对称结构的楼板扭矩为零。

2.4 柱剪力

考虑到左侧的1柱和2柱y方向的剪力相等，可用Fyl表示1柱或2柱y方向的剪力；考虑到右侧的3柱和4柱y方向的剪力相等，可用Fyr表示3柱或4柱y方向的剪力。则柱顶剪力有：

将式（10）～式（13）代入式（21）和式（22），可得行波激励下偏心结构左侧和右侧柱子y方向的柱剪力稳态解如下：

当0≤t≤b/v时，

当t≥b/v时，

与绝对位移响应的分析同理，当激励频率θ趋于0和∞时，易知左侧和右侧柱子的两个时间段y方向的柱剪力都为0，结果合理。

当偏心率η趋于0 时，有ω1=ωy、ω2=ωφ和4r2ω2φ-b2ω2y=a2ω2x，则式（23）～式（26）可退化为文献［15］给出的行波激励下对称框架结构y方向柱剪力稳态响应的解析解。

当视波速v趋于无穷大时，式（25）和式（26）可退化成一致激励下偏心结构的y方向柱剪力，

当视波速v无穷大且偏心率为零时，由式（27）和式（28）可得一致激励下对称结构的y方向柱剪力为，

3 算例

取图1（a）中的单层偏心框架结构为例，楼板边长b取6 600 mm，a取4 500 mm，厚度取120 mm。各梁截面尺寸皆取300 mm × 550 mm。柱高h取4 200 mm，各柱截面尺寸皆取500 mm × 500 mm。混凝土强度等级为C30，弹性模量为3×104MPa。钢筋混凝土密度取2 500 kg/m3。正弦激励的加速度振幅Ag取1.0 m/s2，持续时长50 s，视波速取3 000 m/s。分析不同偏心率和不同激励频率时正弦行波激励下单层偏心框架结构的峰值楼板扭矩和y方向峰值柱剪力。

3.1 偏心率与结构频率关系

图2是结构固有频率ω1和ω2以及结构非耦联的y方向自振圆频率ωy和扭转自振圆频率ωφ与偏心率η的关系。

图2 结构频率与偏心率关系曲线Fig.2 Relations between structural frequency and eccentricity ratio

由图2、式（6）第一式和式（7）可知，结构非耦联的y方向自振圆频率ωy与偏心率无关，结构非耦联的扭转自振圆频率ωφ不偏心时有最大值，且随偏心率增大而逐渐降低。结构固有频率ω1不偏心时有最大值且等于ωy，相同偏心情况下ω1小于ωy，ω1随偏心率增大而逐渐降低。结构固有频率ω2不偏心时有最大值且等于ωφ，相同偏心情况下ω2大于ωφ，ω2随偏心率增大而逐渐降低。

3.2 峰值楼板扭矩

图3（a）是视波速为3 000 m/s时峰值楼板扭矩与偏心率和激励频率的关系曲面图，图3（b）是不同偏心率情况下峰值楼板扭矩与激励频率的关系。

图3 峰值楼板扭矩Fig.3 Peak floor torque

由图3（a）和（b）可知，峰值楼板扭矩关于偏心率η=0 对称。行波激励下偏心结构的峰值楼板扭矩在ω1和ω2处各存在一个共振区，而行波激励下对称结构只在ω2处有一个共振区。随着偏心率增大，共振区向低频方向偏移且共振区范围逐渐增大。对于偏心结构，ω1处的共振区比ω2处的共振区窄。

3.3 y方向峰值柱剪力

图4（a）为视波速3 000 m/s 时左柱y方向峰值柱剪力（对数坐标）与偏心率和激励频率（对数坐标）的关系曲面图，图4（b）是图4（a）中激励频率0.1 Hz以上的部分。

图4 左柱y方向峰值柱剪力与偏心率和激励频率关系Fig.4 Relations between peak column shear of left column in the y direction and eccentricity ratio as well as excitation frequency

