谈张量、李群和李代数的导出

梁铎强 刘芳远

【摘要】张量、李群和李代数，是代数中比较重要但也是很困难的概念。由于很基础，本文探索它们之间是如何导出的，以让初学者能够迅速入门。

【关键词】张量;李群;李代数

1 前言

张量、李群和李代数是非常神奇，看起来很复杂很深奥，在各种涉及空间的问题中总能遇到，不仅是现实空间，还有各种参数张成的状态空间，可能这才是现代几何中的特征量。之前所看的数学体系中这些内容也是很靠后的，虽然暂时没有实用化，了解一些也没有坏处。还有一个原因，是阿提亚在其现代数学展望中对这些东西给出了很高的评价[1]，一个是李群，一个是同调代数，他们都体现了联系性，这也是一个想法吧，想要将支离破碎的现代科学构建出一个整体的图景。

为了让初学者能够理解这些概念的基本意义，本文试图通俗解释它们，包括导出的目的和过程。

2 流形上的张量

1）分量型张量的元素是常数，而流型上张量的元素是函数，显然是一种拓展（从欧式空间到流形）;

2）为何要拓展？因为在量子力学中，存在不同的表象，当表象变换（比如动量表象到粒子数表象）时，再用常数显然已经不能满足要求;

3）分量型张量一般只能写出二阶张量，比如应力张量和动量张量，但量子力学的多粒子的巨希尔伯特空间是单粒子希尔伯特空间的直积，因此流行上，也要定义元向量空间、元函数，重线性函数，以及;

4）归纳起来，流形上的张量就是上的一个重线性函数称为上的一个型张量

5）和欧式空间的张量积类似，张量积运算服从分配律和结合律，空间的张量积的元素为;

3 李群和李代数是如何进入微分流形的？

1）Gauss发现，曲面的曲率实际上只依赖曲面的第一基本形式，这为将曲面丛欧式空间中抽象出来进行研究奠定了基础。此外，gauss-bonnet定理将几何量（曲率）和拓扑量联系在一起，从而启发我们用拓扑不变量（群）去研究几何问题。后来黎曼把老师的几何拓展到流形（和群的关系）。

2）向量场的积分曲线汇给出了此流形到其自身中的一个自然映射。如果λ是这些曲线的参数，则任意足够小的数Δλ定义了一个映射，它把每一点映成线汇中同一根曲线上参数再增加Δλ的那一点。这种映射称为沿该线汇的一个“拉曳”。有了拉曳的概念就使我们能沿着线汇定义导数。

3）李导数（Lie derivative）是一个以索甫斯·李命名的算子，作用在流形上的张量场，向量场或函数，将该张量沿着某个向量场的流（也就是積分曲线汇）做方向导数。

4）两个向量场的李导数就是它们的李括号。而李括号构成李代数，所以李导数诱导了李代数。

5）通过指数映射，可以在李群的李代数和李群自身之间建立关系。李代数的结构张量，则是李括号双线性特征的显式表现。逼迫人们也把李群拉近流形里面来。

6）设M是一个m维光滑流形，G是r维李群。若θ：M×G→M是光滑映射，记为θ（x，g）=x·g，使得对M中任意点x和G中任意元素g，h满足x·e=x，（x·g）·h=x·（g·h），则称G是右作用在M上的李氏变换群。类似地，若σ：G×M→M为σ（g，x）=g·x，满足e·x=x，g·（h·x）=（g·h）·x，则称G是左作用在M上的李氏变换群。

4 结论

李群，有称之为线性群，不仅满足群的性质，还具有线性，往往表示为矩阵形式，这样线性就是显然的。线性毕竟要涉及变换，考虑线性函数的定义，在定义域中的线性运算被函数所保持，所以对于群中元素而言，这种线性就不好表示了，因为没有变换。为了引入这样的变换，所以定义了单参数群，就像参数曲线一样，通过参数来间接表示群元素，一个参数经过变换表示一个群元素，那么参数之间的线性运算就可以借此表示出群元素之间的线性运算。

例如，考虑旋转群SO3，对固定转轴的两个依次作用的转动，与他们的复合所给出的单个转动作用效果相同，这其实就是线性的表现。一个转动总可以参数化表示为一个转轴位置和一个转角，上面涉及的过程就是转角参数的相加，等价于转动的复合。

一般李群都是些运动群，也就是空间的微分同胚群，也就是说，考虑群作用，将李群中的元素作用于某一空间，得到的是与原空间微分同胚的新空间。

李代数是李群在恒等元处的切空间，这个涉及平移不变性对点位置不确定性的消除，说白了就是一个商结构，相差一个平移作用下认为两对象相等。消除了这样的多余特征后，就能对本质问题加以研究。但是，这样的定义并不能给出李代数中元素的性质。不过好像是和联络有关的，就是张量分析中的协变导数，克氏符号那些东西。李代数既然为代数，就必然有运算，毕竟代数是同时具有加法和乘法的结构，而且加法是交换的，乘法根据交换与否分为交换代数和非交换代数。李代数的乘法是李括号，是反对称的，自然非交换，说起来关于二元运算括号，也是很有意思的，一般在基础的课程中根本遇不到，常见的也就李括号，泊松括号，量子泊松括号，他们都是和几何息息相关的。括号总是具有雅可比性质，三个元素的各种括号组合之和为零。

参考文献：

[1] Atiyah， M. F.; Bott， R. （1983）. The Yang-Mills Equations over Riemann Surfaces. Philosophical Transactions of the Royal Society A： Mathematical， Physical and Engineering Sciences， 308（1505）， 523–615. doi：10.1098/rsta.1983.0017

[2] Atiyah， M.F.， & Macdonald， I.G. （2016）. Introduction to Commutative Algebra （1st ed.）. CRC Press. https：//doi.org/10.1201/9780429493621

作者简介：梁铎强（1978.09-）男，汉族，广西玉林，副教授，博士，研究方向：数学材料