基于四维超混沌系统的彩色图像加密算法

方鹏飞，黄陆光，娄苗苗，蒋 昆，吴成茂

(1.空军军医大学第一附属医院 信息科，陕西 西安 710032；2.西安理工大学 自动化与信息工程学院， 陕西 西安 710048；3.西安邮电大学 电子工程学院，陕西 西安 710061)

0 引 言

混沌系统由于具有初值敏感性、随机性等动力学性能，被广泛应用于图像加密算法中，常见的混沌图像加密算法利用混沌初始值及控制参数迭代产生密钥流，通过数学计算实现对明文图像的置乱与扩散，从而得到密文图像。魏连锁等[1]利用三维混沌系统生成密钥流，并利用矩阵乘法对彩色图像进行置乱与扩散操作实现彩色图像加密的算法，提高了算法的复杂性，但算法中的混沌密钥空间小，混沌性能较弱。严利民等[2]提出利用混沌映射产生密钥流结合流密码算法对图像进行加密，该算法密钥空间大，抗攻击性强，但由于流密码算法属于序列加密，因此算法加密效率低。杨耀森等[3]提出将混沌系统进行仿射变换后，生成密钥流，对明文图像分块后进行像素置乱与扩散运算，该算法具有较大的密钥空间和较好的安全性，但该算法的抗差分攻击性能较弱。田嘉琪等[4]提出三维超混沌产生密钥序列，对图像进行置乱和扩散，该算法具有良好的安全性和敏感性，但该算法构造复杂，加密效率低。秦智伟等[5]提出采用分数阶混沌对图像进行置乱运算，实现图像加密，该算法密钥空间大，但该算法对图像像素值进行置乱运算，因此算法安全性不高。

针对上述文献中混沌性能弱，密钥空间小，加密后的密文扩散性差等缺陷，本文提出一种基于四维超混沌系统的彩色图像加密算法，构造了一种混沌性能更好的新型四维超混沌系统，并与反向传播神经网络相结合生成随机性更好的融合随机加密密钥流，利用该密钥流序列对彩色明文图像块进行像素置乱与扩散运算得到最终的密文图像，通过实验分析得到本文所提的加密算法具有良好的安全性能及应用前景，同时为图像加密与人工神经网络的结合提供了一种思路。

1 新四维超混沌系统

1.1 新四维超混沌

自1979年超混沌系统被提出后受到极大的关注和发展，超混沌系统具有比离散混沌系统更复杂的动力学特性，更多的参数值及范围[6]，因此，超混沌系统在图像信息安全、机器学习及大数据分析等方面具有重要研究意义。

经典的Lorenz混沌系统如下所示

(1)

其中，当a=10,b=28及c=8/3， 系统(1)进入混沌状态，结合已有的经典Lorenz混沌系统等，本文提出一种新的四维超混沌系统，系统表达式如式(2)所示

(2)

其中，当a=24,b=25,c=3及d=0.5时，系统(2)处于混沌状态。假设系统(2)的初始值为 (1,1,1,1) 时，系统(2)的相图如图1所示。

图1 新四维混沌系统相

1.2 新混沌系统动力学分析

为了验证所提出的系统(2)的混沌动力学性能，对其进行对称性、耗散性、平衡点及稳定性，Lyapunov指数和维数，混沌系统复杂度测试[7]，并与文献[8-11]所提出的混沌系统进行比较分析。

1.2.1 对称性

系统(2)存在变换为S:(x,y,z,w)→(-x,-y,z,-w)， 因此在变换S的作用下，系统(2)具有不变性，系统(2)关于z轴对称。

1.2.2 耗散性

1.2.3 平衡点及稳定性

(3)

对于平衡点s1求得其特征根为λ1=-39.5601，λ2=14.5601，λ3=-3，λ4=1， 特征根不全为正或全为负，因此平衡点s1是不稳定的鞍点，可以形成混沌吸引子涡圈。

