高考数列全国卷与浙江卷对比研究

朱成万 王红权

【摘要】2023年浙江高考将使用全国卷，全国卷与浙江卷差别很大，如何应对全国卷是迫切需要研究的问题.本文统计近5年浙江卷与全国卷（数列部分）的题量、分值及知识点，对它们进行系统地分析，并提出一些教学建议.

【关键词】高考;全国卷;浙江卷;复习教学

浙江省自2004年自主命题以来，形成了自己独特的风格，浙江教师的教学也形成了与之相应的教学套路.比如，浙江卷常常把数列作为压轴题，考查数列与不等式的综合，浙江教师的思维定式是“因为与不等式放缩结合，所以高考数列题很难”，教学中出现大量的难题偏题、甚至怪题，导致学生对数列望而生畏.2023年浙江省高考将使用全国卷，全国卷中的数列试题会有何特点？如何根据全国卷的特点来组织教学？这是迫切需要研究的问题.

本文研究近5年（2017年～2021年）高考数列试题，其中浙江卷5份全为文理合卷，全国卷16份全为理科卷，分析它们的异同，以期对教学有启示作用.

1数列题量与分值对比分析

1.1题量、分值统计

下面统计近五年高考浙江卷、全国卷中数列的题量与分值.

1.2题量、分值分析

从表1可以看出，无论是浙江卷还是全国卷，数列均是高考必考内容，也是重点考查内容，在试卷中处于重要地位.

就题型与分值而言，两者还是有差别的.浙江卷中数列的题量与分值相对稳定，每一年都有2题，分别为1道小题和1道大题，平均分值为19分.全国卷的题量与分值波动较大，题量有的试卷为1题（比如2017年卷Ⅰ），有的为3题（比如2020年卷Ⅱ）;有的只有小题（比如2017年卷Ⅱ），有的只有大题（比如2021年的甲卷与乙卷）;分值最低为5分，最高为17分，16份试卷中数列的平均分值为10.68，远远低于浙江卷的分值.

需要注意的是，近两年的新高考试卷中数列的题量与分值与浙江卷接近.

2考查内容对比分析

2.1考查内容统计

《普通高中数学课程标准》对数列的学习要求是：“通过对日常生活中实际问题的分析，了解数列的概念;探索并掌握等差数列和等比数列的变化规律，建立通项公式和前n项和公式;能运用等差数列、等比数列解决简单的实际问题和数学问题，感受数学模型的现实意义与应用;了解等差数列与一元一次函数、等比数列与指数函数的联系，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性.”＼[1＼]

下面统计近5年数列内容在全国卷与浙江卷中的考查次数，以及对应的年份与题号.

2.2考查内容分析

基于以上统计，并深入地进行系统分析，从表2不難看出，高考对数列的考查，浙江卷与全国卷有以下几个特点：

2.2.1浙江卷考点集中，全国卷考点分散

从表2可以看到，浙江卷的考查内容主要集中在3个方面：数列的通项，数列的和以及数列与不等式的综合;全国卷的考查内容相对分散，涉及9个知识点，除数列的通项外，其余知识点的考查频率、分布都比较均匀.

从考查内容看，两者有一致的地方，也有不一致的地方.一致的是，数列的和与通项都是反复考查的重点内容，两者都没有考查数列与函数的综合.不一致的是，全国卷多次考查等比数列求和，等差数列、等比数列的综合，浙江从未考查;全国卷4次考查数列的应用，浙江卷从未考查;数列与不等式的综合浙江卷考查了4次，而全国卷从未考查.

2.2.2两者都注重对等差、等比基本概念和基本性质的考查

等差数列和等比数列是两类最重要、最基本的特殊数列模型，是两者同时考查的重点内容.表2中“等差数列的概念与性质、等差数列的和，等比数列的概念与性质、等比数列的和”4个栏目都属于等差、等比基本概念和基本性质.全国卷共考查了19题，出现频率为86%，浙江卷考查了3题，出现频率为60%.可见，全国卷对这些基础知识点的考查频次高于浙江卷.

全国卷对数列的基本概念与性质的考查，题型可以分为三类：一是仅考查等差数列的基本量（a1，an，d，n，Sn），比如2019年全国卷Ⅰ理科第9题;二是仅考查等比数列的基本量（a1，an，q，n，Sn），比如2019年全国卷Ⅰ理科第14题;三是考查等差与等比的综合，比如2017年全国卷Ⅲ理科第9题.

2.2.3浙江卷强调解题技巧，全国卷注重知识应用

浙江卷与全国卷对数列的考查侧重点不同，对不同考点的取向不同，例如“数列与不等式”在浙江卷中作为压轴题反复出现，而全国卷从未出现.数列不等式综合题是以数列的通项、递推公式、前 n 项和为载体，考查数列的构造、求和、等价转化以及不等式放缩等，需要较强的解题技巧.例如2021年浙江卷第10题，该题作为选择题的压轴题，难度非常大，需从结构入手，将递推关系进行放缩，其中放缩的方向，放缩的幅度都不容易看出.学生没有经过类似训练，没有高超的解题技巧是做不出的.

