城市轨道交通小交路计划与客流控制协同优化策略

贾斌，朱凌a,，李树凯，刘家林

(北京交通大学，a.轨道交通控制与安全国家重点实验室；b.交通系统科学与工程研究院，北京100044)

0 引言

随着城市规模不断扩张和人口高度集中，城市轨道交通系统面临着大客流持续冲击。在高峰时期，由于客流具有空间不均衡特性，部分热点车站客流过度拥挤，客流需求与运力资源不平衡之间的矛盾十分突出。缓解大客流组织压力，维持良好的运营秩序，保证城市轨道交通系统安全、高效运输，是亟待解决的重要难题。

在现行管理和控制策略中，管理部门通常在热点区域开行小交路列车来缩短运行时间，加速列车周转，以应对大客流需求；同时，在部分高需求站点采取客流控制策略，以保证站内乘客安全，提高服务水平。在开行大小交路计划研究方面，Cance等[1]考虑突发的客流需求扰动，采用小交路开行方案来减少乘客的等待时间，构建了均衡列车满载率的开行方案优化模型。Li等[2]结合小交路计划和动态发车间隔以均衡列车的满载率，提出了最小化乘客出行成本和企业运营成本的时刻表优化模型。许得杰等[3]采用多编组大小交路计划来平衡乘客成本和企业运营成本。在客流控制研究方面，Liu等[4]构建了确定的乘客到达率下的平衡滞留乘客数、客流控制人数以及列车周转率的客流控制策略和列车周转计划协同优化模型。Meng 等[5]基于已有的列车时刻表建立时空网络，采用客流控制策略优化乘客的出发时间，从而减少乘客的总等待时间。陈维亚等[6]以优化乘客出行效率、企业运营效益以及乘车公平性为目标，得到最优开行计划和进站人数，并指出联合优化开行方案以及客流控制策略能够更合理地分配运能并调节客流需求，减少企业的运营成本，提高乘客出行的公平性。然而，该研究中大小交路开行比例为固定值，优化出的列车发车间隔为均质发车间隔，实际上，动态发车间隔能更好地匹配客流需求。本文考虑动态发车间隔，对该研究的联合优化做了进一步的延伸。

上述关于列车时刻表优化的研究均在确定性客流需求背景下对开行方案以及客流控制策略进行优化。而在实际城市轨道交通系统中，乘客随机到达车站，考虑乘客的随机需求可以提高优化列车时刻表的灵活性[7]。近年来，一些研究集中在考虑随机性的客流需求的时刻表优化问题上。Shakibayifar等[8]基于随机的乘客到达率，构建了两阶段随机规划模型对列车时刻表进行优化，以减少乘客的期望等待时间。Ying等[9]构建了基于随机需求曲线的双向列车时刻表优化模型，以减少乘客等待时间和运营成本。毕明凯等[10]构建了考虑OD客流随机机会约束的市郊铁路停站优化模型，以减少乘客出行成本。在城市轨道系统中，乘客需求在时间上存在随机性，车站乘客到达率的随机变化可能导致列车时刻表不稳定[11]。若以固定乘客需求为输入，得到最优时刻表，意味着该时刻表忽略了实际运营中发生的每日乘客变化。因此，本文考虑多随机场景以刻画乘客到达率的不确定性，结合大小交路开行计划、客流控制策略以及动态发车间隔对列车时刻表进行协同优化，并设计了一种基于机会约束的随机场景优化算法来处理乘客到达率的不确定性，从而平衡滞留乘客数、客流控制人数、列车资源利用率衡量值以及列车运行时间，旨在充分利用列车资源，并减少站内乘客聚集，保证列车运营效率和安全。

1 问题描述与建模

1.1 问题描述

本文研究的是具有N′个车站的单向行驶的城市轨道线路，同时考虑大小交路开行计划和车站限流策略对列车时刻表进行优化，如图1所示。车站编号为1～N′，为列车运行方向，其中，大交路服务列车从1 运行至车站N′，小交路服务列车仅在车站a和车站b之间运行。为保证列车的运营安全，在高峰时刻，车站采用客流管控策略，限制进站的乘客数。本文的列车时刻表优化问题是优化列车的发车间隔，以更好地匹配乘客需求，当乘客需求高时，则减少发车间隔以提高运力；客流控制策略优化问题确定某列车服务下各车站的限制在站台外的人数，以减少站台聚集乘客数；小交路开行方案优化问题决定哪辆列车运行小交路服务，在满足乘客需求的同时减少企业的运营成本；对这三者进行协同优化，以达到乘客成本和企业运营成本之间较好的均衡。

