部分等距元的新刻画

赵旭东，王 姗，魏俊潮

(1.运城师范高等专科学校 数学与计算机系，山西 运城 044000；2.扬州大学 数学科学学院，江苏 扬州 225002)

本文中，R表示一个有单位元1的结合环。设a∈R，若存在b∈R，满足

a=aba；b=bab；ab=ba，

则称a是R的群可逆元，且称b为a的群逆元。由文献[1]知b是唯一的，记为a#。从而有

a=aa#a；a#=a#aa#；aa#=a#a。

用R#表示R的全体群可逆元的集合。

设*:R→R的一个双射，若满足条件：

(a*)*=a；(a+b)*=a*+b*；(ab)*=b*a*，∀a,b∈R，

则称R为一个对合环或*-环。

设R为*-环，a∈R，若存在c∈R，使得

a=aca；c=cac；(ac)*=ac；(ca)*=ca，

则称a为R的Moore-Penrose可逆元，简称为MP-可逆元，称c为a的Moore-Penrose逆元[2]，简称MP-逆，记为a+，由文献[3]知c是唯一的。因此有

a=aa+a；a+=a+aa+；(aa+)*=aa+；(a+a)*=a+a。

用R+表示R的全体MP可逆元的集合。

设R为*-环，a∈R+。若a+=a*，则称a为部分等距元[4]。用RPI表示R的全体部分等距元的集合。关于部分等距元的研究还可参见文献[5-10]。

设R为*-环，a∈R#∩R+，若a#=a+，则称a为EP元[11]。用REP表示R的全体EP元的集合。

设R为*-环，a∈R#∩R+，若a#=a+=a*，则称a为强EP元[4,12]。用RSEP表示R的强EP元的集合。

文献[4]定理2.1及定理2.2给出了部分等距元的很多刻画，而定理2.3给出了部分等距的EP元，即强EP元的很多等价刻画。本文主要目的是继续刻画部分等距元及强EP元。

引理1 设a∈R#∩R+。 1)若(a*)2=a+a*，则a∈RPI；2)若(a*)2=a*a+，则a∈RPI。

证明1)由于(a*)2=a+a*=a+(a+)*a*a*，

上式右乘(a#)*，得a*=a+(a+)*a*=a+，从而a∈RPI。

2)类似可证。

定理1 设a∈R#∩R+，则a∈RPI当且仅当(a#)*(a+)2=a+(a#)*a*。

证明先证必要性。假设a∈RPI，故a+=a*，从而

(a#)*(a+)2=(a#)*(a*)2=(a2a#)*=a*,

a+(a#)*a*=a*(a#)*a*=(aa#a)*=a*,

于是(a#)*(a+)2=a+(a#)*a*。

再证充分性。假设(a#)*(a+)2=a+(a#)*a*，两边右乘a*，得

(a#)*(a+)2a*=a+a*

给上式两边取*得

a(a+)*(a+)*a#=a(a+)*

再给上式同时左乘a#，注意到a(a+)*=a(a+aa+)*=a2a+(a+)*，则有

(a+)*(a+)*a#=(a+)*,

然后左乘aa*得

a(a+)*a#=a,

再同时右乘a，注意到(a+)*a#=(a+)*a+aa#，则有

a(a+)*=a2，

于是上式取*得 (a*)2=a+a*，由引理1知a∈RPI。

类似于定理1，可得如下定理。

定理2 设a∈R#∩R+，则a∈RPI当且仅当(a+)2(a#)*=a*(a#)*a+。

引理2 设a∈R#∩R+，x∈R，1)若(a+)2x=0，则a+x=0；

2)若x(a+)2=0，则xa+=0。

证明1)因为(a+)2x=0，所以a*a+x=(a*aa+)a+x=0，于是

a*a*(a+)*a+x=a*a+x=0，从而a*(a+)*a+x=(a#)*a*a*(a+)*a+x=0,所以有a+x=0。

同理可证2)。

定理3 设a∈R#∩R+，则a∈RPI当且仅当(a#)*(a+)2=a*(a#)*a+。

证明先证必要性

由于a∈RPI，故a+=a*，从而(a#)*(a+)2=(a#)*a*a+=a*(a#)*a+。

再证充分性。 假设 (a#)*(a+)2=a*(a#)*a+，两边左乘(a*)2得a*(a+)2=(a*)2a+=(a*)2a(a+)2,由引理2知a*a+=(a*)2aa+=(a*)2,再由引理1可知a∈RPI。

