新三维拟仿射变换应用于图像加密

周业勤　张辉

摘  要： 三维拟仿射变换是一种经典的图像加密算法，为了改善算法的加密效果及其安全性，在其基础上，提出一种新三维拟仿射变换图像加密算法。该算法将明文图像从左到右、从上到下、逐个像素地进行非线性扩散，同时将图像分成多个块，根据混沌序列的随机值加密相应的图像块。分析结果表明，新三维拟仿射变换图像加密算法的密钥空间非常大，运算速度快，安全性能好。

关键词： 图像加密; 仿射变换; Logistic映射; 信息安全

中图分类号：TP309.7          文献标识码：A     文章编号：1006-8228（2022）02-31-05

New three-dimensional quasi affine transform for image encryption

Zhou Yeqin， Zhang Hui

（Shandong Police College Police Technology and Equipment Innovation Research Center， Jinan， Shandong 250000， China）

Abstract： Three-dimensional quasi affine transform is a classical image encryption algorithm. In order to improve the encryption effect and security of the algorithm， a new three-dimensional quasi affine transform algorithm for image encryption is proposed on its basis. In this algorithm， the plaintext image is non-linearly diffused pixel by pixel from left to right and from top to bottom. At the same time， the image is divided into multiple blocks， and the corresponding image blocks are encrypted according to the random value of chaotic sequence. The analysis result shows that the new three-dimensional quasi affine transform image encryption algorithm has quite large key space， high operation speed and excellent security performance.

Key words： image encryption; affine transformation; Logistic mapping; information security

0 引言

随着多媒体和网络技术的发展，图像安全一直是信息安全的重点研究领域，图像加密又是图像安全的核心部分。针对图像数据的特点，众多学者提出各种相关技术的图像加密算法，主要可以分为空间域和变换域两个方向，比如基于Arnold映射[1]、幻方变换[2]、基于位运算[3]等技术的应用。本文主要对空间域的仿射变换进行改进，保持了其加密速度快的特点，同时增加密文映射复杂度，提出一种更适合实际应用的新三维拟仿射变换图像加密算法。

朱桂斌等人提出二维仿射变换有较好的置乱效果，但是变换后图像像素的值没有改变，并且具有置乱周期[4];文昌辞等人将二维仿射变换扩展到三维，在进行图像像素位置置乱的同时还能改变图像像素值的值，但是变换周期性的问题依然存在[5];进而文昌辞等人提出在变换后以再次进行扩散和替换操作，但多次扰动混沌系统使得算法运行效率低[6]。本文在三维拟仿射变换图像加密算法的基础上提出一种新图像加密算法。该算法首先预处理待加密图像，然后将明文图像从左到右从上到下逐个像素进行非线性扩散，同时将图像分成多个块，根据混沌序列值加密相应的图像块。分析结果表明，新三维拟仿射变换图像加密算法的算法密钥空间大，运算速度快，安全性能好。

1 混沌映射

混沌系统定义如下[7]：

假设存在一个连续自映射f：i→I⊂R，I是R集合里的一个闭区间，如果有一个不可数的集合S⊂I满足下面的三个条件[8]：

2 三维拟仿射变换

三维拟仿射变换是一种经典的并能适应于任意图像大小的图像加密算法，该算法能置乱像素的位置，置乱的同时还能改变像素值，加密速度快。其定义如式⑷，其中a、b、c、d、e、f、g、h、l、r、s、t为实数，M、N、L为正整数，设x、y、z为整数且x，x'∈[0，M-1]，y，y'∈[0，N-1]，z，z'∈[0，L-1]，符[]表示取整运算[9]。

为了保证加密图像能正确恢复原信息，置乱变换须是一一映射的，对变换式⑷的参数进行适当改进，得到适用于加密和解密的一一映射变换式⑸，其中q=M/gcd（M，N），d∈Z，nq∈Z，1+dnq∈Z，gcd（l，L）=1，g、h、r、s、t為任意实数，gcd（）为求最大公因子，Z为模M剩余类，Z为模N剩余类[10]。

