基于浸入与不变原理的电力系统混沌振荡分析与控制

王定胜， 张宏立， 王 聪， 张绍华

(新疆大学 电气工程学院，乌鲁木齐 830047)

电力系统是一种典型的大规模复杂非线性动态系统，非线性、多变量、强耦合的特点，为其带来丰富的动力学行为，在一定条件下会产生突发性分岔、无规则混沌振荡等现象[1-4]。电网在运行过程中易受到参数改变、外部扰动、负荷变化等影响，大大限制了其运行过程中稳定安全域，如果不对其及时采取纠正措施，将会造成电网的转角失稳、电压崩溃、频率振荡等危害，严重时甚至造成大规模的停电事故，对电网产生不可逆的损坏，增加安全隐患[5]。因此，如何快速有效地抑制电力系统中的混沌振荡现象，提高系统的稳定域，保障电网的安全运行，成为行业内研究的热门课题。

近年来，关于电力系统混沌振荡的抑制问题被越来越多的重视，有关这方面的研究对此提出过许多新的控制方案。文献[6]在简单电力系统模型中采用状态负反馈方法，通过镇定系统的不稳定周期轨道，以达到抑制混沌振荡的目的。文献[7]采用延迟反馈控制法(delayed feedback control，DFC)对电力系统进行混沌控制，该方法在证明过程中需要确定复杂的反馈系数和延迟时间才能够保证系统的稳定。文献[8]论述了基于Washout-filter法通过改变电力系统的分岔点来维持系统稳定的可能性，一定程度上增加了系统的稳定运行域。滑模变结构控制凭借其控制响应迅速、不受参数影响，鲁棒性强等方面的优势，广泛应用在电力系统的分岔、混沌等问题的控制策略中。文献[9]利用反演思想设计的滑模变结构控制器，应用到二阶电力系统模型的混沌控制中，有效实现了该方法的稳定控制效果，但其对问题的描述过于片面。文献[10]通过增加等效快速终端的方法，对模糊滑模控制进行改进，来抑制电力系统中的混沌振荡现象，但是为了解决系统控制中因不可避免的抖振带来的影响，需要在控制信号端对其进行柔性化处理。文献[11]对具有两个不确定参数的互联电力系统混沌行为的研究中，设计了基于模糊理论的滑模控制器，一定程度改善了混沌互联电力系统的控制问题。除上述的研究外，现在还衍生出各种组合改进算法，如：有限时间无源自适应控制[12]、自适应全局滑模控制[13]、分布式神经网络自适应控制[14-15]。以上研究着重于电力系统二阶模型进行讨论，其形式过于简单，很难全面地展现电力系统详细的运行状态信息。

浸入与不变(immersion and invariance，Ⅰ&Ⅰ)原理由Astolfi等[16-18]提出，其思想是通过降维处理将控制系统“浸入”到一种低维流形中，通过控制率的设计，能够将其流形保持不变和吸引，从而保证整个系统的稳定。基于Ⅰ&Ⅰ原理引出的控制策略不仅能够快速处理非线性系统的控制问题，对系统中不确定项的自适应问题也能够实现精确跟踪，具有较强的鲁棒性。该方法的核心是根据设计指标确定一个低阶的动态系统，然后建立与被控系统之间的映射关系，使系统状态渐近地跟随低阶动态系统，这个过程可以视为使被控系统“浸入”低阶动态系统。这里的低阶动态系统和滑模控制算法中的滑动平面相似，两者的不同点在于Ⅰ&Ⅰ控制方法不强制要求系统状态运行到指定的滑动模态，只需要满足控制要求的渐近收敛条件即可，故不仅可大幅降低由滑模面快速切换引起的高频振动，还可实现母线电压动态平滑控制。

目前国内对于Ⅰ&Ⅰ原理的相关研究，大多是将其应用到气动弹性系统，无人飞行器等刚体机械系统中[19-21]。本文通过建模与分析，将Ⅰ&Ⅰ原理引入到四阶电力系统的混沌抑制过程中，对混沌电力系统的实施稳定控制。仿真试验结果表明，基于Ⅰ&Ⅰ原理设计的控制律和自适应律，能够对电力系统混沌振荡实现稳定控制，对系统外部不确定扰动实现精确辨识。

