扩展Su-Schrieffer-Heeger模型在周期性边界条件下的相变

尹传磊， 朱学峰， 杨非凡， 李 蓉， 周毅坚， 彭文博， 赵 洋

(河南科技大学 物理工程学院 河南省光电储能材料与应用重点实验室，洛阳 471023)

1 引 言

Su-Schrieffer-Heeger (SSH)模型是一种用来描述一维聚乙炔的紧束缚模型，具有十分优美的数学结构[1]. 近年来关于拓扑绝缘体[2,3]的研究，引起了人们对 SSH模型的广泛关注. 更值得关注的是，由于 SSH模型具有多种物理现象[4-8]，特别是其不平庸的拓扑相位[9,10]，人们对 SSH模型的研究日益深入. SSH模型可以作为一维聚乙炔[1]、石墨烯丝带[11]、非对角双色光晶格[12]和p轨道光学阶梯系统[13]等多种系统的数学投影. 然而上述文章大多是关于 SSH模型所表现出的量子状态，很少有关于 SSH模型热力学性质的文章[14,15]. 此外，文献[14]中热容对温度的依赖性与文献[15]中的不同. 更值得注意的是， Zoli的计算没有介绍二聚化[14]. 在计算扩展后的 SSH模型的热力学特性时，由于不含二聚化的 SSH模型不能用来描述聚乙炔，因此在计算扩展SSH模型的热力学特性时，二聚化不应该被忽略.

本文利用统计力学方法和费曼路径积分方法，研究了含三个过渡项的扩展 SSH模型在周期性边界条件下的热力学性质. 在这项工作中不涉及定压热容，所以文中所用热容均为指定热容. 根据统计力学的一般表述，一个系统的热力学性质可以由它的配分函数得出[16]. 而该配分函数又可以通过费曼路径积分表述[17]. 此外，在zoli的研究中[14]，配分函数由费曼路径积分得到. 又因为该模型的配分函数可以用一个连乘来表示，所以其亥姆霍兹自由能、熵、内能、热容均可用求和的方式进行表述. 文章用图解法，解释了模型ⅰ的热容与温度的比率(HCOTR)对温度的依赖性，并解释了扩展的 SSH模型(模型ⅱ)只包含两种跃迁项(NN, NNN跃迁项)和只包含一种跃迁项(NN跃迁项)的 SSH模型(模式识别)[1]对温度的依赖性.

2 理论模型

一个原胞包含a和b两个格点的一维晶格的哈密顿量是[1, 9, 10]

H=HSSH+HNNN+HNNNN

(1)

其中

(2)

(3)

(4)

这里t1=t+ε和t2=t-ε均是原胞中的跃迁幅度，ta是沿着a子格的跃迁幅度，tb是沿着b子格的跃迁幅度，ca,n(或者cb,n)是a(或者b)子格中的湮灭算符，t3和t4是NNNN跃迁幅度. 为了简化模型，将t=1作为能量的单元[9, 10].

(5)

(6)

根据矩阵理论的方法，我们得到了矩阵h(k)的特征值

(7)

其中

(8)

3 结果与讨论

模型ⅰ的配分函数可以表示为费曼路径积分的形式

(9)

其中欧几里德作用量

(10)

泛函积分的测度

(11)

且

(12)

(13)

且该场可以用傅里叶级数表示

其中松原频率为

(14)

l属于所有整数的集合. (9)式表示的配分函数可以写为

(15)

其中测度

(16)

且作用量

(17)

通过计算路径积分(15)，得到了模型ⅰ的配分函数

(18)

这里Z±(k)=1+e-βE±(k). 模型ⅰ配分函数的自然对数乘-T，得到它的亥姆霍兹自由能

(19)

利用热力学关系，得到它的熵

(20)

和内能

(21)

通过算其内能对温度的偏导数，我们得到它的热容

(22)

图1(a)和(b)显示了模型ⅰ(由实线表示)、模型ⅱ(由点线表示)、模型ⅲ(由短划线表示)的HCOTR的温度依赖性.

为了获得图1,我们设置ε=0.065、ta=0.5、tb=0.6、t3=0.08、t4=0.08. 当温度由绝对零度逐渐升高时：模型ⅱ和模型ⅲ的HCOTR均呈现出先增大后减小再增大的趋势，而模型ⅰ的HCOTR先减小，在达到最小值后增大. 在低温(0-0.3)下每个模型都有一个HCOTR的极值，如图1 (a)所示. 模型ⅱ的极值低于模型ⅲ的极值，但高于模型ⅰ的极值.

由于HCOTR在低温下随温度增加而上升是玻璃态的特殊性质，所以这三个极值点是三个相变点[14,18]. 如图1(a)所示，模型ⅰ的相变温度低于模型ⅱ的相变温度，且模型ⅱ的相变温度低于模型ⅲ的相变温度. 这表明跃迁项可以降低相变温度.

在极低温度下，模型ⅱ和模型ⅲ的HCOTR都随着温度升高而增大，而模型ⅰ的HCOTR随温度升高而降低. 模型ⅰ和其他两种模型HCOTR的单调性之间的这种差异，根本原因是NNNN跃迁项.

图1 模型ⅰ(由实线表示)，模型ⅱ(由点线表示)与模型ⅲ(由短划线表示)的HCOTR随温度增加而变化的曲线. 每条曲线的ε值都设定为0.065，ta值都设定为0.5，tb值都设定为0.6，t3值都设定为0.08，t4值都设定为0.08.(a)和(b)除温度域不同外，其它参数均相同.Fig. 1 HCOTR curves of model ⅰ (represented by the solid line), model ⅱ (represented by the dotted line) and model iii (represented by the dashed line) with increasing temperature. The value of each curve is set to 0.065, the value of ta is set to 0.5, the value of tb is set to 0.6, the value of t3 is set to 0.08, and the value of t4 is set to 0.08. (a) and (b) except for the difference in temperature range, other parameters are the same ones.