已知一张图片，那么图像的像素个数是固定的，对固定个数进行排列，其所能构成的结果是有限的，所以由固定个像素构成的图像状态是有限的，也因此如果只是单纯的置乱，在若干次置乱后终会恢复原图像或者出现原图像的轮廓信息。所以说三维拟仿射变换用于图像加密时具有周期性，在加密特定次数后会出现原图像轮廓信息甚至原图像。下面做一个实验，取大小为96*96的lena测试图进行三维拟仿射变换，实验结果如图3所示：随着加密次数的增加，每间隔一段加密次数会出现原图像轮廓，甚至在加密256次后出现了原始图像，很显然，如果将三维拟仿射变换直接应用于图像加密会存在显示原图轮廓甚至原图的安全隐患。

3 新三维拟仿射变换

本文在三维拟仿射变换的基础上提出一种新三维拟仿射变换加密办法，主要是通过混沌分块置乱的办法。具体过程，第一步：将加密图像从上到下、从左到右依次对每个像素进行非线性扩散;第二步：将图像分为多个具有相互重叠部分的块，依据混沌序列相应的值加密对应值的图像块;第三步：组合成加密图像，此时图像已经得到充分置乱和扩散。如果需要更加安全的结果，可以重复加密多次，设原图像A大小为M×N。

具体算法过程如下：

⑴ 变换前预扩散运算。通过计算式C'=（C+C'）mod256，将原图像从上到下、从左到右依次对每个像素进行非线性扩散，其中C代表当前行第i个像素计算之前的值，C'代表扩散之后的值，i∈1，N，C代表当前行的上一行的最后一个像素值。计算第一个像素值时将式中C'设为已知值。

⑵ 将进行完⑴操作后的图像分为八个更小的块：以行为单位分成四部分A（1：m，：），A（m+1：m，：），A（m+1：m，：），A（m+1：M，：），以列为单位分成四部分A（：，1：n），A（：，n+1：n），A（：，n+1：n），A（：，n+1：N），即矩阵A按行可以表示成图4，按列可以表示成图5。s=0，1，…，7，8个符号分别表示图像的八个块。（此处将矩阵[A]按行和按列分别分成四块，总共八块，此处可以根据实际需求进行设计）

⑷ 根据混沌序列x（i）设置公式⑸的对应变换参数。如选取256×256的lena灰度图，则M=N=L=256，q=M/gcd（M，N），设n=1，l=1，

d=floor（（M-1）×x（2）/（q×256）），

g=x（4）+1+floor（x（5）×4/255）/4，

h=x（6）+1+floor（x（7）×4/255）/4，

r=x（9）+1+floor（x（10）×2/255）/2，

s=x（11）+1+floor（x（12）×2/255）/2，

t=x（13）+1+floor（x（14）×2/255）/2。

其中（x，y，z）是置乱前的像素值和坐标，（x'，y'，z'）是置乱后的像素值和坐标。

⑸ 对加密向量序列根据式（6）计算s的值，又根据si的值对相应图像块加密。若s=0加密方块A（1：m，：）;若s=5则加密方块A（：，1：n），依此类推，块加密T次。

⑹ 整个加密过程循环加密3次以上，得加密图如图6所示，可以看出密图没有任何原图像轮廓信息。

s=mod（h，8）（i=1，2，…T）  ⑹

接收方收到密图后，通过密钥按加密的逆过程恢复原图像即可。

4 算法分析

本文实验采用标准测试灰度图像Cameraman和lena作为仿真对象，图像大小为256*256，实验硬件设备为处理器Intel 1.0GHz，内存为1G，软件为Windows操作系统，Matlab仿真平台。

4.1 密钥空间分析

随着信息技术的发展，密钥空间要尽可能大。本算法中密钥有：混沌参数x和μ、混沌序列参数x和μ、加密次数T。理论上来说Logistic序列的参数取值空间是趋于无限大的，但是计算机有有限个有效位数，所以假设有15位有效数，取加密块次数T∈[8，263]，则密钥空间为：

（0.43×10）×（10）×256≈1.5×10 ⑺

假设尝试一次破译使用的时间数量级为秒，仅分析初值分量对密钥空间的影响，穷举破解所花费时间为1.5×10/3.15×10=4.8×10年。理论上讲，这是一个非常大的密钥空间，足以抵抗穷举攻击，所以保证了算法的安全性能。

