巧解电场中的能量问题

2022-02-28周芹

数理化解题研究·高中版 2022年1期

关键词：电场力动能定理电势

周芹

摘要：高考对电场的考查形式灵活多样，主要涉及到的知识点是电场中的力学问题、能量问题和带电粒子在电场中的运动.其中，电场中的能量问题，特别是在计算题中考查时，往往涉及到的知识点多、综合性强，本文就此类问题做一总结.

关键词：电场中的能量问题;等效法

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）01-0115-03

电场中的能量问题是高考常考的知识点之一，往往是既涉及到受力，也涉及到能量转化，且试题综合性较强，难度大.现举例加以说明.

1 电场中的功能关系

我们知道一种力做功改变一种能量：

（1）如果电场力做正功，则电势能减少;如果电场力做负功，则电势能增加，且在数值上也存在相等的关系.

（2）如果只有电场力做功，能量仅在动能和电势能两种之间相互转化，则动能（Ek）和电势能（Ep）的总和不变.

（3）如果只有电场力和重力做功的情况下，则重力势能、电势能和动能三种能量之和保持不变.

例1 现有一下端固定的竖直绝缘轻质弹簧，如图1所示，弹簧的上端连接着一个带正电的小球P，已知整个空间存在竖直向上的匀强电场，小球处于平衡状态且弹簧处于原长.若给小球一个向上的初速度，到达的最高点即为M.则关于小球运动至最高点时的说法正确的是（）.

A.小球的电势能减少、重力势能增加，且二者在数值上相等

B.小球的机械能增加，且增加量在数值上等于电场力所做的功

C.小球动能的减少量在数值上等于电场力和重力所做功的代数和

D.小球动能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量

思路点拨本题在分析时，关键之处就是要弄清各能量之间的相互转化.

解析本题的初始状态是弹簧处于原长，小球处于受力平衡，即小球的重力和电场力二力平衡 mg=qE，可知重力和电场力的合力功为零，故选项A正确.小球在竖直向上运动的过程中，小球的动能减少，弹性势能增加，故选项C错误，D正确;改变小球机械能的力是除重力以外的其它力，即電场力和弹力做功，故选项B错.本题答案为AD.

解后反思解决电场中能量问题时常用到的规律有动能定理、能量守恒定律和功能关系.

（1）应用动能定理求解问题时需要研究合外力的功，即总功.

（2）应用能量守恒定律求解问题需要找电势能和其他形式能之间的相互转化.

（3）应用功能关系求解问题需明确电场力做功和电势能改变之间的对应关系.

（4）有电场力做功时，因为有除了重力或弹簧弹力以外的其它力做功，机械能一般不守恒，但能量是守恒的，即机械能与电势能的总和保持不变.

2 等效最高点、最低点问题

例2 如图2所示，在竖直平面内有水平向右，场强为E=1×104N/C的匀强电场.在匀强电场中有一根长L=2m的绝缘细线，一端固定在O点，另一端系一质量为0.04kg的带电小球，它静止时悬线与竖直方向成37°角，如图2所示，若小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，试求：（1）小球的带电量Q;（2）小球动能的最小值;（取小球在静止时的位置为电势能零点和重力势能零点，cos37°=0.8，g=10m/s2）

思路点拨本题是一道力电综合题，主要考查学生对力的合成与竖直平面内的圆周运动的掌握情况.以及对复合场的理解与掌握.难点在于等效重力的理解.

解析由于小球带电，受到电场力所以在静止时绝缘细线必然和竖直方向有一个夹角，通过这个夹角就能计算出m的带电量.

（1）对小球m进行受力分析：可以得到：

qEmg=tan37°

所以：q=mgtan37°E

代入数据得：q=3×10-5C

由于重力和电场力都是恒力，所以它们的合力也是恒力.在圆上各点中，小球在平衡位置A点时的势能（重力势能和电势能之和）最小，在平衡位置的对称点B点，小球的势能最大，由于小球总能量不变，所以在B点的动能EkB最小，对应速度vB最小，在B点，小球受到的重力和电场力，其合力作为小球做圆周运动的向心力，而绳的拉力恰为零，有：

mg′=mgcos37°=0.5N

在等效最高点，等效重力提供向心力mg′=

mv2BL

此时的速度最小，动能最小EkB=12mv2B

解得EkB=0.5J

3 以力电综合问题为背景考查受力分析及基本规律的运用

例3 如图3，一根长为L=1.5 m的光滑绝缘细直杆MN竖直固定在电场强度大小为E=1.0×105N/C、与水平方向成θ=30°角的斜向上的匀强电场中，杆的下端M固定一个带电小球A，带电荷量为Q=+4.5×10-6C;另一带电小球B穿在杆上可自由滑动，带电荷量为q=+1.0×10-6C，质量为m=1.0×10-2kg.现将小球B从杆的N端由静止释放，小球B开始运动.（静电力常量k=9.0×109 N·m2/C2，g=10 m/s2）

（1）求小球B开始运动时的加速度a;

（2）当小球B的速度最大时，求距M端的高度h1;

（3）若小球B从N端运动到距M端的高度为h2=0.61m时，速度v=1.0 m/s，求此过程中小球B电势能的改变量ΔEp.

思路点拨本题求解时做好三个分析：受力分析、运动分析、能量分析，用到的规律有牛顿第二定律、动能定理等.

解析分析力学问题的首要步骤是什么？当然是正确选择研究对象，然后对其进行受力分析，画出小球B运动前的受力示意图如图4所示.

在正确分析受力的基础上，接下来要做什么呢？判断其運动情况，B球释放后先向下加速运动，然后向下减速运动，速度最大时，所受合力为零，加速度为零.

用什么规律呢？列什么方程呢？

（1）开始运动时小球B受重力、库仑力、杆的弹力和电场力，沿杆向下运动，由牛顿第二定律得

mg-kQqL2-qEsinθ=ma

解得a=3.2m/s2，方向竖直向下.

（2）小球B速度最大时受到的合力为零，即

kQqh21+qEsinθ=mg