发展高中生数学高阶思维的路径思考

罗 丰

（甘肃省平凉市静宁县第一中学，甘肃 平凉）

数学高阶思维是指学生通过题目中的各项已知条件找出隐含条件，再观察数据之间的关系，分析解题思路。对学生来讲，既要有较高的逻辑思维能力，又要有挖掘能力，这样才能利用已学的数学知识顺利解答数学问题。

一、关注学生的空间想象能力

高中数学几何知识有复杂的空间图形，学生要利用空间想象能力解决题目。所谓空间想象是指人脑在对已知信息进行处理和对比之后，转变成已学的数学知识的过程。学生一定要有较强的空间想象能力，才能接受知识、利用知识。从某种程度上讲，想象力比知识更加重要。现阶段，信息化技术手段已经走进教室，教师可以利用信息技术为学生创造直观的数学空间知识，让学生通过多媒体的帮助，迅速掌握关于几何图形的各类空间问题，教师还可以引导学生通过观察，大胆发挥想象，提高数学学习的兴趣。

二、关注学生思维的简洁性

很多高中数学例题中有着复杂的已知条件，也包含一些干扰条件，学生在解答题目时，应当快速排除干扰项，找出有用的条件，这就要求学生具备一定的删繁就简能力。学生可以发掘条件中的矛盾，从而做到思维上的简洁性，例如，函数的单调减区间为（-∞，-2），则k的取值范围为（ ）。

分析：有的学生往往受导数处理函数单调性的思维定式的影响，会联想到用导数来解决本题，教师可以引导学生换种思维思考。首先，去绝对值符号可得f（x）=所得分段函数由一次函数与二次函数组成，继续思考：此处必须要用导数知识来解决吗？

其次，“函数f（x）的单调减区间为（-∞，-2）”这一条件学生应当如何更深刻地理解？教师可以将题目转换成如下意思：已知（-∞，-2）为函数（x∈R）的单调区间，k的取值范围如何？学生经过思考就会认为不可以这样转化。因为原题想表达的是（-∞，-2）为函数f（x）的单调减区间，且函数f（x）只在这一区间上为单调减函数。结合函数图象可知，对称轴x=-k/4在［-2，2］之间，于是可得出-2≤-k/4≤2且k>0，解得0

三、重视学生思维的严谨性

在解答高中数学题目时，学生要全面思考问题，用严谨的态度对待每一项已知条件，这样才能将所有的可能结果进行分析，最终解答出正确答案。依靠思维的严谨性可以让学生知其然，并且知其所以然，这也是教师在数学教学过程中的重点内容之一。如下例题中，已知函数f（x）=ax/（x2+1），g（x）=sin4x-cos4x，若对于任意的x1∈R均存在x2∈R，并令g（x2）=f（x1），则实数a的取值范围为______。

分析：g（x）=sin4x-cos4x=-cos2x∈［-1，1］。由条件易知函数f（x）的值域应为函数g（x）值域的子集。f（x）的定义域为R，因此接下来应求函数f（x）的值域。

解题方法1：

首先对x进行分类讨论。

当x=0或a=0时，f（x）=0。当x＞0时，f（x）=ax/（x2+1）=

a·1/（x+1/x），

若a＞0，则0＜f（x）≤a/2；若a＜0，则-a/2≤f（x）＜0。

当x＜0时，f（x）=ax/（x2+1）=-a·1/［（-x）+1/（-x）］。

若a＞0，则-a/2≤f（x）＜0；

若a＜0，则0＜f（x）≤a/2。

综上可知，|f（x）|≤a/2，即-a/2≤f（x）≤a/2，因为f（x）的值域为g（x）值域的子集，所以有[-a/2，a/2]⊂［-1，1］，则所求实数a的取值范围为［-2，2］。

解题方法2：运用导数知识。

f′（x）=a（1-x2）/（x2+1）2，然后就a＞0，a=0，a＜0三种情况对函数的最值展开研究，并利用f（x）与g（x）值域之间的关系求得实数a的取值范围。

这两种思路相对于这样一道中等水平的填空题来说较费笔墨。观察函数f（x）解析式的结构特点并联想基本不等式a2+b2≥2ab（a，b∈R）的加强形式a2+b2≥2|a||b|（a，b∈R），可以这样求解函数f（x）的值域：

若a=0或x=0，则f（x）=0，符合题意；

当a≠0且x≠0时，|f（x）|=|a|·1/（|x|+1/|x|）≤|a|/2。

综上可知，|f（x）|≤|a/2|。以下同上。

教师可以引导学生思考是否还有更简单的思路。再次审题时可以看出，f（x）=ax/（x2+1）=a·x/（x2+1），因为，则|（f x）|≤|a/2|。

总而言之，作为高中数学教师，应当在教学中重视学生的高阶思维培养。要根据典型案例题目，让学生形成良好的解题思路和解题习惯，让学生用严谨的态度举一反三，真正提高数学学习的有效性。