浅谈概率论与随机过程课程中的课程思政教育

丁博

[摘           要]  概率论与随机过程是本科电子信息类专业的一门重要的基础课，该课程体系具有较深的理论性以及广泛的应用性，其内容还蕴含了深刻的思想性。因此，在教学中如何设计合理的思政教学，在使学生掌握专业知识的同时，传递课程所蕴含的思想内涵，进而提升学生的思想水平和综合素养，这是教师应着重思考的内容。结合实际的教学案例，为该课程与思政教育的有效结合做出一定的探索。

[关    键   词]  概率论与随机过程;课程思政;教学教法

[中图分类号]  G641                    [文献标志码]  A                  [文章编号]  2096-0603（2022）06-0115-03

一、引言

对于高校课程教学，“立德树人”已经不仅仅是思想政治理论课程的育人目标，而是各个学科应该把握的教育原理。2017年2月，中共中央、国务院公布了《关于加强和改进新形势下高校思想政治工作的意见》[1]，其中特别强调了“要把思想价值引领贯穿教育教学全过程和各环节”，“充分发掘和运用各学科蕴含的思想政治教育资源，健全高校课堂教学管理办法”。2020年5月，教育部印发《高等学校课程思政建设指导纲要》[2]，强调了课程思政在高校人才培养中的作用，明确指出开展课程思政建设的重要性和必要性。因此，促进思政与专业课的有效融合，以“課程思政”为契合点增强教学的育人功效，将思想政治教育的要素融入专业课的教学方案之中，最终实现专业教育、素质教育和思想政治教育相融合的教育理念，是值得每一位教师思考和探索的。

尤其应注意的是，在工科类专业中，学生所修的课程绝大多数是与工程科技相关的专业课，学生面对专业课教师的时间远远高于思政教师的时间，因而在工科专业学生的德育培养中，将课程思政与专业课教学有效融合显得更为重要。目前，已有一些相关的案例[3][4]，为专业课与课程思政相的有效融合提供了一些思路。

概率论与随机过程是电子信息类专业的一门重要的学科基础课[5]，是后续专业课程的先导课。其课程体系具有较深的理论性，其应用具有普遍性，其内容也蕴含了许多深刻的思想，既包含了公理化等科学哲学思想，也包含了一些朴素的辩证法，这些都可以很好地作为与思政教育相结合的切入点。本文，我们以概率论与随机过程这门课程为载体，通过寻找恰当的思政元素，优化教学设计过程，给出一些与课程思政相融合的路径。充分挖掘课程教学中思想内涵和思政元素，将知识传授、能力培养与价值渗透结合在一起，激发学生的学习兴趣，使学生在掌握专业知识、体会课程所蕴含思想内涵的同时，在潜移默化中接受思想教育，进而提升其综合素养。

二、课程思政教学实践

在充分挖掘课程所蕴含的深刻思想的基础上，结合学生的生活和学习实践经验，为课程思政的教学作出一些探索。目的是使学生在理解和掌握课程本身内容的同时，在潜移默化中提升自身的思想水平和综合素养。

（一）介绍历史脉络，体会科学思维的内涵

概率论课程中的许多概念和原理不仅仅是知识点本身，也包含了丰富的科学哲学思想。比如概率的定义中就蕴含了科学史和科学理论中重要的公理化思想。为了使学生真正了解定义的来历以及其所揭示的本质，在课程讲授中，可以这样按照如下流程来设计教学过程。

首先，从生活中常见的频率概念入手，利用抛硬币、掷骰子等具体实例，引导学生总结出频率的三条主要性质：非负性、规范性、可加性。

其次，通过对上述频率性质的总结，以及频率的稳定性，提炼出概率的公理化定义，来刻画随机事件发生可能性的大小。这样就从频率的性质自然地过渡到概率的定义，此时学生就可以容易接受这样的事实——概率也满足类似于频率的性质，即非负性、规范性、可加性，只是在数学表达形式上与频率的性质有所区别。在简要讲解概率的定义之后，自然地引导学生思考这个定义的提出过程。

再次，总结上述思考的过程，可以发现，概率的公理化定义是来自于频率的性质的，而频率的性质又来自于具体实例的归纳和总结。这就是认识论的过程，即从实践出发，总结规律，最后升华为理论，进而让学生明白这就是科学思维的过程。公理化体系就体现了科学思维的第一步，自从有了概率的公理化定义，概率论就成为一门独立的学科，概率的其他所有性质都可以从公理化定义推导得来。如果没有形成理论，规律就只能是经验的总结，哪怕再深刻，在指导实践方面也不会有太大的进展。

