走出例题教学的集体无意识

江苏灌云经济开发区实验学校（222000） 刘晓月

例题教学是数学知识传授的必经之路，也是学生间接掌握知识的一种手段，例题教学出彩，配套练习给力，学生掌握的知识就牢固。学生在做习题的过程中将习题和例题进行对比辨析，不断磨炼、加深印象、夯实根基，领悟基本数学思想，形成基本数学解题技能。

令人忧虑的是，部分教师在设计例题教学时，并不能每节课都将例题中蕴含的数学精华传达到位，也并不能每节课都充分利用例题所蕴含的数学知识和教育功能。有些例题的教学就是随波逐流，成了集体无意识，甚至有时为了省事省心，干脆以做完题为目标……长此以往，例题教学成了数学教学的一个薄弱点。

苏教版教材四年级下册“倍数和因数”的新授内容包含三道例题：例1 是通过用正方形摆成长方形提出倍数和因数的概念，例2 是探究倍数及其数学特征，例3 是探究因数及其数学特征。本文仅以例题1的教学为例进行论述。

一、第一次试教

师：你能用12 个同样大的正方形拼成一个长方形吗？每排摆几个正方形？一共摆几排？尝试用乘法算式把你的摆法表示出来，并在小组里交流。

（学生先独立摆12 个同样大的正方形，并将不同摆法用乘法算式表示出来，然后在小组里交流，最后集体展示）

生1：我的第一种摆法是摆成1 排，共摆12 个，用算式表示是1×12=12。第二种摆法是摆成2 排，每排摆6个，用算式表示是2×6=12。第三种摆法是摆3排，每排摆4个，用算式表示是3×4=12。

师：还有其他摆法吗？

生2：还可以摆成4排，每排摆3个，用算式表示是4×3=12。

生3：还可以摆成12 排，每排摆1 个，用算式表示是12×1=12。

师：还有吗？

生4：我觉得还能摆成6排，每排摆2个，用算式表示是6×2=12。

师：大家真聪明，一共想出6 种不同的摆法。看了这些图形（电子屏幕展示6 种摆法对应的图形，略），你有没有感到一丝不对劲？

（学生交流探讨，发现所谓的6 种摆法中，有3种摆法得到的图形是相同的，它们只是呈现和放置的角度不同，实际上只有3 种摆法。笔者顺应形势，马上以“4×3”的2 个重样图形为例，揭示倍数和因数之间的关系，学生根据笔者的示范尝试解读其他重样的图形）

以上教学中，笔者对例题的教学拘泥于教材，完全照搬教材呈现例题。这样教学好处在于使学生描述摆法的语言准确严谨，做到全员参与、完整经历操作，并用算式表示自己摆的图形，再通过组内交流互相学习。不足之处是，学生汇报展示时，教师为了突出不同的摆法，执着于引导学生找出6种摆法，然后才发现其中有重样的，进而总结出实际只有3 种摆法，过程拖泥带水。最后虽然得到了6 个乘法算式，但教学重心偏移到不同的摆法上，而没有关注到算式的异同，导致后面要花费大量不必要的时间去补救。

这说明笔者对学生起点的把握失准，导致学生的知识迁移不彻底。学生在三年级学习周长与面积时已经对用正方形拼其他图形很熟练了，因此教学例1 时，可以让学生直接根据想象列算式表示摆法。综合来看，设计用正方形拼长方形的操作环节的用意在于引出三个乘法算式，再从中挑选一个用于诠释倍数和因数的概念，重点并不在于拼长方形的方法。

细细分析不难发现，这种教法有些主次不分。本课的重点是教学倍数和因数的概念，那么前面过多教学拼摆图形，让学生把6 种摆法一一列出来，然后发现重样的，这就显得多余了。这一操作的本质体现在算式上，就是1×12=12×1，2×6=6×2，3×4=4×3。这有点类似乘法交换律——交换两个因数的位置，积不变。对应到几何里，就是转换摆放角度得到的2 种摆法其实对应着同一种图形。而笔者最后提出倍数和因数的概念则有些突兀，也不合时宜。要使拼长方形与倍数和因数深度融合，教学就要深入倍数和因数的概念本质。倍数和因数是在正整数范围内讨论的，用正方形摆长方形的目的就是让正方形的排数和列数（每排个数）都为整数，且每排个数相等、每列个数相等。排数一定，每排个数就一定；每排个数一定，排数就一定。排数和每排个数都为整数。此时，正方形总数是恒定不变的，那么排数和列数就是总数的因数，总数就是排数和列数的倍数。