全国卷强调数学的应用，例如2020年全国卷Ⅱ理科第4题，此题以北京天坛的圜丘坛为背景，将高考数学试题与中国古代文化相结合的考查形式，展现了文化自信，也体现了数学的应用价值.

可见，浙江卷对数列的考查更注重能力的培养，着眼于知识在数学内部的综合应用，而全国卷在注重基础的同时，强调联系实际，着眼于知识在数学外部的综合应用.

2.2.4从题目的难易看，浙江卷相对较难

题目的难易是相对的，而且很难量化，但是我们可以根据3∶5∶2的比例，按照题目出现的位置，将题目分成“易、中、难”三个层次.从表2可知，全国卷中数列试题的难度一般以容易题和中档题为主.选择题和填空题大致分为容易题、中档题和难题;解答题则为容易题或中档题（数列试题处于解答题的前三题的位置）.

相对而言，浙江卷中无论是小题还是解答题都较难， 5年中，小题有3次为选择题压轴题;2017年数列大题考查的是数列与不等式的综合，作为压轴题得分率较低，难度很大.2018—2021年数列大题编排在第20题，难度有所降低，但仍有一定的难度，特别是第2小问，并不容易解答.

3考查内容的理解

全国高考卷本着“一核、四层、四翼”的评价理念，注重学科特点，从学科思维价值和整体高度的角度出发，突出了数学知识的基础性和综合性，以数列的重点知识和主干知识为主体，着意数学知识运用的灵活性与创新性，将能力与素质融为一体，全面检测了学生的数学学科核心素养.全国卷试题很好地检测了学科素养的“学习掌握、实践探索、思维方法”3个指标.

3.1注重基础性，强调学习掌握

两者都注重对数列的基本概念和基本性质的考查，体现了知识立意，旨在检测学生的“学习掌握”情况.在这方面，两者的表现方式是相同的：通过数列的基本量，考查数列基础知识.

例1  （2019年全国卷Ⅰ理科题9）记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0，a5=5，则（）.

A.an=2n-5B.an=3n-10

C. Sn =2n2-8nD. Sn =12n2-2n

分析本题考查等差数列的通项与数列的和，等差数列 {an}的通项公式、前 n 项和公式集中了等差数列的基本量（a1，an，d，n，Sn）之间的关系，体现了课程标准的要求“探索并掌握等差（比） 数列的变化规律，建立通项公式和前n项和公式.”该题是典型的“知三求二”问题，体现了方程思想，即根据已知量和未知量之间的等量关系，通过建立方程（组）求解.

浙江卷中也有类似的试题，比如2019年第20题的第（1）题，考查等差、等比数列的基本量、方程的思想及数学运算等核心素养.

3.2注重综合性，着意实践探索

两者都强调对知识的综合应用，试题以基本知识为载体，考查综合能力，体现了能力立意，旨在检测学生的“实践探索”情况.在试题的表现形式上，两者有一定的差别：浙江卷对数列的考查更注重能力的培养，着眼于知识在数学内部的综合应用，而全国卷在注重基础的同时，强调联系实际，着眼于知识在数学外部的综合应用.

例2（2021年浙江卷题9）已知a，b∈R，ab>0，函数f（x）=ax2+b（x∈R），若f（s-t），f（s），f（s+t）成等比数列，则平面上点（s，t）的轨迹是（）.

A.直线和圆B. 直线和椭圆

C. 直线和双曲线 D. 直线和抛物线

分析该题在知识的交汇点处命题，将等比数列的概念、二次函数以及平面解析几何等基本知识有机地融为一个整体，这是从学科的整体高度和思维价值的高度考查问题，能有效考查学生综合运用知识的能力.

例3 （2021年新高考Ⅰ卷题16）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1=240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2=180dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为;如果对折n次，那么∑nk=1Sk= dm2.

分析该题以“民间剪纸艺术”为背景，综合考查了数列的概念、数列的通项，数列的和、错位相减等基本知识.题中给出前2次的对折结果，需要据此写出第4次的结果，以及第n次的结果，这是一种归纳猜想的思想方法，也是解决实际问题的有效方法.在猜想出Sn=120（n+1）2n-1后，该题并未到此为止，而是继续考查“错位相减”求和的方法，即继续考查综合运用知识的能力.通过此题，引导学生的关注点从“解题”转向“解决问题”，从“做题”转向“做人做事”，考查学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的理性思维能力.

3.3强调灵活性，旨在思维方法

两者都强调对知识的灵活运用，以检测学生的思维方法.“思维方法是认知加工的关键构件，是个体在信息时代所必须具备的核心认知品质，也是未来社会人才所需要的终身素养”＼[2＼].在检测思维方法方面，两者的体现形式有所不同：浙江卷常常编制一些高难度的试题，以检测学生的思维品质.而全国卷在创新的同时兼顾选择性，常常编制一些“结构不良试题”，以检测考生的关键能力和必备品格.