1.2.4 Lyapunov指数及维数

Lyapunov指数是混沌动力学系统中的重要统计指标之一，当混沌系统的Lyapunov指数具有两个或两个以上正值时，判断该系统为超混沌系统，结合以上分析，设新混沌系统(2)的初始值为 (1,1,1,1)， 迭代N次后的Lyapunov指数分别为：LE1=23.9678，LE2=0.9597，LE3=-2.9996，LE4=-48.9271，其中LE1=23.9678, LE2=0.9597为正数，所以系统(2)满足超混沌系统的定义要求，具有超混沌动力学性能，将系统(2)的超混沌系统与文献[8-11]中的超混沌系统进行Lyapunov指数及维数比较，见表1。

从表1可以看到，本文提出的新四维超混沌系统的两个正Lyapunov指数远大于文献[8-11]中所提到的超混沌系统，说明本文所提出的超混沌系统具有更加优良的混沌特性。

1.2.5 混沌系统复杂度

为了更好测试混沌系统生成序列的复杂度、随机性，本文使用近似熵分析混沌系统的复杂度和随机性，它用来衡量时间序列的不可预测性及波动性，近似熵值越大，说明序列复杂度越高，随机性越好，因此本文对系统(2)在相同条件下生成的混沌序列，计算混沌系统的近似熵，并与文献[8-11]进行比较见表2。

通过表2结果看到，本文所提的出的超混沌的特性良好，近似熵指数均优于文献[8-11]所提的混沌系统，因此，本文提出的超混沌的生成混沌序列，具有更好的随机性，适合用于加密算法中。

通过对系统(2)的混沌系统进行对称性、耗散性、平衡点和稳定性以及Lyapunov指数维数测试，以及混沌序列复杂度测试可以看到，系统(2)具有良好的混沌动力学性能及随机性，因此本文提出的新四维超混沌系统所产生的混沌序列适应密码学的基本要求，适合图像加密的安全要求，能够应用于保密通信技术中。

表1 Lyapunov指数及维数

表2 近似熵测试

2 反向传播神经网络与超混沌系统相结合的伪随机序列生成

图2 神经网络结构

表3 近似熵测试

从表3可以看到，新的四维超混沌与反向传播神经网络相结合，生成的序列的随机性优于超混沌直接生成的混沌序列值，说明反向传播生成序列具有更好的随机性、复杂性及安全性，适合信息安全加密的应用需求。

3 加密算法

针对彩色图像数据量大，同时三通道像素相关性强，而普通图像加密算法与明文关联度不够，容易被攻击者采用选择明文攻击进行破解，同时密文图像难以抵抗选择差分攻击等缺陷，本文提出一种基于图像像素置乱-扩散机制的彩色图像加密算法，将待加密明文用于计算混沌初始值，并迭代混沌系统生成混沌序列，利用Logistic混沌生成权重值，经过反向传播神经网络生成随机序列，并进行融合算法，作为加密的最终密钥流，对明文图像像素进行置乱与扩散运算，得到最终的密文图像，算法整体加解密流程如图3所示。

图3 加密流程

这里设明文彩色图像三通道的尺寸均为:M×N， 三通道像素矩阵分别为RM×N，GM×N，BM×N，具体加密过程如下步骤所示：

步骤1 分别计算三通道图像像素值求和，如下式所示

sumR=sum(RM×N)sumG=sum(GM×N)sumB=sum(BM×N)

(4)

其中，sum(·) 是求和运算。

步骤2 为了增加明文与密钥之间的相关性，提高加密算法的抗攻击能力，本文利用明文图像三通道的像素值来计算四维超混沌系统的初始值x(1),x(2),x(3),x(4)， 如下所示

x(1)=sumR/2564x(2)=sumG/2564x(3)=sumB/2564x(4)=(sumR+sumG+sumB)/2564

(5)