4.2 像素相关性分析

对于图像中水平、垂直和对角，两两相邻像素之间，相关性系数r的计算公式如下：

用公式⑻⑼⑽检验相邻的两个像素的相关性，分别根据垂直、水平和对角线三个方向随机选择1000对相邻的像素进行分析，求得原图像的水平像素相关性为0.9335，垂直像素相關性为0.9748，对角像素相关性为0.9492，而加密后的相邻像素相关性分别为0.0012655，0.0074865，0.0074865。分析结果说明，新的三维拟仿射变换在相邻像素相关性方面效果较好。

4.3 非周期性分析

为了方便理解，现表示图像如式⑾所示矩阵，矩阵的第一块用[aaaa]表示，那么第五块用[aaaa]'表示，其他块依此类推。如式⑾所示，第一块中的a同时也属于第五块，若加密其中的一块，同样会对其他块产生加密效果，块与块之间具有重叠部分，加密过程中产生扩散、替换，使明密文的映射关系变复杂，破坏三维拟仿射变换的周期性。

同样截取lena图中大小为96*96的块进行多次新的加密算法处理，过程如图7所示。从图中可以看出，无论加密多少次，加密过程中都没有出现原图像或者原图像的轮廓，说明新算法的加密效果非常好，没有变换周期性的问题。

4.4 抗统计分析

以直方图和明文敏感性这两种抗作统计分析。直方图用来反映图像的像素值分布情况。如图8所示，新加密算法加密后得到均匀的灰度分布直方图，这增强了加密图像的安全性，使得攻击者很难使用差分分析或者统计分析来获取原图像信息。

算法的运算速度是衡量算法性能的一个非常重要的方面。用lena图，分别对文献[3]中基于位運算的图像加密算法、文献[5]中三维拟仿射变换、文献[6]中改进的三维拟仿射变换算法和本文算法进行比较，结果如表2所示。从实验结果可知，文献[3]中所提出的加密算法效率较低，文献[5]提出的加密算法运行速度较快，但其存在加密周期性的安全问题，文献[6]提出的改进算法运行效率较低。综上所述，本文所提出的新三维拟仿射变换加密算法安全性好、速度较快，更适合实际的应用。

5 结束语

文献[5]所提出的三维拟仿射变换虽然运行速度很快，但是具有变换周期，在加密一定次数后会恢复原图像。文献[6]文昌辞等人提高了图像加密的安全性，但运行效率较低。针对上述问题，本文提出一种新三维拟仿射变换图像加密算法，新的算法基于混沌置乱。实验分析表明，新三维拟仿射变换算法的密钥敏感性非常好，密文图像具有均匀的灰度直方图，不存在三维拟仿射变换的周期性问题，明文敏感性佳，运行速度较快，因此该算法更适合实际应用。

参考文献（References）：

[1] 程欢欢，戴曙光，杨莹.基于三维Arnold的Logistic混沌系统图像加密[J].电子测量技术，2019，42（22）：135-139

[2] 胡克亚，王君，王莹.基于分块压缩感知和改进幻方变换的图像加密[J].激光技术，2019，43（4）：96-102

[3] 刘乐鹏，张雪峰.基于混沌和位运算的图像加密算法[J].计算机应用，2013，33（4）：1070-1073

[4] 朱桂斌，曹长修，胡中豫，等.基于仿射变换的数字图像置乱加密算法[J].计算机辅助设计与图形学学报，2003，15（6）：711-715

[5] 文昌辞，王沁，丁华，等.基于三维仿射变换的数字图像置乱算法[J].北京科技大学学报，2012，34（12）：1478-1482

[6] 文昌辞，王沁，刘向宏，等.基于仿射和复合混沌的图像加密新算法[J].计算机研究与发展，2013，50（2）：319-324

[7] 郭玉贝.基于马尔可夫随机场模型的医学图像分割方法研究[D].东北大学，2009

[8] 周业勤.图像加密算法安全性分析与设计[D].长沙理工大学，2015

[9] 刘乐鹏，张雪锋.基于混沌和位运算的图像加密算法[J].计算机应用，2013（4）

[10] 王俊，苏利萍.一种新的基于双向分数傅里叶变换和RGB映射图像保护算法[J].计算机应用与软件，2013，30（8）：322-325