最后，结合背景知识，向学生介绍公理化的思想和历史，拓宽学生的知识面，培养科学思维。公理化简言之就是以基本原理为基础，由演绎推理推导出相应的结果。这种公理化思想是西方科学的一项重要思想，也是科学发现和发展的基石。其思想起源于2000年前的古希腊，由欧几里得在《几何原本》中提出。在这本书中，欧几里得由平面几何的五条公理出发，通过演绎推理得到一系列的几何结论。例如“三角形内角和为180°”“角的平分线上的点到角两边的距离相等”等令人信服的结论，都是由五条公理通过演绎推理得来的。此后，这样的思想便延续下来，对西方世界产生了重要影响，促进了自然科学的发展。17世纪，伟大的物理学家牛顿从中受到极大启发，其名著《自然哲学之数学原理》就效仿欧几里得的几何学，由三大定律出发，演绎推导出经典的力学体系。20世纪初，著名的科学家爱因斯坦也继承这一思想，他从光速不变原理和相对性原理出发，推导出了相对论的力学体系，轰动了整个世界。这就是公理化的历史脉络。当一门学科的公理化的体系建立之后，它又能成功地指导实践。科技革命的出现和发展，全都是由经验上升到理论、再由理论指导实践的结果，进而形成了巨大的生产力，推动了社会的进步。

利用这样的教学过程，可以很好地吸引学生的兴趣，既让学生掌握了抽象的概念，又让他们了解了学科背景，并在潜移默化中理解一些科学思维，进而提升他们的科学素养。

（二）结合生活实例，提升理性思考的能力

概率论的应用遍及许多领域，生活中也有许多应用的实例，我们可以通过一些常见的实例来设计教学案例，激发学生的兴趣。在学习数学“期望”这一节的内容时，可以先设计一个掷骰子游戏来引入课题。为什么选择掷骰子的例子呢？因为骰子是大家生活中比较常见的，而且这个例子也比较简单。

首先，介绍游戏的规则：同时掷三颗骰子，当出现三个骰子点数一样时，赢得20元，否则，输1元，问：若干局之后，此人是输是赢？在简要复习了概率的计算之后，学生很容易计算出三个骰子点数一样的概率，进而得知赢得20元的概率与输1元的概率，以此可以计算出期望的收益。这样，就从一个简单的实例引入了数学期望的基本概念和计算方法。

其次，在讲解数学期望的概念和计算之后，给出一些更实际的例子。比如生活中常常见到的中大奖的新闻报道，两元一注的彩票就能中几百万元甚至上千万元的大奖，这样的新闻和报道屡见不鲜，给人造成一种中大奖轻而易举的感觉。彩票站和网上还有许多购买彩票的预测图、走势图，让人眼花缭乱。于是许多人就想当然地以为，按照走势图购买彩票就能够中奖，就能给自己带来巨大的财富。然而往往事与愿违，越是抱有这样想法越是中不了大奖。此时就可以趁势向学生提问，为什么买彩票不能发家致富？

再次，接下来，通过一个具体的彩票来探讨这个问题。以双色球彩票为例，“双色球”每注投注号码由6个红色球号码和1个蓝色球号码组成。红色球号码从1～33中选择;蓝色球号码从1～16中选择。当购买的6个红色号码和1个蓝色号码与开奖号码全部相同时，就是一等奖;如果只有6个红色球号码与开奖号码一致，就是二等奖;如果是5个红色号码与1个蓝色号码与开奖号码一致，就是三等奖……。介绍完规则之后，学生就会发现，双色球实际上就是上一个例子的升级版。利用所学的概率知识计算可得，一等奖中奖概率为5.6×10-8，二等奖中奖概率为9×10-7，三等奖中奖概率为9.1×10-6。可以看出，哪怕是三等奖中奖的概率只有百万分之九，而一等奖的概率不到一亿分之六，因此中大奖的事件是非常小的小概率事件，而小概率事件是几乎不可能发生的。进一步再利用所学的数学期望公式，可以计算出买双色球彩票的期望收益大约为-0.8。因此买双色球彩票并不会发家致富，并且从长远看，买得越多，亏得越多。不光双色球，其他种类的彩票都是一样的道理。通过这样的介绍可以让学生理性地审视彩票问题，知晓买彩票不能发家致富的道理。

