关于TMA的Taylor级数法的分析

2022-02-25袁富宇肖碧琴代志恒

指挥控制与仿真 2022年1期

袁富宇，肖碧琴，刘凯，代志恒

(江苏自动化研究所，江苏连云港 222061)

纯方位TMA(目标运动分析)技术是水下作战平台的一个关键技术，几十年来一直得到国内外学者的研究，提出了诸多有效的解算方法，典型的有Kalman滤波方法、极大似然估计方法、Taylor级数方法等。Kalman滤波类方法中最有效的是修正极坐标方法，是国内外诸多系统中常备算法，缺点是对滤波初值的选取较为敏感，必须结合实际应用背景事先选好一些可行的初值。极大似然估计方法是诸多被动定位系统尤其是水下系统的主要算法，可由非线性优化方法实现计算。Taylor级数法也是常用的TMA方法，尤其在无线电定位系统中，这种方法的缺点也是需要一个初始值，且对初始值较为敏感，由于是局部校正，因此无法保证迭代计算的收敛性。

由于Taylor级数方法简单易行，是各种被动定位系统中的常用算法，因此，本文针对纯方位量测条件下基于单个观测平台(有效机动)的目标运动分析问题，对Taylor级数方法进行仿真分析，提出一些改进措施，结果表明能够大幅提高解算效果。

1 Taylor级数方法描述

假定定常未知量设为∈，量测量设为∈，=1,2,…,，量测方程一般为非线性方程

(1)

对式(1)在点处进行Taylor级数一次展开

(2)

其中

d=-

(3)

(4)

并且略去了二阶以上的高阶项。为方便起见，令

(5)

=∇()

(6)

那么式(2)改写为

(7)

利用线性最小二乘方法可得

(8)

令

=+d

(9)

返回式(2)～(8)进行迭代计算，直至收敛。这便是Taylor级数方法的大致计算过程。

对于纯方位TMA问题(假定目标匀速直航)来讲，可以选取

=(0,0,,)′

(10)

其中(0,0)是目标的初始位置坐标，、是目标速度分量(大地直角坐标系)。

量测方程为

(11)

其中为目标在时刻相对观测平台方位，(,)是观测平台在时刻的位置坐标(坐标原点一般设在观测平台的初始位置)，Δ=-，为初始时刻，一般设为零时刻。此时未知量的维数=4，量测量的维数=1。

选择一个初值，由式(11)不难计算出

(12)

(13)

这样，给定初始值后，依据公式(12)、(13)，按照公式(2)～(8)的流程就可以迭代计算目标运动参数。

比如，取初距=30 km、速度=20 kn、初始舷角=30°的态势，观测平台按照下文“仿真分析”部分的航路机动，采样间隔Δ=1 s，总采样时间=10 min，不叠加量测误差。选取迭代初始值=25 km、速度=18 kn、初始舷角在区间[5°,55°]均匀随机选取，计算20条航次。观测平台量测10 min时，迭代结果如表1所示。

表1 原始算法结果

2 Taylor级数方法的一种改进

(14)

为简单起见，令

(15)

≥0。=0时就是原始Taylor级数法，本文选取=1,2,…,6进行考察，表示6种改进方法。

3 仿真分析

3.1 仿真态势

选用文献[21]仿真算例的观测平台机动方式，速度=3 m/s(约583 kn)，从坐标原点沿航向1=90°航行4 min，再反向转180°，用时1 min，转向之后的航向2=270°。目标初始位置位于轴上(即初始方位=0°)，如图1所示。

图1 模拟场景

=10,15,20,25,30(km)

=10,15,20,25,30(kn)

=10°,30°,50°,70°,90°

观测平台导航不叠加误差，方位量测误差均方根=05°(同文献[21] )，采样间隔Δ=1 s，总采样时间=10 min。仅考察末端时刻=10 min时的解算结果。

3.2 Taylor_LSl的仿真分析

把式(14)和(15)的改进方法称为Taylor_LSl方法，取l=1,2,…,6进行考察。

首先，仍取初距=30 km、速度=20 kn、初始舷角=30°的态势，不叠加量测误差。迭代初始值仍选择=25 km、速度=18 kn、初始舷角在区间[5°,55°]均匀随机选取，计算20条航次，10分钟时的迭代结果全部(=1,2,…,6)收敛到真值，见表2(仅给出5个航次结果)。

表2 改进算法结果

可见式(14)和(15)的改进方法是可行的。共125种态势。

考察改进方法Taylor_LSl(l=1,2,…,6)对迭代初值的敏感性。选取[10,30] (km)、[8,25] (kn)、[-80,90] (°)为初值选取范围，初值从这3个区间内均匀随机选取。对每一态势运行50个航次，每次都改变初值，不叠加量测误差。