二、第二次试教

师：你们已经四年级了，能用1、2、3、4这4个数字即兴编写几道乘法算式吗？

生1：1×4=4，2×4=8，3×4=12。

师：其实这几道乘法算式里隐含着一种数学关系，到底是什么关系这么神秘呢？我们今天就来探秘。就拿3×4=12 来说，它在数学上还有另一种说法，即 12 是 3 的倍数，也是 4 的倍数，3 是 12 的因数，4 也是 12 的因数。总的来说，3 和 4 都是 12 的因数。

师：谁能按我刚才说的样子试着描述其他两个算式中的数的关系？

吸取第一次试教的经验教训，笔者这一次的教学比较直白，直抵教学目的。为了不在多种摆法上浪费时间，以及避免操作环节的“华而不实”，笔者此次试教弃用例1，单刀直入，引导学生即兴编写三道乘法算式，然后通过学生编写的算式揭示倍数和因数的概念，节奏快，为后面寻找倍数和因数腾出时间，但学生的体验感被剥夺，对数学概念的抽象过程缺乏参与感。

试想，如果弃用一道例题对教学毫无影响，那么教材为何要编排这道例题呢？例题是不是还有其他深意？笔者终于在《教师教学用书》中找到答案，书中指出，介绍倍数和因数时，要结合具体乘法算式，使学生明白倍数和因数是相互依存的。那么，教材为何不惜降维使用初级的用正方形拼长方形的例子呢？《教师教学用书》也给出了答案，即指引学生将摆法用算式表示出来，并反馈探讨。这样的操作经历既为归纳提炼倍数和因数的概念提供直观表征，又使学生切实体验到倍数和因数的相互依存关系，为揭示概念内涵做好铺垫。可见，曲解编者意图，武断地弃用例题，而直接用乘法算式导入虽然省时，但是形象直观的表象支架被无情拆除，会导致学生无法体验知识的形成过程。

第二试教的教法显然走向另一个极端，轻率弃用例1，直接让学生组出乘法算式，然后指着乘法算式的各部分一个个命名，这其实只不过是一次意义不大的更名而已，将乘数更名为因数，积更名为倍数。这样粗暴的教学会让学生疑惑：难道这就是倍数和因数概念的由来？虽然笔者展示了几个相关的乘法算式，但是教学中并未充分挖掘算式的含义，也未能借机揭示倍数和因数的丰富内涵：同一个数可以是不同数的因数，也可以是不同数的倍数，如4的1倍数、2倍数、3倍数都是4的倍数，还分别是1、2、3 的倍数。倍数和因数的概念与积和（被）乘数的概念的本质区别在于，倍数和因数是在一个集合内的相对关系，而积和（被）乘数只是对一个乘法算式各部分的简单命名。

三、第三次试教

师：你会用12 个同样大的正方形拼出一个长方形吗？

生1：当然会！

师：比如每排摆4 个，连续摆3 排（电子屏幕展示图样，略），用算式表示是——

生2：4×3=12。

师：还可以换一个算式表示。

生3：3×4=12。

师：每排摆4 个，连续摆3 排，可以用算式 4×3=12 来表示，也可以用算式3×4=12 来表示。我们选定4×3=12好吗？

生4：好！

师：4×3=12 这个算式也能表示这种图形（电子屏幕展示图形，略），这种图形其实就是每排摆3个，连续摆4排。对比两种图形，你能发现什么吗？

生5：这两种摆法得到的图形其实是一样的，只是一个是横着放置，另一个是竖着放置。

师：对！通过旋转或者移位（动态演示），我们可以发现两种图形其实并无区别。

师：用12 个同样大的正方形摆长方形，还有哪些不同的摆法？每排摆几个，摆几排？先想象一下，再把各种摆法用算式表示出来，独立完成后，组内交流，最后展示汇报。

师：刚才通过摆出的不同图形，我们提炼出三道乘法算式，这些乘法算式大有乾坤。以算式4×3=12 为例，其中各数还有另一重身份——12 是4 和3的倍数，4 和3 是12 的因数。我们今天就来研究倍数和因数。

