课程思政融入概率论与数理统计的教学实践——以大数定律为例

蔡姗姗，吴 波，普粉丽

普洱学院 数学与统计学院，云南 普洱 665000

2016年,习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上强调，“要坚持把立德树人作为中心环节，把思想政治工作贯穿教育教学全过程，实现全程育人、全方位育人”[1]。概率论与数理统计是一门应用性很强的学科，在充分发挥课程的育人功能方面具有极大优势。大数定律作为概率论研究的中心议题，是很多实际应用的理论基础。它是透过大量随机现象所呈现出来的一个极限理论，以严格的数学形式体现了随机现象平均结果的稳定性，是现代科学发展的重要基石[2]，本身着蕴含丰富的课程思政元素。

爱因斯坦说：“提出一个问题，往往比解决一个问题更重要”。大数定律作为概率论教学中的一个难点，学生往往觉得难以理解。在教学设计中，紧扣课程思政，按照历史发展的顺序对伯努利、泊松、切比雪夫、辛钦这四个大数定律产生的背景、定律的条件、它们之间的关系及应用展开。精心设计问题，引入抛硬币试验，适当提问和鼓励，激发学生不断质疑、释疑、生疑，带着问题进行分析并解决问题，在解决问题中又发现新的问题，不断成长、获取新知[3]。使知识传授和价值引领同频共振，实现立德树人的根本任务[4]。

1 大数定律教学设计思路

首先由视频片段长期亏损问题为开端引入主题大数定律，然后通过抛硬币试验视频简单介绍大数定律的背景。接着给出历史上不少数学家做过的抛硬币试验的若干结果，并借助Matlab软件模拟抛硬币试验。引导学生观察并描述试验的结果，从而给出依概率收敛和大数定律的定义。图1所示为教学内容和思政元素的逻辑关联。

图1 大数定律教学内容与思政元素关联图

2 教学设计过程

2.1 引入实例，激发学生的求知欲

由长期亏损问题的视频片段引入大数定律这一主题，通过抛硬币试验视频，并介绍大数定律的背景。例举历史上许多著名的数学家做过的抛硬币试验的若干结果，如表1所示。通过实例激发学生的兴趣，不断引导学生主动发现问题，让学生学习数学家们为追求真理坚持不懈、严谨治学的态度。

表1 历史上抛硬币试验的若干结果

2.2 模拟试验，深入理解大数定律的客观背景

利用Matlab软件模拟抛硬币试验，如图2所示。在动态演示过程中，学生容易看到“随着抛硬币次数的增加，正面出现的频率逐渐趋近于0.5”[3]。教师继续引导学生思考实际生产生活中如工厂生产灯泡的废品率、字母的使用频率等是否也会随着试验次数的增加而呈现出稳定性。大量试验表明，在重复试验中，随机现象的平均结果也有类似的稳定性，这种稳定性就是大数定律存在的客观背景[5]。利用Matlab软件演示，可以使抽象问题变得直观、具体，充分激发学生的主体性，引起学生的求知欲。

图2 抛掷硬币试验的模拟（n=1200）

2.3 提出质疑，引出大数定律

古人云“学须有疑，小疑则小进，大疑则大进”，由此创设疑趣相生的情境，让学生感受古代文人的智慧，引导学生主动思考和探索，明确学习目标，在问题的驱动下，不断去解决问题。激发学生联想、类比数列收敛的定义，从概率的角度描述频率与概率的接近关系[6]。从而给出大数定律的定义。

定义1[7]设Y1，Y2，…，Yn，…是一个随机变量序列，a是一个常数，若对于任意正数ε，有则称序列Y1，Y2，…，Yn，…依概率收敛于a，记为Yn→P a。

定义2[8]设｛Xn｝为随机变量序列，若对任意的ε＞0，有则称服从大数定律。

大数定律的定义说明算术平均依概率收敛于它的数学期望的算术平均。依概率收敛和大数定律的定义为进一步学习大数定律打下必要的基础。

2.4 几个常见的大数定律

按照历史发展的先后顺序设计教学，符合学生的认知规律。向学生介绍伯努利大数定律，瑞士数学家雅各布·伯努利于1713年在《猜度术》中提出并证明第一个大数定律，即伯努利大数定律，它的出现在理论和应用上都产生了深远的影响。