结果表明，当迭代初值“远离”真值时，改进方法还是会发散的，具体有以下几点表现：

1) “远离”尺度没有严格的阈值，有时“大”尺度能收敛，“小”尺度也可能发散。比如，对于态势=10 km、=10 kn、=10°，两次运行结果如表3、4所示。

表3 改进算法J=18航次结果

表4 改进算法J=20航次结果

2) 改进方法Taylor_LS1的发散特征为det接近0(<10)，迭代结束时‖‖是一个大数(>10)。

3) 改进方法Taylor_LSl(l=2,…,6)的发散特征为det为负值(理论上应该>0，当det<0时终止迭代)，同样地‖‖也是一个大数(>10)。

4) 初值、的误差对迭代发散有“交互”作用，即Δ、Δ除自身影响外，也有“共同”影响。、、初值误差对发散的影响程度不一样。

5)=30 km时，没有发散现象出现，=20、25 km时有一些发散情况，当≤15 km时有较多的发散现象,即远距离态势发散情况较少出现或不出现。

下面详细考察每一初值误差对迭代的影响。

先考察初值误差对迭代的影响。设=真值、=真值，在[10,30] (km)范围内均匀随机选取，仍不叠加量测误差，进行100航次统计计算。结果表明，对于=10 km态势，当=10 kn时，出现迭代异常的最小初距(相对)误差(简称异常误差，下同)>75；当=15 kn，≤50°时出现迭代异常的误差>50，其余态势的异常误差>75；当=20 kn时，出现迭代异常的误差>50；=25 kn的异常误差为:当≥40°时>50，当≤30°时>10；=10 km的每一态势的异常航次在50～80航次之间。对于=15 km态势，当≤15 kn时，最小异常误差>75，且每一态势的异常航次≤22；当≥20 kn时，最小异常误差>50，且每一态势的异常航次≤31。≥20 km态势未出现异常航次。可见，近距离态势对距离初值误差较敏感。

再考察初值误差对迭代的影响。设=真值、=真值，在[8,30] (kn)范围内均匀随机选取，不叠加量测误差，进行100航次统计计算。统计结果为，对于=10 km态势，当=20 kn，=10°时，出现迭代异常的最小速度(相对)误差>50，改进方法=1有两个航次异常(>1时无异常出现)；当=25 kn，≤30°时出现迭代异常的速度初值误差>10，所有改进方法出现异常，异常航次数在18～45之间；其余态势未出现异常航次。可见，高速态势对速度初值误差较敏感。

最后考察舷角初值对迭代的影响。设=真值、=真值，在[-180°,180°]区间内均匀随机取值，不叠加量测误差，进行100航次统计计算。结果发现，迭代异常多发生在大初值误差情形。仅在=10 km、=25 kn、≤20°态势中，改进方法=1,2当|Δ|≤25°时发散；在=10 km、=20 kn、≤30°和=25 kn、30°≤≤60°，以及=15 km、=25 kn的各种态势，当25°<|Δ|≤50°时发散。其余态势情况为，少部分态势当50°<|Δ|≤75°时发散，大部分发散情形皆为|Δ|>75°。并且对每一改进方法，发散航次数均小于10。可见，改进方法对舷角初值误差不太敏感。

上述仅考察了单参数初值误差的影响，实际上，多参数初值误差的交互影响也是存在的，由于其复杂性，本文暂不考虑。

根据以上分析，距离初值应尽量选取“近距”值，以照顾近距态势对距离初值误差的敏感性，速度应尽量选取“高速”值，以适应高速态势对速度初值误差的敏感性，舷角初值选取真值左、右25°范围的值(以照顾舷角误差最敏感态势)。比如，如果态势范围就是上述仿真所用的态势范围，可以选取=12 km、=30 kn、在真值左右25°范围均匀随机选取。100航次仿真计算，仍发现有个别近距、高速、小舷角态势(=10 km：=25 kn、=20°和=30 kn、≤30°)某些航次(25 kn时航次数≤4，30 kn时航次数≤30)发散。修改初值=10 km，仅剩=30 kn的态势发散，再把初值限制在真值左右15°范围，就全部收敛了。

在实际运用中，可设定=10 km、=30 kn。如能由别的方法预估出，则把估值作为舷角初值。当不能预估时，若能判别出目标舷别，可取=±45°；当不能判别舷别时，可在[-90°,90°]或[-180°,180°]区间内均匀随机选取一值。若发散，则从开始左右各10°改变进行试算，直至收敛。发散判据依det<10或‖‖>1进行判别。

我们以在[-180°,180°]区间内选取为例，对31节中的125种态势进行验证，方位量测误差均方根=05°，统计10 000航次。由于当算法收敛时，6种改进方法结果等价，因此仅取=2进行考察。统计结果表明，125种态势的10 000条航次没有发散情况出现。表5给出了部分态势(对初值误差较为敏感的态势)的统计结果。