将创造性使用教材根植于日常教学——从一次高一期末质量调研测试谈起

陈玉娟 周 芸

(江苏省常州高级中学 213003)

1 前言

数学素养是人们通过数学教育以及自身的实践认识活动,所获得的数学基础知识、基本技能、数学思想和观念,以及由此形成的数学思维品质和解决问题能力的总和.数学课程及其教学不仅要关注学生对数学知识、技能、思想方法的掌握,关注其数学能力的发展,还要有助于学生理解数学的社会价值,领略数学文化的内涵,体验数学的思维方式和方法,形成良好的数学思维品质,促使学生的数学素养得到全面提高.

笔者认为,作为一线教师,立足教材,以培养学生的数学素养为目标,通过创造性使用教材的方式开展实践研究有其必要性和可行性.本文以我校(江苏省四星级示范高中)某次高一年级期末质量调研测试中的“三角题型”(下文简称三角)情况为例,说明如何在日常的数学教学中立足教材并创造性地使用教材,培养学生的数学素养.

2 情况的呈现与分析

我校2019级高一年级共设12个班级,其中10、11班为自主招生班,9、10班是中考成绩居前的创新班,他们基础相对比较好.12班是体育特长班,基础比较薄弱.其它是平行班.为了更好地实施学校的评价体系和要求,调研测试采取的是“背对背”命题的方式,由高一数学备课组给命题老师(非高一数学科任老师)提供试卷编制的双向细目表.

题型有选择题(1-8单选,9-12多选)、填空题(13-16)和解答题(17-22),满分150分.其中考查三角的试题数量是3小题,3大题,占分49分.经过统计、分析,发现三角得分率普遍比较低,出乎教师的意料.

选择、填空题得分率低于70%的共有4题,其中三角(共3题分别是第8、11、15题)就占2题.

6道解答题中考查三角的有3题,位列三个层次,分别是第18,20,21题,每题的第2小问,得分率较低.

值得思考的是,在学校组织的期末调研情况分析会议上(笔者作为试卷审核人参会),命题老师说明三角题大多出自教材原题或原题改编.为此,笔者以得分较低的三角题为载体,用题组的形式分析说明,如何将创造性使用教材根植于日常教学,提升学生的数学素养.

2.1 研读教材中的定理证明,培养学生逻辑推理的数学素养

定理是构成数学教材的重要内容,是学生解决数学问题的主要依据,弄清楚定理的来龙去脉不仅对学生数学知识结构的构建有促进作用,而且定理证明中蕴含的数学思想与方法更能提升学生逻辑推理的数学素养.

题组1

教材定理正弦定理、余弦定理及其证明

考题20在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD的面积是△ADC的面积的3倍.

第1问得分率是全卷三角题中最高的,为95.1%,但部分学生的解答过程过于复杂.其实直接运用正弦定理和三角形面积公式就能解决.

解：(1)设△ABC中A,B,C所对边分别为a,b,c,由题可设∠BAD=∠CAD=α，所以

第2问在第1问的基础上,再用余弦定理即可求解.但得分率出乎老师们的意外,仅为53.61%.笔者调查询问时,学生的回答让我啼笑皆非：教材(苏教版必修5)P14有表述(原文摘抄):利用余弦定理,可以解决以下两类解斜三角形的问题：(1)已知三边,求三个角；(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.这道题不是以上两类情况,所以我没想到可以用余弦定理.

解：(2)因为S△ABD:S△ADC=BD:CD=3,

设∠ADB=β,则∠ADC=π-β.又AD=1,

在△ABD和△ADC中,

①+②×3消去β得c2+3b2=8，

笔者认为,在日常教学中,可以引导学生尝试用多种方法证明正、余弦定理,在证明的过程中教师要具有一定的思维敏锐性,尽可能地把学生头脑中的问题引出来,把他们解决问题的思维过程暴露出来,加以指导.为了帮助学生建构数学知识结构,灵活掌握定理的应用,体悟数学思想方法,可以开展相应的学生数学实践活动，如：以不同的数学思想方法为主题开设专题讲座、专题研究课、撰写论文.

2.2 精读教材中的例题,培养学生迁移运用的数学素养

例题是数学教材中的关键内容,是编者为学生学会知识运用提供的示范与引领,带领学生精读例题、追根溯源,弄清楚例题的作用与价值有利于提升学生举一反三、迁移运用的数学素养.

题组2

教材原题(苏教版必修4 P121例4)求证：

考题是教材例题原题,让老师们匪夷所思的是得分率仅为48.01%,是3道三角小题中最低的,也是整卷小题中除压轴第16题外最低的.下面笔者分层进行分析和解答.

第1步 以“函数名”为主视点,切化弦.

第2步 以“结构特征”为主视点,通分后用“辅助角公式”化简.

第3步 以“角”为主视点,运用二倍角公式和诱导公式继续化简.

教材中的一道例题,学生得分如此低,笔者认为很有必要引领学生一起回顾解题过程和思路.这是一道求值题,条件蕴含在题目中,已知的信息就是已学的公式.化简、求值的线索和路径,可以是角、函数名、结构特征的统一.此题如果有学生从角入手,观察到10°,50°的和是特殊角60°,不妨任其去尝试,思路受阻后再另找途径,从函数名称的角度实施转化,统一化为弦.以此为突破口,再进行角之间的转化.让学生经历失败的挫折过程,才能真正感受成功的喜悦.

题组3

sin 2α+γ=4sin 2β,则m的值为 ( ).