图1 大小交路计划与限流策略协同优化示意图Fig.1 Demonstration of collaborative optimization of short-turning strategy and passenger flow control strategy

根据城市轨道列车的实际运营特征，本文提出如下假设：

(1)假设进站乘客数量服从正态分布，乘客仅选择直达目的车站的路径，即不存在大交路服务列车与小交路服务列车之间的换乘。

(2)假设大交路服务列车与小交路服务列车的车型与编组数相同，即乘客容量限制一致，且站间运行时间和列车停站时间为常量。

(3)为保证一定的服务水平和乘客满意度，假设2 辆大交路服务列车之间连续的小交路服务列车数量不超过2辆。

(4)假设到达车站的乘客数与该车站的乘客到达率成正比，在该车站的下车乘客数与到达该站时的车内乘客数成比例。

1.2 列车运行时间约束

列车运行图由列车到发时间、停站时间以及站间运行时间组成。列车离站时间为

且相邻列车的发车时间间隔应满足最小的发车间隔与最大发车间隔要求，即

式中：N为车站集合；K为列车集合；Ti,k为列车k离开车站i的时间；ri-1为列车在车站i-1 至车站i的站间运行时间；si,k为列车k在车站i的停站时间；hmin，hmax为列车最小发车间隔和最大发车间隔。

由于小交路服务列车仅在车站a和车站b之间运行，本文引入虚拟发车时刻，将列车运行时间延展到车站1 至车站N′，如图2 虚线所示，可将决策变量的数目减少至T1,k,k∈K。

图2 虚拟发车时刻示意图Fig.2 Demonstration of virtual departure time

1.3 乘客与大小交路约束

根据假设(4)，到达车站的乘客数与该车站的乘客到达率成正比，则相邻列车之间的到达乘客数可表示为

式中：Ai,k为在列车k-1 与列车k在车站i的发车

间隔内到达车站i的乘客数；为车站i的乘客到达率，为不确定变量。

乘客登车需求由进站乘客数以及滞留乘客数组成，本文考虑车站限流策略，则进站乘客人数为到达乘客人数与车站限流人数之差，其为非负数。而某一列车发车后滞留在站台的乘客数可由该列车发车前的登车需求和实际登上该列车的乘客数计算得到，上述可表示为

式中：Di,k为列车k到达车站i时的乘客登车需求。Ci,k为[0,Cmax]之间的整数型决策变量，表示列车k到达车站i时该车站的限流乘客数，Cmax为最大限流人数，当Ci,k=0 时，表明列车k到达车站i时，在该车站未采取限流措施；当Ci,k为某一个具体数值时，表明列车k到达车站i时，该车站采取了限流措施，并且限流人数为该具体数值。Wi,k为列车k离开车站i后滞留在站台的乘客数。Bi,k为列车k离开车站i时成功登车的乘客数，由登车需求以及列车容量决定。由于虚拟发车时刻的引入，在小交路区域外的车站，实际无小交路服务列车停留，即列车虚拟发时无乘客登车。实际登车人数可表示为

式中：Qmax为列车的最大容量；Li,k为列车k在车站i的下车人数；Pi-1,k为列车k离开车站i-1 时的车内人数，则Qmax+Li,k-Pi-1,k为列车k到达车站i时的剩余容量；φi,k为0-1变量，表示列车是否在车站停留，若列车k在车站i停留为1，反之为0。

车内乘客数与乘客上下车活动相关，本文假设下车乘客数与车内乘客数成比例。令μi,k,f为大交路服务列车k在车站i的下车率，μi,k,s为小交路服务列车k在车站i的下车率，f为大交路服务列车标识，s为小交路服务列车标识，则车内乘客数和下车乘客数可表示为

式中：γk为列车k运行的服务类型。若列车k运行小交路服务，γk=1；若列车k运行大交路服务，γk=0。

小交路服务能够减少列车的运营时间，从而降低企业的运营成本。然而，小交路服务列车的增多会导致在小交路区域外的乘客的候车时间增加，为保证乘客的满意水平，根据假设(3)，在2 辆大交路服务列车之间连续的小交路服务列车不能超过2辆，即