1 电力系统动力学分析

电力系统的组成，主要包括发电机、动态负荷、电网络三大模块，发电机是电网的输入端，其运行状态能够在电力系统稳定运行中发挥导向性作用，其稳定性表现在它的动态特性上。动态负荷模块反映的是负载端的功率消耗(包括有功功率和无功功率)随电压改变而快速变化的情况。电网络部分集中描述系统中各参数之间的相互关系。在电网实际中，常将实数部分有功功率Pi和虚数部分无功功率Qi分开来。常见的电力系统混沌振荡现象是由无功功率Qi的变化所引起，是系统稳定运行的重大隐患。本文采用经典双机三节点电力系统模型，系统模型的接线图如图1所示。E0为无穷大系统母线电压幅值；Y0为节点导纳。

图1 双机三节点电力系统模型Fig.1 Two machine three node power system model

根据电路原理，电力系统含不确定参数Qi非线性数学模型常规OED形式

(1)

式中：δ为功率角；ω为功率角速度；θ为负荷母线相角；V为节点电压；Q1为系统的无功负荷，不确定参数项。

通过对电压平衡曲线的研究，表明无功功率Q1的变化，可以改变电力系统的运行状态，引发电力系统产生丰富的动力学行为。

图2所示，在Q1=[10,11.5]内，系统运行状态在稳定和分岔间来回切换，只能保持小范围的稳定，当Q1变化到10.946 7时，系统发生第一次Hopf分岔，此时系统的最大Lyapunov指数为0.012，该点为亚临界Hopf分岔，表明系统已经由分岔引起失稳，若继续增大，则会发生第二次Hopf分岔和Fold分岔，且两点间隔仅为0.004 7，表明系统在此区间内非常敏感，进而可能发生混沌振荡现象。下面选取两个特例值，分析Q1对系统运行的具体影响。

图2 电压平衡曲线Fig.2 Voltage balance curve

当Q1=11.376 0时，系统电压初值在0.97左右，表现为增幅振荡，约经过10 s后，系统逐渐失稳，电压变为不可控状态，随后出现电压崩溃现象，电压曲线和相图如图3所示。

图3 Q1=11.376 0电压曲线和相图Fig.3 Voltage curve and phase diagram when Q1=11.376 0

当Q1=11.367 7时，系统运行状态发生本质上改变，进入混沌状态，表现为不规则振荡，系统彻底变为无序态，电压曲线和相图如图4所示。

图4 Q1=11.376 7时电压时序图和相图Fig.4 Voltage curve and phase diagram when Q1=11.376 7

2 基于Ⅰ&Ⅰ原理ABSMC设计

电压稳定是整个电网安全运行的关键。如何维持电压在运行过程中稳定输出，正是解决电力系统稳定运行的首要前提。滑模变结构控制是解决非线性系统控制问题的重要方法，其突出优点是当系统到达滑模面时，控制器能够实现其根据切换面做指定的滑动模态运动，而整个过程与原系统的结构及参数是无关的，因此滑模控制对被控对象表现出很好的鲁棒性。反演是一种较为成熟的控制器构造思想，其通过对原系统进行降价，取得低维的子系统，在此基础上，设定虚拟控制量，并通过选取Lyapunov函数，来保证系统的李雅普诺夫稳定性，再逆推控制律算法。这样先保证稳定性，再设计控制器的思想，确保整个系统一直处于稳定状态。利用Ⅰ&Ⅰ原理，可以对外部扰动进行估计时，更加地灵活有效，有别于一般的自适应算法，它是利用扰动的估计误差，使其渐进收敛来保证系统的稳定性，通过设计流形并保持其吸引与不变来实现。本文以误差估计为对象，建立不变流形，以控制目标估计误差能够收敛到0来设计合适的控制律和自适应律。