从教材例6的解答过程中可以看出,只要知道sinα+β，sinα-β值,就可以依据两角和差公式展开,再运用方程中的消元思想,整体解出sinαcosβ,cosαsinβ，最后切化弦求得所求值.考题8就是以其为雏形,增加了第3个角γ，但解题的思路仍然是整体消元和切化弦.此题得分率仅有64.43%.分层的分析与解答如下.

第1步 以“角”为主视点,运用方程思想整体换元、消元.

设x=α+β+γ①,y=α-β+γ②，

①+②得2(α+γ)=x+y,①-②得2β=x-y.

第2步 以“函数名”为主视点,切化弦，转化题设与目标.

转化题设sin 2α+γ=4sin 2β为

sin (x+y)=4sin (x-y),

第3步 以“结构特征”为主视点,化简条件转化目标,求得结果.

由sin (x+y)=4sin (x-y)展开化简得

3sinxcosy=5cosxsiny，

题组2,3突出以角、函数名称、结构特征为主视点,在分析问题中这三者之间差异的基础上寻找联系,促成转化.在化简的过程中,教师可以引导学生灵活运用或变用公式简化运算,使其更贴近所求(证)式.

笔者认为,教师应较好地使用教材,但又不囿于教材,课堂教学既不能依赖教参作“传声筒”,又不能脱离书本另搞一套急于求成,这就需要展现教者的内功和智慧.为了充分挖掘例题所蕴涵的示范功能和拓展功能,可以开展相对应的学生数学实践活动,如：精选例题开设赏析课，组织学生撰写精读例题的心得体会、撰写论文，等等.

2.3 改编教材中的习题,培养学生改旧创新的数学素养

习题是数学教材中的主要内容,是编者对学生数学应用能力的检测,改编教材中的习题,有利于培养学生改旧创新的数学素养.

题组4

教材原题(苏教版必修4教材P109练习7)

教材中的练习是针对新课学习后的及时巩固,难度一般较低.考题18(2)与教材原题只是目标求解上有些微小的变化,解答过程也比较简单,遗憾的是只有74.64%的得分率.

题组4重点突出以“角”为主视点,化未知为已知.着重观察、分析问题中角的差异,在此基础上寻求联系、促成转化.其方法通常是“配凑”或“换元”,运用整体思想,将所求角转化成已知角进行处理.教学中可组织学生针对不同的解法交流思想.

题组5

考题21已知△ABC中三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,且2ccosB=2a-b.

考题的目标是求表达式的取值范围,其中渗透了函数思想.这在必修4的复习题中可以找到原型.考题与原题1的区别主要在自变量上,要消除这个区别需要用到教材原题2的思想,即用正弦定理,化边为角,考题就转化为求以角为自变量的函数的值域问题.

第1步 运用函数思想,灵活结合题设和正、余弦定理寻求合适的自变量.

即a2+b2-c2=ab.

所以a=2sinA,b=2sinB.

考虑到三角形中

故选择自变量A比较合适.

第2步 运用转化思想,灵活进行三角恒等变换,化简目标.

a2+b2=4sin2A+sin2B

第3步 根据锐角三角形的定义和三角形中角的等量关系正确求得定义域.

第4步 通过三角函数的图象和性质,求函数值域.

运用函数思想,常需要构造函数.构造函数的关键在于细致的观察、敏锐的直觉、丰富的联想和正确的化归,通过对题设条件和结论的分析,构造出适当的函数,使原问题得以转化或简化.构造法属于非常规思维,它适用于那些常规方法不易解决的问题,是培养学生创造性思维能力的一种有效途径.

笔者认为,教学贵在用心.要做到静心吃透教材,在习题教学中同样要关注学生的主体参与.为促使学生获得内心的体验,产生学习数学的积极情感,发现数学的规律和问题解决的途径,可以开展相对应的学生数学实践活动.如：开展解题、改编题的竞赛活动，撰写论文等等.

3 结束语

一次期末质量调研测试中涉及的三角函数题型,虽都能从教材中找到它的原型,但得分率却偏低,既暴露了教师平时不够重视数学课本的教学,也说明学生不会运用数学课本是普遍现象,这是制约我国高中生数学素养发展的一个瓶颈[1].在新课改伊始,我们的教学确实遇到一些问题与困难：如,新课改的主题单元教学授课模式与原有的模块教学授课模式的区别与差异,给常年使用原教材的一线教师带来了一定的困难；教材中定理证明的不完整性给教师在教学难度的把控上带来一定的困惑,对于教材中回避的定理证明是否要补充值得进一步商榷；教材中例题作用与价值的充分挖掘需要教师深厚的基本功,对年轻教师而言有一定的挑战性,同时对个别例题中小瑕疵的识别也需要教师的质疑精神；教材中习题的整合与拓展需要教师的全局观,对教师通读高中数学教材的能力有一定的要求，等等.

但笔者认为这些正符合我们教师新课程新教材工作的目标和方向：开展教材中定理证明的研读,立足数学思想和方法,对定理证明进行整合,让学生在了解与证明定理内容的过程中提升逻辑推理的数学素养、感受核心数学思想与方法；开展教材中例题的精读,立足例题的价值与作用,对例题进行深度挖掘,让每个例题都是一个资料库,让学生透过例题看到编者的意图、学会举一反三、学会数学迁移；开展习题的改编,立足习题的类型与解题方法等维度对课后习题进行整合，一方面教师对习题之间的关联性给出阐释,另一方面对习题的改编思路给出点评.

总之,只有教师在平常的教学中立足教材,潜心研究教材,创造性地使用教材,不断提升自我的教学智慧,才能逐步培养学生的数学素养和创新精神,提高学生综合分析问题和解决问题的能力.