步骤3 将x(1),x(2),x(3),x(4) 初始值代入到上述构造的新四维超混沌中，迭代生成混沌序列 {sez1},{sez2},{sez3},{sez4}， 同时将生成的混沌序列作为输入值送入三层反向传播神经网络，同时利用Logistic 混沌映射，初始值设置为0.1，混沌控制参数a=3.56，将Logistic 混沌迭代200次，生成的混沌序列作为反向传播神经网络的权值，对模型训练200次，生成新的随机序列值 {sey1},{sey2},{sey3},{sey4}， 并进行融合运算得到最终的融合随机序列密钥流 {y′1},{y′2},{y′3},{y′4}， 将融合序列升序排序，具体过程如下所示

(6)

其中，mod(·) 是取模运算，floor(·) 是取整运算，abs(·) 是取绝对值运算以及sort(·) 是排序运算。

(7)

步骤5 将置乱后的像素矩阵R′,G′及B′与混沌融合序列 {y′1},{y′2},{y′3},{y′4} 进行扩散运算，得到最终的密文，如下式所示

(8)

其中，G′0=mod((y′11+y′22),256)，B′0=mod((y′22+y′33),256)，R′0=mod((y′33+y′44),256)。

步骤6 将CR，CG，CB三通道合并得到最后的密文图像C， 加密完毕。

解密过程：本文解密过程是加密过程的逆过程，解密仍然使用加密密钥并生成解密密钥流用于解密，具体的解密步骤如下：

步骤1 仍然按照上述加密过程，获取解密密钥 {y′1},{y′2},{y′3},{y′4} 及置乱矩阵R′，G′及B′。

步骤2 按照扩散运算的逆过程，对密文图像进行逆扩散操作，得到置乱的三通道像素矩阵PCR，PCG及PCB

(9)

步骤3 将PCR,PCG及PCB按照像素位置，进行逆置乱操作，得到最终三通道明文矩阵：PR，PG，PB。

步骤4 将PR，PG，PB三通道合并得到最后明文图像P， 解密完毕。

4 实验结果

本文采用尺寸均为256×256的Lena、遥感图像、人物图像按照上述加密算法对明文彩色图像进行加密，实验平台为CPU:Intel Pentium G2030，内存为4 GB，操作系统为windows 7，编程环境为2018 matlab，加密后的实验结果如图4所示。

图4 实验结果

通过图4可以看到，利用本文提出的加密算法对明文图像加密后得到的密文图像可以看到，原明文图像中的信息被完全打乱，无法从密文图像中获取到明文信息。

5 加密算法安全性能分析

5.1 直方图分析

图像的像素分布常用直方图描述，图像直方图是指图像中包含某个灰度级的像素的数目，具有高安全性的图像加密算法的密文图像直方图应均匀分布，并且与明文图像直方图分布具有很大差异，利用本文所提加密算法对Lena彩色图像三通道进行加密，得到的密文图像直方图如图5所示。

图5 明文图像及密文图像直方图

从图5所示的直方图可以看到，本文所提加密算法得到的密文图像的直方图分布均匀，因此说明本文所提加密算法能够抵抗穷举攻击。

5.2 密钥空间大小

为了保证加密算法的安全性，密钥空间必须足够大，才能够抵御穷举攻击。密钥空间必须大于2100才能保证加密算法的安全。本文中构造的加密算法密钥空间大小为：x(1),x(2),x(3),x(4),a,b,c,d， 算法计算精度为10-14，密钥空间可达到1014×1014×1014×1014×1014×1014×1014×1014≈2373≫2100， 因此说明本加密算法具有足够大的密钥空间，能够抵抗穷举攻击。

5.3 信息熵

信息熵是衡量信源随机性的重要参数，信息熵越大，密文图像安全性越好[14]，其计算公式为

(10)

其中，P(i)是信息源的第i个符号的概率，理想的图像信息熵应该等于8，这里选取Lena图像作为明文图像运用本文提出的算法进行加密得到密文图像，与文献[15,16]所提加密算法所得的密文图像进行比较，见表4。

从表4可以看到，本文提出加密算法得的密文图像三通道的信息熵都接近于理论值8，优于文献[14,15]加密算法所得的密文图像的信息熵，因此可以得出本文提出的加密算法具有良好的安全性。