例4（2021年浙江卷题10）已知数列{an}满足a1=1，an+1=an1+an（n∈N）.记数列{an}的前n项和为Sn，则（）.

A.32<S100<3B. 3<S100<4

C. 4<S100<92 D. 92<S100<5

分析该题是一道数列与不等式综合的试题，常规的解法需要先对题中式子取倒数得：1an+1=1+anan=1an+1an，再放缩：1an+1an<1an+122，然后構造差结构得： 1an+1-1an<12，最后通过累加以及累乘得到an的范围，从而估计S100的范围. 从解答过程可知，该题技巧性非常强，对思维要求非常高，能较好地考查学生的思维品质.

例5 （2021年全国甲卷理科题18）已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列{an}是等差数列：②数列{Sn}是等差数列;③a2=3a1.

分析该题是一道“结构不良”试题，若选①③作条件证明②：

因为a2=3a1，an是等差数列，所以公差d=a2-a1=2a1，有了首项和公差这两个基本量，就可直接求其前n项和.此法思路比较自然，解法也较简单.

若选②③作条件证明①：

设Sn=an+b（a>0），则Sn=an+b2=a2n2+2abn+b2，这里关键是对 “{Sn}是等差数列”的理解，从数列的通项与和的结构上看，通项可以写成an=dn+b（一次函数），和可以写成Sn=An2+Bn（二次函数不含常数项），由此得到b=0.

所以，对问题的理解不同，选择就不同，解答过程就不同，体现的思维品质也就不同.所以，“选择”本身也能检测考生的思维方法和思维品质.

4教学建议

4.1聚焦全国卷，改变思维定式

从上面的分析可知，浙江卷与全国卷差别很大.浙江教师如果仍以浙江卷命题规律组织教学，那就很难应对将来全国卷高考.比如浙江卷反复考查的“数列与不等式的综合”，题目思维量较大，有较大的难度，学生需要花较多的时间才能掌握，但是全国卷从不考此类题目，如果教师按照以往的思维定式，仍在该问题上花大力气，那是费时、费力且性价比不高.

再比如，“数列的应用”是一个较难的问题，学生需要一定的训练才能掌握.该内容全国卷经常出现，但浙江卷从不考.如果教师还是按照之前应对浙江卷的思路，不涉及该内容，那么学生在未来高考中遇到此类问题，一定会手足无措.

因此，浙江教师要以全国卷为导向，这样复习教学才有针对性，才能在未来的高考中取得好成绩.

4.2在核心知识上下功夫，注重基础

高考对基础知识的考查，既全面又突出重点.对支撑学科知识的重要内容，占有较大的比例，构成试卷的主体＼[3＼].数列是高中数学课程中的重要内容，在全国卷或浙江卷中都占有较多的分值.数列考查的核心是数列的通项与数列的和，等差数列与等比数列的基本概念.数列通项公式、数列的前n项和、等差数列的性质、等比数列的性质等，这些既是数列的核心内容，也是高考反复出现的高频考点.教学时在这些内容上下功夫，既是掌握数列核心内容，高考取得好成绩的必要条件，也是提升学生数学素养的良好载体.

4.3注重知识的应用，提升素养

“数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型.在日常生活中遇到的许多问题，如贷款、利率、折扣、人口增长、放射物质的衰变等都可以用等差数列或等比数列来刻画”＼[4＼].全国高考试题通过联系生产、生活实际的试题情境设计，将抽象的数学概念与实际生活相结合，要求学生运用数学知识、思想和方法对实际问题进行分析与研究，进而解决问题.教学时应以此为载体，培养学生的数学应用能力和应用意识，提升数学抽象和数学建模的素养.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017版）＼[M＼].北京：人民教育出版社，2018.

[2]中华人民共和国教育部考试中心.中国高考评价体系＼[M＼].北京：人民教育出版社，2021.8.

[3]中华人民共和国教育部考试中心. 2019年普通高等学校招生全国统一考试大纲·理科＼[M＼].北京：高等教育出版社，2018.

[4]章建跃，李增沪.普通高中教科书数学选择性必修第二册＼[M＼].北京：人民教育出版社，2020.

作者简介朱成万（1973—），男，安徽安庆人，中学高级教师，人民教育出版社教材培训专家;主要研究數学教学;著有《至精至简的高中数学思想与方法》等7部著作，发表论文100余篇.

王红权（1970—），男，杭州市基础教育研究室中学数学教研员，浙江省特级教师，中学高级教师.人教A版高中数学新课标教材核心作者，人教义务教育新课标教材修订组核心成员，中国统计教育学会理事，浙江省数学会理事，浙江省教育学会中学数学分会常务理事;主要代表成果：《数学教师课堂教学行为理论与实践研究》2016年浙江省基础教育教学成果二等奖，《对高中数学空转现象的探究》杭州市第七届国家基础教育课程改革优秀研究成果一等奖;主持浙江省、杭州市重点规划课题10余项，参与国家社科、教育部重点课题3项，已在各类杂志发表论文100余篇.