从“教材重构”到“活动重建”

杨宏伟

［摘 要］教师要聚焦数学本质，抓住知识间的横向和纵向联系，将复杂问题回归本源，让静态的数学课堂走向动态的学习活动，让学生在数学活动中充分经历操作、想象、推理、验证等一系列数学学习过程，让课堂呈现素养生长的勃勃生机。文章以“三角形三边的关系”一课为例，阐释指向素养生长的教学思考与具体实践，探索从“教材重构”到“活动重建”的有效路径。

［关键词］教材；活动；素养；课堂

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2022）35-0020-04

“三角形三边的关系”属于“图形与几何”板块的内容，是在学生初步认识三角形的基础上继续开展的研究学习活动，目的是使学生进一步加深对三角形特征的理解，掌握三角形的边的重要特征，并灵活利用这一特征解决生活中的实际问题。

一、指向素养生长的教学思考与教材重构

在“三角形三边的关系”的教学中，教师通常根据教材的编排，让学生动手摆一摆、看一看、说一说。学生发现有的小棒能围成三角形，有的围不成。接着，教师利用给定的数据揭示本课的重点：三角形任意两边的和大于第三边。这样直接引出结论，铺垫不足，教学效果不尽如人意。

鉴于此，笔者对教材内容进行重构，以实现思维视角下的整体把握。具体做法如下。

首先，借助“工具库——两点之间线段最短”唤醒学生对三角形三边的关系的认识。以问题驱动为着力点，激发学生探究新知的欲望，让学生从解决问题开始，初步感悟“围得成”和“围不成”。

其次，激发学生主动学习潜能。通过“猜想—验证—归纳”数学活动，将核心问题“三角形三边的关系”贯穿课堂的始终，由浅入深探究“围得成”和“围不成”。

最后，设计具有思维张力的练习。让学生运用所学的知识快速判断所给的数据能不能围成三角形，以练习促进学力提升，使学生能够构建探究三角形三边的关系的方法，优化“围得成”。（如图1）

整节课围绕探索三角形三边的关系展开，设置不同的学习推进点，促进学生表达自己的观点与思考。学生在教师的引导下经历“初悟—深究—思辨”的学习路径，进而形成数学核心素养。

二、促进素养生长的学习活动重建与教学应用

为了促进学生素养的生长，笔者对学习活动进行了系统重建，通过问题导引、任务驱动、活动参与等方式，引领学生充分经历具有挑战性与开放性的学习活动，使学生在活动中强化数学理解，感悟数学思想，积累活动经验。

1.操作辨伪：初步体会“围不成”

核心素养视域下的课堂教学聚焦“图形与几何”知识的特性，强调数学核心概念的理解与认同。因此，教师可以以问题探究的形式抛出问题，引领学生开启对本课知识的学习。

问题：如图2，将左边的三角形的三条边展开，就得到了一条长12米的线段。想一想，把这条线段任意分成三段，是不是都能围成三角形？

笔者让学生小组合作，想一想、剪一剪、摆一摆、说一说。学生将图与算式有机结合，列出了六种可能的情况（如图3）。笔者基于学生认知起点，追加问题，有序推进知识建构，让学生初步掌握知识。

本环节中，笔者依次提出三个问题：“这三条线段能围成三角形吗？我们是怎样进行比较的？这三条线段的长度之间有什么关系？”学生借助图形观察与思考，实现图形与结论的关联，初步感受到：能不能围成三角形和线段的长短有关；围得成三角形时，任意两条线段的长度之和都大于第三条线段的长度。为引导学生深入分析，在抽象算式的过程中理解核心问题，笔者又提出三个问题： “长1米、4米和7米的三条线段，为什么围不成三角形？长3米、4米和5米的三条线段长度之间有什么关系？长2米、4米和6米的三条线段能围成三角形吗？”教师引导学生紧紧围绕问题有序进行探索，以自己围成的图形为素材，用算式分析“围得成”与“围不成”，初步发现三角形三边之间的关系：1+4<7，1+7>4，4+7>1；3+4>5，3+5>4，4+5>3。由此，学生初步猜想：只要有两条线段的长度之和小于第三条线段的长度，这三条线段就围不成三角形。学生用算式进行数据分析，梳理三角形三边的关系，提升了逻辑思维能力，为深入探索知识奠定了基础。

2.推理揭秘：深度理解“围得成”

本环节是整节课的核心环节。培养学生的高阶思维能力，不但要让学生明白“是什么”，而且要让学生明白“为什么”。在第一阶段的学习中，学生已经初步了解了三角形三边的关系的相关结论，此时的教学应逐步爬坡，让学生进一步推理，揭秘“为什么”，引领学生的思维走向高阶，使其对三角形三边的关系的理解从浅显走向深刻。

（1）深入挖掘，探究活动数据

本环节设置了两个教学推进点。第一个是先把12米改写成120分米和1200厘米（如图4），提问：这三条线段能围成三角形吗？三条线段之间又有怎么样的关系？第二个是提问：如果把120分米改写成1200厘米、12000毫米，再将其任意分成三段后围三角形，有多少种不同的围法？

同样长的三条线段，由于单位不同，分成三段的长度组合也不同，提供了多样化的研究数据。用多样化的数据引发多元的“推算—推理—验证”，从特殊到一般，在实现更高层次的抽象与概括的同时不断完善结论。