定理1[7]（伯努利大数定律）设fA为n重伯努利试验中事件A发生的次数，P为每次试验中A出现的概率，则对任意的ε＞0，有

定理2[8]（泊松大数定律）在n次独立试验中，事件A在第k次试验中发生的概率是Pk（k=12，…n），以μn记在n次试验中事件A出现的次数，则对于任意正数ε＞0，有

教师引导学生仔细观察、思考，不难发现，泊松大数定律中的条件是将伯努利大数定律中第k次试验中A发生的概率改为Pk，意味着每次试验发生的概率各不相同，因此，伯努利大数定律是泊松大数定律的特殊形式，让学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法。

定理3[8]（切比雪夫大数定律）设{Xn}为一列两两不相关的随机变量序列，若每个Xi的方差存在，且有共同的上界，即Var（Xi）≤c，i=1，2…，则{Xn}服从大数定律，即对任意的ε＞0，这时有成立。

切比雪夫大数定律说明当n很大时，随机变量X1，X2，…Xn的算术平均接近于它们数学期望的算术平均值的可能性很大。

概率论学派的创始人之一，前苏联数学家辛钦给出了著名的辛钦大数定律。

定理4[8]（辛钦大数定律）设{Xn}为一独立同分布的随机变量序列，若Xi的数学期望μ存在，则{Xn}服从大数定律，即对任意的ε＞0，这时有

辛钦大数定律意味着当n很大时，可以用随机变量的算术平均值去近似它的数学期望值。在教学中，通过不断变化定律的条件，并进行论证，在一个个发现问题中，不断深入研究。同时，也启示学生不要患得患失，得失是趋于平衡的，帮助学生树立正确的人生观。

2.5 大数定律之间的关系

大数定律之间既有区别又有联系，教师启发学生紧扣定理满足的条件展开讨论，将学生分成小组，采用激励制，充分调动学生的积极性。通过合作讨论，学生基本可以找出它们之间的关系。

合作探究的方式不仅能让学生加深对所学知识的理解，深刻体会偶然与必然、量变与质变、特殊与一般、精确与近似的辩证统一，还能培养学生团结协作精神，让学生认识到同学之间只有积极协作才能更好地促进学业发展。也要教育学生在疫情防控期间，每一个人都要肩负起责任，同心协力，坚决筑牢疫情防控安全网，培养学生的爱国情怀。

2.6 回归本真，解决问题

由大数定律可知，随着样本数量的不断增加，与客观存在的结果之间的差异最终将趋向于零。如在保险运营中，当保险标的数量足够大时，可以根据以往的统计数据计算出某种损失发生的估计概率，因此估计概率比较稳定且与这种损失未来实际发生的概率非常接近，所以可用估计概率来计算可能发生的损失而确定要收取的保费[9]。通过生活中的案例揭示其中辩证思维的因素，帮助学生树立、形成辩证唯物主义世界观，并提高解决实际问题的能力。

2.7 课后思考，知行合一

大数定律发生作用的基本条件是对象具有不确定性，据此判定社会保险体系中的哪些险种遵从或者不遵从大数法则，或大数法则在哪些社会保险险种中发生或者不发生作用[10]。通过说明，让学生真正理解理论来源于实践，用于实践，做到知行合一。

3 结语

以概率论与数理统计中的大数定律为例，将课程思政元素融入教学，让学生在参与中获取知识、发展思维、感悟统计，建立马克思主义哲学的思想和方法，树立正确的人生观、价值观和世界观，真正落实概率论与数理统计课程立德树人的根本任务。