《教师教学用书》指出教材没有直言倍数和因数的概念，只是结合具体的算式对算式各数据进行身份认定，一是为了降低理解难度，二是为后面完善认知留有余地。这次试教笔者摸透了编者用意，借助数形结合既可以降低难度又能丰富体验，而例题中的摆拼操作意在转化成“乘法算式”，而非“不同摆法”。“还有哪些不同的摆法？每排摆几个，摆几排？先想象一下，再把各种摆法用算式表示出来”的设计，将前期的操作经历作为想象的台基，避免了重复机械操作，学生直接想象摆法，然后列式，空间观念得到发展，这才找到了例1的精髓。

这次教学可谓是对前两次试教的高度融合，取长补短，例1 的真正作用被充分发挥出来，收放自如、张弛有度，不该开放的地方坚决不开放。笔者严格把关，没有让学生陷入循环往复的摆长方形活动中，这就避免了一股脑儿列出许多乘法算式，从而杜绝了后面交换乘数位置带来的误解。笔者只是单独演示一种摆法（3排4列），让学生列出算式：4×3=12，同时让学生直接用算式语言换种说法，其实就是换种算式，这时让乘法交换律直接上场，就不会喧宾夺主，也不会岔开话题，主线仍很清晰。再就是通过图形直观启示学生：3×4 和 4×3 其实只是摆放方向不同，对应的图形是一样的。然后迁移类推，让学生写出另外两对算式，大大缩短了学生寻找重样摆法的周期。最后继续以3×4 和4×3 为例，概括出倍数和因数的概念。整个教学过程紧凑有力。

在语言表达中提高数学素养。“每排摆4 个，连续摆3 排，可以用算式4×3=12 来表示，也可以用算式 3×4=12 来表示，我们选定 4×3=12 好吗？”，这样表述有效地将两个算式统一起来。“对！通过旋转或者移位（动态演示），我们可以发现两种图形其实并无区别，是一样的。”三言两语将两种摆法归并，避免了混乱，形成合力直击倍数和因数的概念内涵。笔者带头示范，形成数学语言表达的范式，用精练的语言统一了摆法上的分歧，避免了节外生枝。

四、对比启示

设计教学方案时，教师不能武断地根据个人喜好和经验主义来取舍例题。教材例题毕竟是编者经过审慎考虑编排的，其编排都有一定的道理。虽不提倡“唯教材论”，但如果因为更换例题而使教学效果大打折扣，那就得不偿失了。教师应该对教材前后联系通盘考虑。《教师教学用书》至少从四个细节来说明例题的用途，第一是单元教学建议，第二是课时教材说明，第三是课时教学建议，第四是注释。教师在设计教学后，应该一一对照核查，看有没有逐条落实到位。另外，教材所提供的语言范式、书写格式、数学思维方式也是教师必须抓细、抓实的，这些都是教材的养分。

每一课时、每一板块的教学目标都是分层架设的，该如何贯彻落实呢？教师首先要找准每个环节的核心问题，再围绕核心问题展开教学。在处理核心问题时，教师要做到高瞻远瞩，同时要俯下身子体察学情，悉心指导学生，然后放手让学生自主探究，让学生有自我修正的机会。

对于某一课时的教学，教师不能只见树木不见森林，而应该把眼光放长远，从整个教材体系着眼布局。就本课而言，对学生来说，由乘法算式引入倍数和因数的概念，非常实用，学生以后寻找倍数和因数就可以利用乘法口诀（因式分解）成对地缩小范围查找。往前追溯，这是三年级的拼图经历、二年级倍数的认识；往后眺望，这是五年级的公因数和公倍数问题。有意思的是，公因数和公倍数概念的渗透也是以拼图活动作为表象支撑。这种数形结合的方式贯穿于整个苏教版教材。