保等价关系的完全变换半群的极大子半群

孟玲，许新斋

(1.青岛市园林林业技术学校 数学教研室，山东 青岛 266001；2.山东师范大学 数学系，山东 济南 250014)

极大子半群在半群理论的发展中扮演着重要的角色,多年来一直是研究的热点之一,金久林等[1]研究了有限全变换半群变种具有某种性质的极大子半群,而本文将对保等价关系的完全变换半群TE(X)的极大子半群进行刻画。本文未加说明的概念和符号请参见文献[2-4]。

本文假设X是含有n个元的有限集,TX表示集合X上的完全变换半群。E是X上的等价关系,X有m个E类,每个E类有k个元(以下假定m≥3，k≥3)。令TE(X)={α∈TX|∀(a,b)∈E,(aα,bα)∈E},则TE(X)是TX的一个子半群。

KE(n,r)={α∈TE(X)||imα|≤r}。

定义1[5]设E是集合X上的一个等价关系。Y,Z是集合X的子集,φ是从Y到Z的映射。如果对任意的y,y'∈Y,由(y,y')∈E,可以推出(yφ,y'φ)∈E,则称φ是保E关系的。如果(y,y')∈E当且仅当(yφ,y'φ)∈E,则称φ是保E*关系的。

故

如果对任意的E类Ai都有imα∩Ai=φ或 imα∩Ai=Ai,则不妨设imα∩A1=φ,由此一定存在三个E类B1,B2,C使得(B1∪B2)α⊆C。设θ是B1到A1的一一映射。 定义aχ1，bχ2如下:

由引理1、引理2及引理3,本文可以得到下面的结论。

推论1TE(X)Λ是TE(X)的极大子半群。

证明设α∈Λ,由Λ的定义可知,α恰好将X的两个E类M,M'一一映射到X的E类N中,且α|X(M∪M')是一一映射。这样α∉〈TE(X)Λ〉,因此TE(X)Λ是TE(X)的一个子半群。

取定β∈Λ,要证TE(X)Λ的极大性,只需证〈TE(X)Λ，β〉=TE(X)即可。对任意的γ∈Λ,由Λ的定义可知,一定存在X的三个E类A1,A2,A使得A1γ=A2γ=A,且恰存在X的E类C'使得Ximγ=C'。对于β,同样存在三个E类B1,B2,B,满足B1β=B2β=B,而且存在X中E类C满足Ximβ=C。在A与B间定义一个一一映射ψ,在X(A1∪A2)与X(B1∪B2)之间定义一个保序的一一映射φ,定义aρ1如下:

在C与C'之间定义一个一一映射θ。定义aρ2如下：

综上可知,TE(X)Λ是TE(X)的极大子半群。

由引理1及推论1,本文可以直接得到下面的结论。