式中：Nmax为2辆大交路服务列车之间连续的小交路服务列车的最大数量。

大交路服务列车可服务全线所有车站，小交路服务列车只能服务部分车站，引入0-1变量σi,a,b表示车站i是否在小交路区域内，令σi,a,b=1表示车站i在小交路区域内，否则，其为0。当列车运行小交路服务时，在小交路区域外的车站不能被服务，即γk=1,σi,a,b=0 ⇒φi,k=1，其余情况，车站都能被列车服务，可表示为

式中：M为一个足够大的数。由于乘客在小交路服务区域的终点站也无法登上小交路列车，故令，则根据式(7)和式(11)可得到。

1.4 目标函数

本文从乘客角度和企业运营角度出发，对城市轨道列车时刻表进行优化。乘客角度主要考虑滞留乘客数最小化以及限流人数最小化，企业运营角度考虑列车利用率最大化以及运行时间最小化。

(1)滞留乘客数最小化

根据乘客动力学方程可知，乘客滞留人数由两部分组成：由于列车容量限制无法登车的乘客以及在小交路服务区域外无法登上小交路服务列车的乘客。本文仅考虑最小化由于容量限制无法登车的乘客，表示为

式中：Wi,k,c为在车站i由于列车容量限制无法登上列车k的乘客数量。

(2)限流人数最小化

在一些高客流需求车站，城市轨道运营公司常采用客流控制策略来保证运营安全。本文以最小化车站的限流人数为目标来提升乘客的满意度，表示为

(3)列车资源利用率衡量值最大化

减少列车发车间隔可以服务更多的乘客，但需要城市轨道运营企业发送更多的列车。适当增大列车的发车间隔，可以使得相同车底数量下，车队服务一个车站的时段长度更长，从而减少运营企业发送列车的数量，提高列车资源的利用率，以此减少企业的运营成本。因此控制列车之间的发车间隔为

作为列车资源利用率的衡量值，其值越小，代表列车利用率越高。

(4)列车运行时间最小化

减少列车的运行时间可以减少人力成本，大交路服务列车的运行时间为TN′,k-T1,k，小交路服务列车的运行时间为Tb,k-Ta,k，则最小化列车运行时间可表示为

本文旨在最小化乘客成本和企业运营成本，上述目标函数可表示为

式中：ω1,ω2,ω3,ω4为各目标的权重系数，分别为各目标的标准化系数。目标函数中第1 项目标和第2 项目标旨在减少站台聚集的乘客数量，其中，第1 项目标将直接影响列车的发车间隔，当乘客需求高时，减少发车间隔以增加列车服务来服务更多乘客；当运力资源达到上限时，第2 项目标通过控制进站人数来进一步减少站台聚集人数，其也间接地减少了列车的发车间隔。但发车间隔的减少将带来企业运营成本的增加，若一味地减少发车间隔，以最小间隔发车，那么相同车底数量下，整个车队服务车站的时段长度将减少，若想要达到一定的服务时长，则需要运营企业多发送列车，将显著增加运营企业的成本。故引入第3 项目标函数来控制一定车底数量下车队服务车站的时段长度。同时，企业运营成本包括车辆运行成本和人力成本，车辆运行成本多以列车走行公里数刻画，人力成本多以列车运行时间衡量，两者皆与大小交路的开行比例有关，因此，第4 项目标以减少列车的运行时间来优化大小交路的开行比例，进而优化企业的运营成本。

1.5 列车时刻表优化模型

综上所述，本文提出的城市轨道列车时刻表优化模型为

式(1)和式(2)为列车运行的更新公式，式(3)～式(9)为列车运行过程中客流演化的状态方程，式(10)和式(11)分别代表了小交路列车约束以及列车停站约束。由于本文采取了客流控制策略，为保证乘客一定的满意度，对车站最大限制进站人数不能超过Cmax。

2 求解算法

2.1 线性化方法

上述模型中第3项目标函数U3中为非线性项，不易求解，采用分段线性逼近的方法将函数线性化。将的可行域分成M0段，每一段的长度为。引入0-1 变量zi,k,m，若，令zi,k,m=1，否则，令其值为0。令yi,k,m表示在上的线性近似函数值，ai,k,m,bi,k,m分别为近似函数的斜率和截距。构造辅助变量πi,k，表示在可行区间上的线性近似值，则第3项目标函数可转化为