5.4 相邻像素相关性

图像相邻像素之间的相关性大小，能够衡量加密算法

表4 信息熵

的安全性，加密后的密文图像相邻像素相关性应该越小越好。为了分析明文图像与密文图像相邻像素之间相关性，本文随机从明文与密文图像的水平、垂直及对角线任意选取2000对图像像素，进行相邻像素相关性测试，具体测试定义如下

(11)

其中，n是像素点的个数；E(x),E(y)分别为x,y的期望， cov(x,y) 是协方差，r是相关系数，加密效果越好，相邻像素相关性值越低，本文利用构造的加密算法与文献[15,16]所提出的加密算法，分别对Lena图像进行加密得到密文图像，同时对密文图像红色通道相邻像素相关性进行比较。通过本文所得的Lena明文及密文图像红色通道相邻像素相关性如图6所示，同时对彩色图像的红色通道进行相邻像素相关性数值对比见表5。

从图6及表5可以看到，本文构造的加密算法得到的密文图像在水平、垂直、对角线3个方向的相邻像素相关性数值总体上优于文献[15,16]所提出的加密算法，因此，本文构造的加密算法具有良好的安全性。

图6 相邻像素相关性

表5 相邻像素相关性

5.5 密钥敏感性

安全性好的加密算法应对密钥的细微变换有足够的敏感性，即密钥的值发生微调，也无法正确还原出原始明文图像信息，本文选择Lena图像，如图7所示，用原密钥对Lena密文图像进行解密，得到正确的明文图像如图7(a)所示，图7(b)是将四维超混沌初始值进行了微调后得到混沌密钥用于解密图像，通过观察可以看到，当四维超混沌的初始值微调后，得到的混沌密钥用于解密的图像与原明文图像完全不同，因此说明该算法具有良好的密钥敏感性。

图7 密钥敏感性测试

5.6 抗差分攻击能力分析

对运用加密算法加密后的图像即密文图像，采用像素变化率(number of pixels change rate，NPCR)及归一化像素值平均改变强度(unified average changing intensity，UACI)来衡量加密算法的抗攻击性能及抗差分攻击能力[16]。假设明文图像其加密图像为C1， 尺寸为M×N, 如果微调修改同一明文图像中某一个像素点的灰度值，但仍按同一加密算法对图像进行加密，得到的加密结果为C2， NPCR与UACI的具体计算如下式，NPCR理想值接近99.6094%，UACI理想值接近33.4635%

其中

(12)

加密后的密文图像NPCR和UACI值越大，说明该加密算法的抗差分攻击能力越强，安全性能越好。在本文中选择Lena明文图像加密后获取的密文图像为C1， 将Lena明文图像中红色通道第180行，第180列像素值为135，微调为134后进行加密获取的密文图像为C2， 同时与文献[15,16]的加密算法进行比较，结果见表6～表7。

表6 图像像素值变化率/%

表7 图像归一化像素值平均改变强度/%

从表6～表7可以看到，与文献[15,16]相比较，本文所提算法的值均接近理想值，因此本文的加密算法具有更好的安全性。同时为了更好验证本文所提加密算法的抗差分攻击能力，选取了三通道的全白和全黑图像，按照本文所提加密算法进行加密，其加密结果及直方图如图8所示。

图8 全白全黑图像加密结果

从图8中可以，本文所提加密算法能够实现对全白及全黑图像加密，因此更加说明所提加密算法能够抵抗差分攻击。

6 结束语

本文结合经典的超混沌系统，构造了一种密钥空间更大，混沌动力学性能更好的四维超混沌系统，并用其产生混沌序列，与反向传播神经网络相结合，进行序列融合运算生成复杂度更高的融合随机序列作为加密密钥流，同时将彩色明文图像计算得到混沌初始值，增强了明文与加密算法的关联性，提高了算法抗击选择明文攻击能力，对彩色明文图像采用置乱-扩散机制，对图像像素值进行加密，降低了彩色图像三通道相邻像素的相关性，增强了加密算法抗差分攻击能力，使得所提出的加密算法具有良好的安全性，能够适应保密通信等领域的应用要求。