为提高控制方法的适应性，对式(1)的非线性数学模型增设外部扰动d，设计低维模型，表示为

(2)

式中：Δ=16.666 7sin(θ-δ+0.087 3)V-0.166 7ω+1.880 7；u为待设计的控制律。

根据反演法，设定功率角速度的预期控制目标为eδ，定义状态变量误差

e1=δ-eδ

(3)

(4)

(5)

此处，取虚拟控制量为

(6)

式中，系数k1>0，有

e2=ω-α

(7)

(8)

定义估计误差

(9)

(10)

由自适应反演滑模控制 (adaptive backstepping sliding mode control，ABSMC)方法，设计滑模面为

s1=e2+c1e1

(11)

式中，系数c1>0，则

(12)

(13)

设计控制律

[εtanh(s1/σ)+h1s1]

(14)

为消除滑模控制带来的抖振和控制不连续问题，在控制律的设计过程中加入连续的反正切函数-εtanh(s1/σ)-h1s1作为趋近律，以改善控制品质。

构造正定矩阵

(15)

定义误差流形

(16)

式中，β(δ,ω)为待设计补偿函数。

假定上述流形能够不变，则扩展电力系统模型，对照式(2)有

(17)

根据(17)中对b和β(δ,ω)的定义，有

e2=ω-α

(18)

(19)

同理，由ABSMC方法设计新的滑模面

s2=e2+c2e1

(20)

式中，系数c2>0，则

(21)

由式(21)得，新的控制律设计为

(22)

式中，系数k2>0，在控制律设计中加入调节系数σ，增强其控制能力。调节系数可以影响控制器的响应速度和超调量，具有更强的灵活性。

Ⅰ&Ⅰ原理要求，设计合适的扰动估计自适应律φ及额外补偿项β(δ,ω)，要能确保以上设计的流形保持不变和吸引，根据式(17)的定义，有

(23)

(24)

(25)

β(δ,ω)=γ2ω

(26)

s2{-b-ε2[tanh(s2/σ)+h2s2]-k2e1}-b2

(27)

为保证式(27)负定，这里需要令ε2>max|b|，有

(28)

综上，是基于Ⅰ & Ⅰ原理的ABSMC的设计和证明过程。

3 数值仿真

为验证本文所提方案的有效性，进行仿真试验。系统的初始条件设定以下(δ,ω,θ,V)=(0.3,0,0.2,0.97)，外部扰动取d=2cos(0.4πt)，c1=5，c2=1，k1=3，k2=1，ε=2，h2=3，γ2=100，σ=0.1。

取无功功率Q1=11.376 7，根据第1章的分析可知，在此参数下，电力系统会在Q1的作用下产生混沌振荡现象，可以很好地验证理论证明结果。设置仿真区间0～20 s时间，试验结果如图5～图11所示。

图5 Q1=11.376 7控制对比曲线Fig.5 Control comparison curve when Q1=11.376 7

图5变量响应曲线表示，通过对比是否加入控制器变化可以看出，系统自由演化发生无规则混沌振荡，在控制器的介入下，系统各参数变量实现快速收敛，达到稳定状态；从图6中各变量与电压关系相图可以看出，最终各变量δ，ω和θ都可以实现关于电压V稳定；在控制率的设计过程中，因为加入了反演控制的思想，如图7误差曲线所示，保证了所设计变量误差e1，e2最终都能收敛到0。

图6 δ，ω，θ分别与电压相图Fig.6 δ，ω，θ phase diagram with voltage respectively

图7 δ,ω变量误差曲线Fig.7 δ,ω variable error curve

图8展示了两种不同趋近律对输入控制信号的影响变化。对比得出，在本文所提出的控制方法中，以双曲正切函数作为趋近律，可有效改善控制率的输入品质，抑制了滑模控制抖振现象，从而使本文的控制策略具有较好的鲁棒性。