式(21)中仍然存在非线性项，采用以下线性方法将其转化为线性约束。令f表示连续变量，δ表示0-1 变量，z为辅助变量，表示为z=f δ。当δ=1 ⇒z=f，δ=0 ⇒z=0，则关系式z=f δ可等价为

式中：fmax，fmin分别表示f的最大值和最小值。

根据上述方法可将式(20)和式(21)转化为

式中：Yi,k,m为辅助变量，表示为Yi,k,m=yi,k,mzi,k,m；ymax，ymin分别为yi,k,m的最大值和最小值。

式(7)还包含min 函数，引入0-1 变量，将其线性化，式(7)和式(9)的线性转换为

式中：ui,k,1，ui,k,2为0-1 变量，用以线性化式(7)中的min 函数；Bi,k,l为辅助变量，表示为分别为Bi,k的最大值和最小值；Li,k,f，Li,k,s分别为大交路列车与小交路列车的下车乘客数；Lmax，Lmin分别为Li,k的最大值和最小值。

2.2 基于机会约束的随机场景优化算法

在上述优化模型中，各车站的乘客到达率具有不确定性，难以求解。本文通过考虑多种随机场景，引入了基于场景的机会约束，通过调整置信水平来处理随机参数的不确定性，并提高策略的鲁棒性。机会约束优化是一种随机规划方法，在随机约束概率不低于置信水平的情况下来优化目标函数的期望值，机会约束规划问题的一般形式[12]为

式中：x为决策变量；为随机参数。由于不包含随机参数，故其必须被满足。约束含有随机参数，在一定程度上不能被满足，故将其转化为机会约束，其中，为事件发生的概率，α0为置信水平。

本文提出的优化模型中式(3)的乘客到达率假定为随机参数，其转化为机会约束为。考虑不同乘客到达率的随机场景来提高上述模型的鲁棒性，令Θ为随机场景的集合，为随机场景θ的乘客到达率，式(27)和式(28)可以转化为

根据上述分析，式(18)和式(19)转化为

第1项目标函数为乘客滞留人数的期望值，经过上述方法的转化，式(34)和式(35)是一个混合整数线性规划模型，可用一些商业求解器(比如，Gurobi，CPLEX等)有效求解。

3 算例分析

3.1 参数设置

基于北京市某轨道线路进行数值仿真实验，该线路共有13个车站，其中车站1～9之间的区域为小交路服务区域，站间运行时间如表1所示，列车停站时间为30 s，最小发车间隔为120 s，最大发车间隔为360 s，列车容量为1600 人。本文假设各车站的乘客到达率服从正态分布，其中，为各车站到达率的均值与方差。本文考虑高峰时段的15 辆列车的运行图编制，根据客流需求，将车站分为高、中、低等级需求车站，假设相同等级的车站到达率的均值与方差相同，各车站等级与其特征参数如表2所示。由于到达率为连续变量，本文用[0.95μi,1.05μi)区间的概率来逼近各车站到达率发生的概率。根据到达率的分布，本文随机生成10 个到达率场景对模型进行验证，其中，置信水平α0设置为0.9，各子目标标准化参数分别设置为分别为大小交路列车的运行时间；各子目标的权重分别设置为1.0，0.8，1.2，0.8。

表1 站间运行时间Table 1 Running time among stations

表2 车站需求等级及其特征Table 2 Demand level and characteristics of stations

3.2 结果分析

本文设计了其他3种策略与本文的协同优化策略进行对比，分别是单独小交路策略，单独客流控制策略以及常规时刻表(无策略)。早高峰期间，北京市城市轨道列车发车间隔多为2～3 min，故将其他3种策略中列车的发车间隔设置成固定发车间隔160 s，与协同优化策略进行对比。采用MATLAB并调用Gurobi 对模型进行求解，求解4.5 h 得到最优解，优化策略的开行方案与各车站客流控制人数如图3所示，各策略的对比结果如表3所示。

图3 优化策略下开行方案与各车站客流控制人数Fig.3 Operation scheme and passenger flow control number at each station under optimization strategy

图3中圆点表示客流控制的人数，最大值为50人，最小值为1 人，没有圆点的时刻说明该时刻下未对该车站采取客流控制措施。从图3可知，优化策略的客流控制集中在小交路列车服务区域外的站点，其中，由于小交路列车不经过区域外车站，且区域外的车站都为中、高等级客流需求站点，于是到达乘客大量聚集在站点，为保证列车的运营安全，故优化策略在每辆小交路列车的虚拟到达时刻大部分采取了客流控制手段。

