Schrödinger-Poisson系统解的存在性

王 军，王 莉，钟巧澄

(华东交通大学 理学院，江西 南昌 330013)

0 引言

本文考虑下列Schrödinger-Poisson系统：

(1)

其中：位势函数V是不定的，即V有有限维负空间；Ω是R3的有界子集。

文献[2-11]研究了Schrödinger-Poisson系统各种解的存在性，但在不定位势的情形下的研究较少。对于不定位势的问题，正如文献[12]所述，由于V在某些地方可能为负，能量泛函I将不再满足一般的环绕定理。文献[13]利用Morse理论得到方程(1)非平凡解的存在性。本文在其基础上考虑更一般的增长性条件，并在此条件下依然得到相同的结果。本文还运用改进后的Clark’s定理得到无穷多解的存在性。对位势函数V作如下假设：

对于非线性项，作如下假设：

为了保证全局紧性，通常对非线性项f(x,t)施加次临界增长性条件：存在一个常数C0>0使得：

其中：1

αG(x,t)+c≥G(x,st)

成立，其中G(x,t):=tf(x,t)-4F(x,t)≥0。

αG(x,t)≥G(x,st)

成立，这等价于(f2)当c=0。

显然，F(x,t)=t4ln(1+t4)满足条件(f1)～(f3)。

下面陈述本文的主要结果：

定理1 假设条件(V)和条件(f1)～(f3)成立，那么方程(1)有一个非平凡解。

定理2 假设条件(V)和条件(f1)～(f3)成立，如果f(x,·)是奇函数，那么方程(1)有一列解使得I(un,φn)→+∞。

定理3 假设条件(V)和条件(f1)～(f3)成立，如果f(x,-t)=-f(x,t)对所有(x,t)∈Ω×R都成立，那么方程(1)有一列解{uk}满足当k→∞时有‖uk‖X→0。

1 准备工作

下面回顾无穷维Morse理论的一些概念和结论。

设X是一个Banach空间，I:X→R是一个C1的能量泛函，u是I的一个孤立临界点以及I(u)=c，那么：

Cq(I,u):=Hq(Ic,Ic{0})，q=0,1,2,…

称为I在u的第q阶临界群，其中Ic:=I-1(-∞,c]和H*表示系数在z上的奇异同调。

若I满足Palais-Smale(PS)条件(即任意满足I(un)→c，I′(un)→0的序列{un}有收敛子列)且I的临界值有下界α，那么由文献[14]可知：

Cq(I,∞):=Hq(X,Iα)，q=0,1,2,…

指I在无穷远处的第q阶临界群。众所周知，上式的右边并不取决于α的选择。

命题1[15]如果I∈C1(X,R)满足PS条件且对于某些k∈有Ck(I,0)≠Ck(I,∞)，那么I有一个非零临界点。

命题2[16]假设I∈C1(X，R)在0处局部环绕，即X=Y⊕Z且对于某些ρ>0有：

I(u)≤0,∀u∈Y∩Bρ;

I(u)>0,∀u∈(Z{0})∩Bρ,

其中:Bρ={u∈X|‖u‖≤ρ}。如果k=dimY<∞，那么Ck(I,0)≠0。

为了研究泛函I，本文将利用涉及φu的项的以下性质：

命题4[18]设X是一个Banach空间，I∈C1(X,R)。假设I满足PS条件，是偶泛函和下有界的，以及I(0)=0。如果对于任意的k∈，存在X的一个k维子空间Xk和ρk>0使得其中那么下列结论至少有一个成立：

2 重要引理

X上的等价范数，泛函I可以改写为：

(2)

其中:u±表示u在X上的正交投影。

引理1 若条件(V)和条件(f1)～(f3)成立，那么泛函I满足PS条件。

证明对于c∈R，设{un}是X上的PS序列，即I(un)→c且I′(un)→0,n→∞，这表明：

c=I(un)+o(1)且〈I′(un),un〉=o(1)。

(3)

在X上，wn弱收敛到w，

在Lr(Ω)(2≤r<2*)上，wn强收敛到w，

在Ω上，wn几乎处处收敛到w，

(4)

设Ω1={x∈Ω,w(x)≠0}，则在Ω1上有：

因此，

|un(x)|→+∞几乎处处在Ω1上。

(5)

(6)

再次利用条件(f3)，存在常数C2>0使得对任意x∈Ω和|t|≤C2，有：

(7)

F(x,t)≤M。

(8)

(9)

接下来证明|Ω1|=0。如果|Ω1|≠0，那么结合命题3、式(4)、式(6)、式(9)和Fatou引理，可得：

(10)

I(tnun)→+∞当n→∞。

(11)

由于I(0)=0,I(un)→c，所以tn∈(0,1)且

(12)

根据假设条件(f2)，对于0≤tn≤1有αG(x,un)+c≥G(x,tnun)，那么利用式(11)和式(12)可得：

(13)

(14)

证明反证。存在序列{un}⊂X使得I(u)≤-n但

(15)

因此，

4I(un)-〈I′(un),un〉≤-4n。

(16)

因此，利用式(15)可得：

这与式(16)矛盾。引理2证毕。

引理3Cq(I,∞)=0,q=0,1,2…。

成立。所以存在sv>0使得I(svv)=-A。令u=svv，则根据引理2可得：

因此，Cq(I,∞)=Hq(X,I-A)=Hq(X,XB)=0,q=0,1,2,…。引理3证毕。

3 定理的证明

定理2的证明 根据引理1可知I满足PS条件，定理2的证明与文献[12]中定理1.2的证明非常类似，故这里不再重复。

定理3的证明 根据f(x,-t)=-f(x,t)，易证泛函I是偶泛函以及满足I(0)=0。此外，由于V∈C(Ω)有界，显然I是下有界的。对于∀k∈和ρk>0，令