图8 不同趋近律的输入曲线Fig.8 Input curves of different reaching laws

由于不同控制器的参数会对系统产生不同的控制效果，σ作为控制器的调节系数，可以改善控制器的调节作用。图9给出了系统的电压V随参数σ变化的响应曲线，可以看出σ的不同取值，会影响到控制曲线的超调量和响应速度。在σ∈[0.1,10]内，随着σ的减小，可以降低控制曲线的超调量，并且在响应速度上有所提高。

图9 系统电压随调节系数变化曲线Fig.9 Variation curve of system voltage with regulation coefficient

基于Ⅰ&Ⅰ的ABSMC控制方法的突出优势是可以对系统的动态扰动进行实时的精确辨识，我们在系统运行在第20秒时加入控制器，表示前后的对比变化。从图10可以看出，在经过一次较大的超调后，扰动估计量最终能够实时拟合到给定真值。观测器的超调量与精度都和参数γ2有关。图11显示，随着γ2的增大，可以不断缩小拟合的误差，但其超调量却增加明显。本文提出的方法具有较好的动态跟踪性能和自适应能力，能够有效使电力系统运行在期望的状态。

图10 扰动估计误差曲线Fig.10 Disturbance estimation error curve

在图12中，给定相同的仿真初始条件，将本文所提方案与传统的反演控制(backstepping control，BSC)和ABSMC相比较。由于反演思想的引入，可以保证了BSC、ABSMC与Ⅰ&Ⅰ ABSMC三种方法均能实现电力系统稳定控制。与其他两种方法通过对比可以发现，在Ⅰ&Ⅰ ABSMC控制器作用下，大约在1.5 s处便可使状态变量收敛，系统达到稳定状态，大大缩短了系统的过渡时间，提高了系统的响应速度。

图11 扰动估计量观测曲线Fig.11 Observation curve of disturbance estimator

图12 控制效果对比曲线Fig.12 Control effect comparison curve

在工程实际中，电力系统并非只有混沌振荡这一种不稳定状态，还有可能发生电压崩溃的可能。根据前文的分析，当Q1=11.376 0时，即为电压崩溃。为此取相同的初始值和参数设置，进行如下仿真试验。

图13为变量响应曲线，展示了在电压崩溃下的控制效果。可以看出，大约在12 s左右，如果任由系统自由演化，将会发生电压崩溃；而在控制器的介入下，可及时纠正电压下降行为，改变系统运行，各参数变量实现快速收敛，达到稳定状态。

图13 Q1=11.376 0控制对比曲线Fig.13 Control comparison curve when Q1=11.376 0

为符合工程实际，在其10 s后施加控制器。如图14所示，在Q1=11.376 7时，观测器仍然可以对外部扰动实现精确辨识。虽然与混沌振荡不同的两种状态，但其最终的控制效果和辨识能力可以说明本文所提方案对电力系统的稳定控制具有普遍的适用性。

图14 Q1=11.376 0扰动估计量观测曲线Fig.14 Observation curve of disturbance estimator when Q1=11.376 0

4 结 论

本文将Ⅰ&Ⅰ原理应用到四阶电力系统中，在四阶电力系统的混沌振荡的数值分析中发掘两种不同的系统失稳状态。针对其无功负荷参数变化引起的系统不稳定的问题，同时考虑到电网实际运行中存在的外部干扰，对系统模型加入了不确定扰动项，利用Ⅰ&Ⅰ原理对不确定扰动进行估计预测，根据反演思想，设计ABSMC，确保了控制律设计的鲁棒性。控制器的整体设计过程中，结合了反演法与滑模控制两者的优势，既保证了整个设计过程中系统的稳定性，也提高了系统的响应速度和自适应性；并且在设计时增加控制率的调节系数，增加了控制律调节能力。通过对理论分析进行数值仿真试验，结果表明，本文所设计的控制律，能够对混沌电力系统的外部扰动实现准确的辨识，电力系统各状态变量快速达到收敛，系统运行的稳定性和响应速度得到提升。本文控制方案的提出为电力系统的混沌振荡控制提供了一种新可行性方案。