从表3可以看出，优化策略在总优化目标优于其他策略。小交路列车可以减少服务时间，优化策略开行了6 辆小交路列车，其列车运行时间最少；其次为单独小交路策略，该策略开行了4辆小交路列车。由表3所示，单独客流控制策略的期望滞留人数最少，其全开行大交路列车，且在关键站点进行了客流管控，故该策略的期望滞留人数最少，但同时也增加了列车的运营时间。单独小交路策略的期望乘客滞留人数最多，这是由于小交路区域内的客流需求未超过列车容量，造成小交路列车的运力浪费。而相较于单独客流控制策略，优化策略在期望滞留乘客数和客流控制人数方面都有增加，因其开行了4 趟小交路列车，部分运力被浪费，导致小交路区域外车站产生了大量滞留乘客，车站9～12又为中、高需求站点，故优化策略依然在小交路列车服务下对这些车站采取了限流措施以控制进站乘客数量，减少乘客聚集，如图3所示。常规策略尽管也都开行大交路列车，但由于在车站未进行客流控制，其期望滞留人数也相对较多。相较于常规策略，本文提出的优化策略尽管在列车资源利用率衡量值方面下降了6.7%，但期望滞留人数减少了81%，列车运行时间减少了11.89%，在乘客成本和企业运营成本之间达到了一个较好的均衡。由于优化策略采用动态发车间隔，面对高峰时期的客流需求，由图3可知，优化策略开行方案多为大、小发车间隔交替发车，导致相较于其他策略，优化策略的列车资源利用率衡量值最差。

表3 不同策略的对比结果Table 3 Comparison results of different strategies

在所有策略中，都选择了随机场景1的到达率作为仿真输入，将优化策略、单独小交路策略与单独客流控制策略在场景1 下的站台聚集人数进行比较，如图4所示，图中数值均标准化处理。

图4 场景1下各策略站台集聚人数比较Fig.4 Comparison of number of people gathered at each station with different strategies under scenario 1

从图4可以看出，在小交路区域内，3种策略的站台聚集人数相似，但在小交路区域外，站台聚集人数差别较明显。小交路策略在车站9～12的站台聚集人数远高于其他两种策略，由于该策略未进行客流管控，导致在站台拥挤的情况下，依然有大量乘客进站，造成乘客进一步聚集在站台，给站台造成了极大的安全隐患；且相较于优化策略，尽管优化策略比小交路策略多开行2趟小交路列车，但由于优化策略采取动态发车间隔，部分列车采用了最小发车间隔以应对高乘客需求，也说明了动态发车间隔能更好地匹配乘客需求。优化策略尽管进行了客流管控，但由于小交路列车的运力浪费，导致小交路列车后的大交路列车到达站台时的聚集乘客也多于单独客流控制策略下的站台聚集乘客数。结合表3 和图4 可知，客流控制策略在应对高峰时期客流需求上具有一定效果。综上所述，优化策略开行小交路列车牺牲了一部分乘客成本，但一定程度上节省了列车的运营成本，结合客流控制策略，可在乘客成本和企业运营成本之间达到一个均衡。

4 结论

本文考虑城市轨道交通客流的随机性，以最小化乘客成本和企业运营成本为目标，提出了大小交路开行计划、客流控制策略和列车时刻表协同优化模型。通过分段线性化方法和基于机会约束的随机场景优化算法，将本文提出的非线性不确定模型转化为易于求解的混合整数线性规划模型。采用13 个车站组成的单线场景进行数值计算，结果表明：

(1)开行小交路计划可在一定程度上减少列车的总运营时间，客流控制策略可以有效缓解高峰时期大客流压力，减少站台聚集人数，保证乘客安全和列车运营安全。相较于无管控策略的常规运营方案，协同开行小交路计划和客流控制策略不仅降低了系统总成本，而且使得乘客成本和企业运营成本之间达到更好的均衡。

(2)开行小交路计划虽然减少了列车的总运营时间，但开行小交路列车造成了部分运力的浪费，当开行多辆小交路服务列车，会造成小交路区域外的乘客大量聚集在站台，因此需合理设置小交路列车的开行数量。