周期为4v(几乎)平衡理想二进制序列构造研究

彭秀平 冀惠璞 林洪彬 刘 刚

①(燕山大学信息科学与工程学院 秦皇岛 066004)

②(燕山大学电气工程学院 秦皇岛 066004)

③(河北省信息传输与信号处理重点实验室 秦皇岛 066004)

④(通信网信息传输与分发技术重点实验室 石家庄 050081)

1 引言

在通信、密码、雷达和声呐等实际应用系统中，为了实现同步、抗多径干扰、防止载波泄漏和实现设备简易性等需求，具有理想自相关特性的二进制序列在这些领域中发挥着重要作用[1，2]。如在码分多址(Code Division Multiple Access，CDMA)通信系统中，需要这些序列来获取接收信号的准确定时信息，在密码学中，序列用于以流密码加密生成密钥流。通常要求所采用的序列应具有尽可能低的自相关函数旁瓣值和好的平衡性[3，4]。而目前已有的研究结果表明，最佳序列存在数目比较有限，最佳二进制序列仅存在长度为4的(1， 1， 1，—1)的情况[5，6]。为了获得更多满足实际需求的序列，学者在不断寻求其他形式理想序列。按序列周期不同，理想二进制序列分为4类[4，7]，本文将对其中周期为T ≡0(mod4)的理想二进制序列的直接构造方法进行研究。

本文在现有成果基础上，将素数v分为v ≡3(mod4)和v ≡1 (mod4)两种情况，基于2阶分圆类和中国剩余定理将提出3种周期均为T=4v的理想二进制序列w的普遍构造方法，得到的二进制序列不仅具有理想自相关特性，而且具有很好的平衡性。拓展了现有周期为T ≡0 (mod4)的理想二进制序列存在范围。

2 基本概念

定义1 设周期为T的序列w=(w(0)，w(1)，...w(T-1))，其中w(t)∈{1，-1}，则称序列w为二进制序列，设Ni(w)=|{0≤t ＜T:w(t)=i}|，当满足式(1)所示条件时，称序列w为平衡二进制序列

证毕

3 几乎平衡具有理想自相关函数值二进制序列构造

这部分将提出一种周期为T=4v具有理想自相关函数值的几乎平衡二进制序列的普遍构造方法。

定理1 设v=2d+1为一奇素数，其中v ≡3(mod4)，当序列w的特征集W满足那么得到的序列w是周期为T=4v且Rw(τ ／=0)∈{0，-4}的几乎平衡理想二进制序列。

证明 以V={(2+i，0)}为例进行证明，其他情况的证明方法类似。根据式(4)，计算得到W的差函数dW(τ1，τ2)为

4 (几乎)平衡具有理想自相关函数幅值的二进制序列构造

证明 以V={(i，0)，(i+1，0)}为例进行证明，证明方法与定理1类似。

其中，

表1 定理2中理想二进制序列的自相关函数值分布

5 构造方法比较

表3列出了目前已有周期为T ≡0(mod4) 理想二进制序列的主要构造方法，与已有成果相比，本文构造方法的优点主要体现在如下几个方面：一是直接构造法，本文提出的3种构造方法都是直接构造法，而文献[7，10—14]采用的均是交织法，所得序列的特性受所采用基序列或移位序列影响；二是平衡性更好，当v ≡3 (mod4)时，文献[7，10—12，14]得到的理想二进制序列都为几乎平衡或不平衡序列，而本文定理2中获得的理想二进制序列都为平衡序列；三是得到的序列更多，同文献[15，16]相比，虽然采用的都是直接构造方法，但该文定理1中构造得到的理想二进制序列不仅包含文献[15，16]中序列，而且还可得到一些新的具有理想自相关特性的几乎平衡二进制序列，从而也可得到一些新的参数为(4v，2v+1，v，v-1)的几乎差集。

表3 已知周期为T ≡0 (mod4)的具有理想自相关值/幅度的二进制序列总结

6 结束语

基于中国剩余定理和2阶分圆类，本文提出3种周期为T=4v(v为奇素数)理想二进制序列直接构造方法。构造所得序列的周期自相关函数值均满足理论界：当v ≡3 (mod4)时，序列的周期自相关函数旁瓣值取值集合为{0，-4}或{0，4，-4}；当v ≡1(mod4)时，相应的取值集合为{0，4，-4}。本文构造方法拓展了现有平衡和几乎平衡理想二进制序列存在空间，可为工程应用提供更多性能优良的理想序列，同时也丰富了组合设计理论。

表2 定理3中理想二进制序列的自相关函数值分布