（2）溯本求源，强化知识本质

数学教学既要溯源而上，揭示知识从何处来，又要顺势而下，抵近知识本质。在此环节中，教师将学生的课堂生成转化为教学素材，紧扣三角形三边的关系这一核心，围绕一个观察点和一个研究点，凸显知识本质，促进学生对知识的深度理解。

觀察点在于“围得成”与“围不成”。先把12米改写成120分米，再把长120分米的线段任意分成三段，就多了许多分法，分得的线段是否符合之前的猜想呢？“（30，89，1）这三条线段能围成三角形吗？这三条线段之间有怎样的关系？（30，88，2）能围成三角形吗？列出算式。（30，60，30）这组线段为什么围不成三角形？”笔者借助动态演示，通过一系列问题驱动学生用算式来辨别三条线段能否围成三角形，给学生提供了丰富的想象空间，让他们直观感知“围得成”与“围不成”。

同时，引发一个研究点：辨析“围得成”与“围不成”。笔者引导学生在观看动态演示的过程中思考：“长度由（30，60，30）开始慢慢变化，变为（30，59，31）时（如图5），这三条线段为什么能围成三角形呢？”这一问题成功激发了学生进行深度思考。有學生说是因为在这组线段中，无论是哪两条边的长度之和都比第三条边的长度大。学生带着这样的认识，继续探索（30，58，32）、（30，57，33）、（30，59，31）……（30，30，60）（如图6）。这时，又回到了“围不成”的情况。学生渐渐领悟到：只要任意两条边的长度之和大于第三边，就能围成三角形。此外，学生加深了对三角形三边关系的理解，真切体会了“围得成”与“围不成”的区别与联系。

笔者在突破教学难点时注重推理揭秘，引领学生层层深入，深挖知识内涵，直抵知识本质，使学生不断经历“围得成”与“围不成”的转换过程，提升思维能力。

3.思辨生成：精准把握“围得成”与“围不成”

本环节既有学生的“思”——思考知识体系的构建，又有学生的“辨”——运用结论进行辨析，优化判别方法。

（1）凸显知识延伸的一致性

笔者提问：“用a、b、c分别表示三角形三条边的长度，它们之间有什么关系？”学生根据已有的学习经验脱口而出：“三角形任意两条边的长度之和大于第三边的长度。”这时，笔者基于结构化、整体性的意识与思维，利用知识间的联系顺势而导，引领学生聚焦到“两点之间线段最短”上（如图7），体会两者的一致性。

（2）强化深度理解的优越性

练习是巩固学习成果的重要手段，也是构建知识系统的重要一环。笔者利用已有的教学资源做了一个有机整合，设置了一定量的练习（如图8），既包括知识的巩固，又包括方法的灵活应用和逐步优化，以促进学生思维碰撞。

判断下面三条线段能否围成三角形。（在□里画“√”）

这个看似简单的问题，却包含着数学思维的进阶。学生在理解并运用结论的基础上，快速优化方法，即只需要比较较短的两条线段的长度之和是否大于最长的线段即可，从而提升了学习力。

三、深化素养生长的习题拓展与持续发展

数学学习是一个循序渐进、主动建构，不断扩充与完善知识体系的过程。适度进行习题拓展有助于延伸知识点，促进思维爬坡，提升解决问题的能力。对三角形三边的关系的理解属于数学知识理解的基本范畴。教学需要超越知识，学生只有理解了“为什么”，才能触及数学知识的本质。

拓展性练习：用一根长12米的篱笆一面靠墙围一块三角形菜地，墙长6米（如图9），有多少种不同的围法？（取整厘米数）

这是一个富有挑战性的问题。教学中，笔者抓住学生讨论过程中出现的两个疑问引导学生深入探究。疑问一：怎么运用三角形三边的关系解题？要解决这一疑问，需要学生感悟所学的知识，既要实现知识之间的融合，又要掌握将生活问题转化为数学问题的方法。笔者以素养的生长为出发点，让学生经历数学知识“再发现—再创造”的过程，真正提升学生的学习能力。疑问二：如何采用有效的方法来解答？笔者认为，一方面，教师要启发学生厘清问题，从所学知识着手，将问题纳入已有的知识框架，注重数学知识的建构与创造，实现学生认知结构的扩充与生长；另一方面，教师要鼓励学生分小组合作，用好已有的材料，进行多路径辨析，并相互交流。学生经过尝试和思辨后找到解决这类问题的一般方法，即一一列举法（如图10）。用一一列举法既能完整地列举出所有符合条件的情况，又能帮助学生养成全面思考的习惯。另外，学生在对每一种情况都进行辨析的过程中，还能养成严谨的学习习惯，从而提高数学核心素养。

拓展练习的设计需要考虑学生对新知识的整体理解与感悟，素材及问题共同指向学生的素养生长。同时，学生生成性资源的展示与交流，也会促使学生进一步打开思路，加深理解，强化认识，并掌握解决一类问题的基本方法，形成基本技能。这既是数学知识的迁移，也是数学技能的提升，为学生今后数学学习的可持续性发展奠定坚实的基础。

（责编吴美玲）