由图4（a）和4（b）可知，行波激励下偏心与对称结构的y方向峰值柱剪力都在极低激励频率（0.007 3 Hz）处存在一个峰值，峰值位置与偏心率无关。行波激励下偏心与对称结构的y方向峰值柱剪力在ω1和ω2处各存在一个共振区，且随着偏心率增大共振区向低频方向偏移。ω1处共振区比ω2处共振区宽。需要说明的是，一致激励下偏心结构y方向峰值柱剪力在ω1和ω2处也各存在一个共振区，且随着偏心率增大共振区也向低频方向偏移。

图5 是结构偏心率分别为0 和负20%时左柱y方向峰值柱剪力与激励频率关系曲线。实线为行波激励，虚线为一致激励。由图5 可知，偏心结构（图中仅展示一种偏心率情况）行波激励下的峰值柱剪力大于一致激励的峰值柱剪力，行波激励下对称结构的峰值柱剪力也大于一致激励的峰值柱剪力。行波激励下无论偏心结构还是对称结构极低频部分都会出现从零开始的突升陡降的峰值区域。无论偏心结构还是对称结构，当激励频率低于某个小于ω1的频率时，行波激励的峰值柱剪力大于一致激励峰值柱剪力，激励频率越低，柱剪力的行波效应越显著。这意味着在低频成分丰富的地震波作用下框架结构易于出现行波效应。

由图5也可知，一致激励下偏心结构的y方向峰值柱剪力在ω1和ω2处各存在一个共振区，而对称结构只在ω1处存在一个共振区。

图5 左柱y方向峰值柱剪力与激励频率关系曲线Fig.5 Relations between peak column shear of left column in y direction and excitation frequency

需要指出的是，右柱y方向峰值柱剪力可得到与左柱相同的结果。

图6（a）和（b）分别为左侧柱和右侧柱y方向峰值柱剪力与偏心率关系曲线。实线为行波激励，虚线为一致激励。由图6 可知，对于偏心结构，无论行波激励还是一致激励，靠近质心一侧柱子的峰值柱剪力大，远离质心一侧柱子的峰值柱剪力小。行波激励下偏心和对称结构的峰值柱剪力大于一致激励的峰值柱剪力。

图6 y方向峰值柱剪力与偏心率关系曲线Fig.6 Relations between peak column shear in y direction and eccentricity ratio

4 结论

文中建立了单层偏心框架结构在行波激励下的振动方程，采用相对运动法求解得到了正弦行波激励下单层偏心框架结构楼板质心y方向的绝对位移、楼板转角位移、楼板扭矩和柱剪力的解析解。分析了结构固有频率、峰值楼板扭矩和峰值柱剪力，得出以下结论：

（1）对于偏心结构，无论行波激励还是一致激励，峰值楼板扭矩在结构的2 个固有频率处各存在一个共振区。随着偏心率增大，2个共振区都向低频方向偏移且范围逐渐增大。对于对称结构，行波激励下峰值楼板扭矩只存在第2个共振区，而一致激励时不产生扭转振动。

（2）行波激励下偏心和对称结构的激励方向峰值柱剪力于极低激励频率处都存在一个突升陡降区域，在结构的2个固有频率处各存在一个共振区。突升陡降区域的峰值位置与偏心率无关，2个共振区都随偏心率增大向低频方向偏移。一致激励下对称结构则只存在第1 个共振区，而偏心结构在2 个固有频率处也各存在一个共振区，2个共振区也都随偏心率增大向低频方向偏移。

（3）无论偏心结构还是对称结构，当激励频率在低于基频的一定范围时，激励频率越低，柱剪力的行波效应越显著。

（4）对于偏心结构，无论行波激励还是一致激励，靠近质心一侧柱子的峰值柱剪力大，远离质心一侧柱子的峰值柱剪力小。

（5）结构非耦联的激励方向自振频率与偏心率无关。对称结构的非耦联扭转自振频率最大，偏心结构的非耦联扭转自振频率随偏心率增大而逐渐降低。对称结构的固有频率最大且等于非耦联自振频率，偏心结构的固有频率随偏心率增大而逐渐降低。