如图1(b)所示，在高温(0.3～1)下这三种模型的HCOTR的温度依赖性相似，当温度由0.3逐渐升高时：这三种模型的HCOTR均先增大，在达到极大值后减小. 在高温(0.3～1)下模型ⅱ的最大HCOTR高于模型ⅲ的HCOTR，而低于模型ⅰ的HCOTR.

在图2(a)和(b)描绘的是在ε取四个不同值时模型ⅰ的HCOTR的温度依赖性，其中实线对应ε=0、点线对应ε=0.15、点划线对应ε=0.065、短划线对应ε=0.3 . 为了获得图2，我们设置ta=0.5、tb=0.6、t3=0.08、t4=0.08 . 如图2(b)所示，在高温(0.3～1)下模型ⅰ中的ε取四个不同值时HCOTR有类似的温度依赖性且HCOTR的最大值随ε减少而增加；当温度由0.3逐渐升高到1时，这四个ε值对应的HCOTR都先增大,到最大值后减小.

然而如图2(a)所示，在极低温(0-0.05)下不同ε值对应的HCOTR的单调性不同，这表明NN跃迁项会影响模型ⅰ的HCOTR的单调性.ε=0.3时模型ⅰ有两个相变点，这表明NN跃迁项会影响模型ⅰ的相变.

图2 在ε取四个不同值时模型ⅰ的HCOTR的温度依赖性. 实线对应ε=0；点线对应ε=0.15；点划线对应ε=0.065；短划线对应ε=0.3. 对于每条曲线，ta值都设定为0.5，tb值都设定为0.6，t3值都设定为0.08，t4值都设定为0.08. (a)和(b)除温度域不同外，其它参数均相同.Fig. 2 The temperature dependence of the HCOTR of model i when four different values ε are used. The solid line corresponds to ε=0; the dotted line corresponds to ε=0.15; the dash dot line corresponds to ε=0.065; the dashed line corresponds to ε=0.3. For each curve, the ta value is set to 0.5, the tb value is set to 0.6, the t3 value is set to 0.08, and the t4 value is set to 0.08. (a) and (b) except for the difference in temperature range, other parameters are the same ones.

图3(a)和(b)显示了在ta、tb取四组不同值时模型ⅰ的HCOTR的温度依赖性. 实线对应ta=0.3、tb=0.5，点线对应ta=0.2、tb=0.7，点划线对应ta=0.6、tb=0.3，短划线对应ta=0.8、tb=0.3. 为了获得图3，我们设置ε=0.065、t3=0.08、t4=0.08. 如图3(b)所示，在高温(0.3～1)下模型ⅰ中的ta、tb取四组不同值时HCOTR有类似的温度依赖性. 当温度由0.3逐渐升高到1时，这四组ta、tb值对应的HCOTR都先增大，到最大值后减小.

然而如图3(a)所示，在低温(0.3-1)下不同ta、tb值对应的HCOTR的单调性不同，这表明NNN跃迁项会影响模型ⅰ的HCOTR的单调性.ta=0.2、tb=0.7时模型ⅰ有两个相变点，这表明NNN跃迁项可以影响模型ⅰ的相变.

图4(a)和(b)描绘了在t3、t4取四组不同值时模型ⅰ的HCOTR的温度依赖性. 实线对应t3=0.08、t4=0.08，点线对应t3=0.01、t4=0.07，点划线对应t3=0.06、t4=0.01，短划线对应t3=0.08、t4=0.03 . 为了获得图4，我们设置ε=0.065、ta=0.5、tb=0.6 . 在高温(0.1～1)下模型ⅰ中的t3、t4取四组不同值时HCOTR有类似的温度依赖性. 当温度由0.1逐渐升高到1时，这四组t3、t4值对应的HCOTR均先增大到最大值后减小.

然而如图4(a)所示，在低温(0-0.1)下不同t3、t4值对应的HCOTR的单调性不同，这表明NNNN跃迁项会影响模型ⅰ的HCOTR的单调性.

4 总 结

利用统计力学的一般表述和费曼路径积分，计算了模型ⅰ在周期性边界条件下的热力学性质. 对模型ⅱ和模型ⅲ也进行了类似的计算并与模型ⅰ作对比. HCOTR对温度的依赖曲线有最小值点表明这三种模型均存在相变.在低温下，每个模型都有相变且跃迁项可以降低相变温度. 在极低的温度下，NNNN跃迁项可以引起模型ⅰ与其他两种模型在HCOTR的单调性方面的差异. 在低温下，NN、NNN、NNNN三种跃迁项都可能影响模型ⅰ的HCOTR的单调性. NN或NNN跃迁项可以影响模型ⅰ的相变.

图3 在ta、tb取四组不同值时模型ⅰ中的HCOTR的温度依赖性. 实线对应ta=0.3、tb=0.5；点线对应ta=0.2、tb=0.7；点划线对应ta=0.6、tb=0.3；短划线对应ta=0.8、tb=0.3. 对于每条曲线，ε=0.065、t3=0.08、t4=0.08.(a)和(b)除温度域不同外，其它参数均相同.Fig. 3 The temperature dependence of HCOTR in model i when ta and tb take four different values. The solid line corresponds to ta=0.3, tb =0.5; the dotted line corresponds to ta=0.2, tb=0.7; dash dot line corresponds to ta=0.6, tb=0.3; the dashed line corresponds to ta=0.8, tb=0.3. For each curve, ε=0.065, t3=0.08, t4=0.08. (a) and (b) except for the difference in temperature range, other parameters are the same ones.