引理3 设a∈R#∩R+，则a*(a#)*a+=a+=a+(a#)*a*。

证明由于

a*(a#)*a+=(aa#)*a+aa+=(a+a2a#)*a+=(a+a)*a+=a+aa+=a+。

同理可证a+(a#)*a*=a+。

推论1 设a∈R#∩R+，则下列条件等价：

1)a∈RPI；2)(a#)*(a+)2=a+；3)(a+)2(a#)*=a+。

证明这是定理2，定理3及引理3的直接推论。

引理4 设a∈R#∩R+，1)若a+(a#)*(a+)2=(a+)2，则(a#)*(a+)2=a+；

2)若(a+)2(a#)*a+=(a+)2，则(a+)2(a#)*=a+。

证明1)由于(a#)*=a+a(a#)*，因此由(a+)2=a+(a#)*(a+)2知

(a+)2=(a+)2a(a#)*(a+)2。

故由引理2知a+=a+a(a#)*(a+)2=(a#)*(a+)2。

同理可证2)。

定理4 设a∈R#∩R+，则a∈RPI当且仅当a+=a+(a#)*a+。

证明先证必要性。因为a∈RPI，所以由推论7可知(a#)*(a+)2=a+,两边左乘a+得：a+(a#)*(a+)2=(a+)2，由引理2知a+(a#)*a+=a+。

再证充分性。假设a+=a+(a#)*a+，则(a+)2=a+(a#)*(a+)2，由引理4知 (a#)*(a+)2=a+，由推论1知a∈RPI。

引理5 设a∈R#∩R+，若a+a=(a#)*a+，则a∈RPI。

证明因为a+a=(a#)*a+，所以a+=a+aa+=(a#)*a+a+，由推论1知a∈RPI。

观察定理4，可得如下方程

x=x(a#)*a+

(1)

定理5 设a∈R#∩R+，则a∈RPI当且仅当方程(1)在集合xa={a,a#,a+,a*,(a#)*,(a+)*}中至少有一个解。

证明先证必要性。若a∈RPI，则由定理4知x=a+为一个解。

再证充分性

1)若x=a为解，则a=a(a#)*a+，左乘a+得a+a=(a#)*a+，由引理5知，a∈RPI；

2)若x=a#为解，则a#=a#(a#)*a+，左乘a2得a=a(a#)*a+，由1)知a∈RPI；

3)若x=a+为解，则a+=a+(a#)*a+，由定理4知a∈RPI；

4)若x=a*为解，则a*=a*(a#)*a+，由引理3知a*=a+，故a∈RPI；

5)若x=(a#)*为解，则(a#)*=(a#)*(a#)*a+，左乘(a*)2得a*=a*(a#)*a+，由4)知a∈RPI；

6)若x=(a+)*为解，则(a+)*=(a+)*(a#)*a+，左乘a*得a+a=a+a(a#)*a+=(a#)*a+，由引理5，a∈RPI。

定理6 设a∈R#∩R+，则a∈RSEP当且仅当方程x=(a#)*xa#在xa中至少有一个解。

证明先证必要性。假设a∈RSEP，则a#=a+=a*，则x=a为一个解。

再证充分性

1)若x=a为解，则a=(a#)*aa#，

右乘a得a2=(a#)*a，左乘a+a得a+a3=a+a(a#)*a=(a#)*a=a2，故a∈REP，从而a=(a#)*aa#=(a#)*aa+=(a#)*，从而a∈RSEP；

2)若x=a#为解，则a#=(a#)*a#a#，右乘a2得a=(a#)*aa#，由1)知a∈RSEP；

3)若x=a+为解，则a+=(a#)*a+a#，右乘a+a得a+=a+a+a，故aa+=aa+a+a，取*得aa+=a+a2a+，从而a=a+a2，故a∈REP。于是a#=a+，由2)知a∈RSEP；

4)若x=a*为解，则a*=(a#)*a*a#，右乘a+a得a*=a*a+a，取*得a=a+a2，故a∈REP，从而a*=(a#)*a*a#=(a#)*a*a+，由引理3知a*=a+。从而a∈RSEP；

5)若x=(a#)*为解，则(a#)*=(a#)*(a#)*a#，取*得a#=(a#)*a#a#，由2)知a∈RSEP；

6)若x=(a+)*为解，则(a+)*=(a#)*(a+)*a#，取*得a+=(a#)*a+a#，由3)知a∈RSEP。