最后，结合思政元素，引导学生思考，虽然买彩票不能发家致富，为什么国家还要设立彩票站呢？可以告诉学生，其目的一方面是为了娱乐大众，一方面是为了社会公益，以此引导学生懂得娱乐和生活的关系。就如同现在开发的电脑游戏和手机游戏，其目的原本是为了娱乐身心，适可而止即可，但若因此沉迷其中，势必会导致学业荒废，甚至前途尽毁。利用这些与生活息息相关的例子向学生阐明要用理性来面对诱惑，娱乐要适可而止，而生活、学习却要脚踏实地。

通過这样的教学设计，激发了学生的好奇心，让学生在掌握知识的同时，学会用理性武装头脑。遇到生活、学习中的问题，在感性体悟之后，还可以理性地分析，洞察其本质。这样学生对娱乐、学业和生活也有了更清晰的认识，比单纯说教更有效果。

（三）理论联系实际，感悟概率中的哲学思想

概率论中蕴含了丰富的辩证思想，最突出的就是量变与质变，在教学中我们可以利用相关的课程内容，传递深刻的哲学思想，培养正确的价值观。

小概率事件是指发生概率很小的事件，它在一次试验中被认为不会发生，但是多次重复的小概率事件会出现什么情况呢？

首先来看一个例子：某人进行射击，每次的命中率为0.01，独立射击500次，令射中的次数为随机变量Y，显然Y服从二项分布，即Y～b（500，0.01），利用二项分布的概率计算公式，可以得到他至少能击中目标一次的概率为P（Y≥1）=0.993，非常接近于1。该例子说明一个事件尽管一次发生的概率很小，但只要试验的次数足够多，那么这个事件几乎是肯定要发生的。该例子从概率的角度说明了量变到质变的变化，某人从几乎击不中到后来命中的概率几乎为1，结果产生质的变化。

其次，通过这个例子及其背后的哲学思考，可以挖掘出一些思政元素。从正面看，它实际上告诉我们“水滴石穿”的道理，凡事要持之以恒，只要坚持总有收获。从反面看，它告诫我们不要小看小概率事件，要防微杜渐。古人有云“常在河边走，哪有不湿鞋”“勿以恶小而为之”，也都是这个道理。一次错误或一次受贿可能侥幸逃脱法律的制裁，但长此以往，必然会有接受惩罚的一天。

还有一些准确率问题，其背后也蕴含了深刻哲学思想。例如甲、乙、丙三种型号的导弹命中率都为0.8，如果甲、乙两种导弹同时发射，问击中目标的概率为多少？如果甲、乙、丙三者同时发射，其击中目标的概率又为多大？

通过简单的计算，可以得出甲、乙同时发射，击中目标的概率已提升至0.96;如果是甲、乙、丙三者同时发射，则击中目标的概率将达到0.992，几乎可以肯定能将目标摧毁。

因此三枚命中率只有0.8的导弹，其能力已比命中率为0.98的高精度导弹要强。这也就从概率上说明了谚语“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”的道理，也从侧面告诉我们集体的力量是强大的。每个人都是相互独立的个体，虽然个人的力量都很微小，但只要大家目标一致，齐心协力，一个集体就会爆发出惊人的力量。

通过这样令人信服的分析与解释，将概率论中蕴含的哲学思想和中国传统的智慧结合起来，既加深了学生对知识的理解，又增强了学生的认识能力。

三、结语

立德树人是我国教育之本，课程思政是立德育人的重要途径之一。概率论与随机过程作为电子信息类专业的一门重要的学科基础课，其内容有很强的理论性，也蕴含了深刻的思想。这些思想可以很好地作为与思政教育相结合的切入点。本文从多个案例分析课程思政的建设内容，分析和优化教学设计过程。在传授知识、培养能力的同时，在潜移默化中使学生价值观得到熏陶，进而实现“知识传授、能力培养与价值引领”相融合的教学目标，最终提高学生的综合素养，使其成为德才兼备的高素质人才。

参考文献：

[1]中共中央 国务院印发《关于加强和改进新形势下高校思想政治工作的意见》[EB/OL].（2017-02-27）.http：//www.gov.cn/xinwen/2017-02/27/content_51825 02.htm.

[2]教育部关于印发《高等学校课程思政建设指导纲要》的通知[EB/OL].（2020-06-01）.http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A08/s7056/202006/t20200603_462437.html.

[3]周小双，张玉坤.《概率论与数理统计》教学中融入课程思政的实践与探讨[J].德州学院学报，2021（37）.

[4]吴麟，黄爱武，季梅.概率论与数理统计中思政元素的探索[J].教育观察，2021（10）.

[5]孔告化，何铭，胡国雷.概率统计与随机过程[M].北京：人民邮电出版社，2012.

◎编辑 张 慧