基于有限介质孔扩理论的桩基承载力预测方法研究

莫品强 刘 尧 高新慰 章 正

（1.中国矿业大学 深部岩土力学与地下工程国家重点实验室 力学与土木工程学院，江苏徐州 221116；2.中冶集团武汉勘察研究院有限公司，湖北武汉 430080）

0 引言

桩基础按照成桩过程分为挤土桩、部分挤土桩和非挤土桩。由于挤土桩造价低廉、噪音小、环境污染小等优点，现已广泛应用于实际工程。目前确定桩基承载力最直接的方法是进行原位静荷载试验法，但由于静荷载试验费时、费力，将会对经济和工程进度产生严重的影响，因此需要采用一种新型方法来预测桩基的承载力。

桩基承载力主要分为桩端阻力和桩侧摩阻力两大部分。目前我国大多数学者提出的桩基承载力计算方法主要有荷载传递法和弹性理论法等，但计算复杂，未考虑土体的连续性；根据大量的工程实测资料和地质条件[1]，对桩基承载力计算进行修正，得到的计算方法具有地域局限性，不能在大多数地区进行推广应用[2-3]。

挤土桩成桩过程会对周围土体产生挤压作用，而小孔扩张理论是研究挤土效应的有效方法之一。目前，随着弹塑性理论的不断发展，岩土介质小孔扩张解析解已取得了显著进展。Hill[4]根据Tresca 准则推导了小孔扩张的解析解；余海岁[5]基于Mohr-Coulomb 屈服准则，考虑了剪胀角的影响，推导了无限介质小孔扩张的理论解，获得了小孔扩张过程中土体的应力-应变关系；贾尚华[6]基于空间准滑动面理论（SMP 屈服准则）推导了柱形孔扩张半径和孔扩压力的理论关系。然而，目前小孔扩张理论解析解大多建立在无限空间土体的假设上，且主要用于分析沉桩过程的挤土效应[7-10]，较少研究桩基承载力以及沉降曲线。

针对上述不足，本文基于Mohr-Coulomb 屈服准则推导有限介质小孔扩张理论，考虑初始地表效应的影响，将桩端部分假设为球形孔扩张模型，桩侧部分假设为柱形孔扩张模型进行计算分析单桩桩基承载性能，为桩基承载力预测提供新的计算方法。

1 有限介质小孔扩张理论

小孔扩张理论是研究土体扩张（收缩）时周围应力场和位移场的经典理论，是解决岩土基本问题的有效手段之一[5]。本节在前人研究基础上推导有限Mohr-Coulomb 介质中球形-柱形小孔扩张统一解。土体中小孔扩张模型如图1所示。小孔初始半径为a0，有限介质外半径为b0，土中各点的径向应力为σr,0，切向应力为σθ,0。假设外边界土体径向应力保持不变，土体服从各向同性假设，并设定张力为正。扩张过程中，小孔半径从a0扩张至a，土体外半径将会从b0扩张至b，土中径向应力和切向应力将分别演化为σr和 σθ。

图1 小孔扩张模型

小孔扩张过程中土体各点应力应满足平衡方程式[5](1)：

且满足两个边界条件：

式中：r为极坐标下半径，表示土体内任意点到小孔中心的距离；p为扩张后土体内壁孔压；p0为土体外壁压力；k为用于统一球形-柱形孔的常数，k=1时为柱形孔扩张，k=2时为球形孔扩张。

1.1 弹性解

随着小孔扩张的内壁孔压从初始值p0不断增大，初始阶段土体变形为纯弹性变形，并未达到屈服状态，在此过程中，土体满足胡克定律，土体的弹性应力-应变关系为[11]

将边界条件(2)-(5)联立得

式中：G=E/[2(1+ν)]；E为土体弹性模量；ν为土体泊松比。

土体扩张进入塑性变形阶段时服从Mohr-Coulomb 屈服准则，形式为[5]

联立式(6)、式(7)、式(9)，可得土体刚进入塑性时的小孔压力为

1.2 弹-塑性应力分析

塑性扩张阶段的土体可分为塑性区(a＜r≤c)和弹性区(c＜r≤b)，c表示土体弹塑性界面半径。根据余海岁[5]，塑性区应力分布为

由式(1)-式(5)可得弹性区土体的应力分布：

其中，A和B为常数。

根据弹塑性界面连续性，令式(11)=式(13)，式(12)=式(14)组成方程组解得

联立式(11)、式(2)得到塑性区半径c与小孔内压p的关系为

当弹塑性界面达到小孔外边界，即c=b时，整个范围内土体均进入塑性，由式(17)得此时小孔内压为

1.3 弹塑性区土体位移

将式(13)、式(14)代入式(5)得弹性区间土体位移

同时，土体外边界的位移表达式为

土体的塑性变形可分为弹性和塑性两部分，分别采用上标‘e’和‘p’表示。为了和Mohr-Coulomb 屈服方程形式保持一致，本文采用一种简单的非相关流动法则[5]描述小孔扩张的土体塑性变形，径向塑性应变和环向塑性应变的比例关系表述为

根据余海岁[5]，将弹性应变解式(4)、式(5)代入塑性流动法则得

考虑塑性大应变影响，采用对数形式定义大应变，即

根据余海岁[5]，将式(24)、式(25)和式(11)、式(12)代入式(23)得

其中

通过下列转换

在式(19)中令r=c，同时将式(26)在区间[r,c]上积分，联立得

引入无穷级数

同时在式(31)中令r=a和r0=a0，可以得到

1.4 有限介质小孔扩张的全塑性解

当孔压继续增大，土体塑性区半径c会逐渐增大直到c=b，即土体完全进入塑性状态，此时上述部分塑性土体方程就不再有效。

1.4.1 全塑性土体应力

对于全塑性土体仍满足平衡方程和Mohr-Coulomb 屈服准则，即塑性区应力为

其中，D为常数。

将外边界条件式(3)代入式(36)得

1.4.2 全塑性土体位移

当塑性区域c=b时，土体孔扩张达到完全塑性状态，上述部分塑性土体扩张过程的位移方程将不再适用，此时将由塑性流动准则求得的式(26)在整个区间[r,b]积分后，可以得到

其中，ω 可通过令c=b从式(28)中求得

令式(39)中的r=a和r0=a0，可得完全塑性小孔的位移方程

其中

1.5 计算流程

由于方程解答计算较为复杂，采用数值计算软件Matlab 进行计算，具体计算过程如下：

（1）输入土体物理力学参数E，ν，C，ψ，φ和小孔的初始内径a0，外径b0。

（2）计算常数参数G，Y，α，β，γ，δ。

（3）计算小孔扩张达到初始屈服孔压和初始完全屈服孔压的p1y和p2y，对于给定小孔内壁孔压p，若小孔压力p＜p1y，即土体为完全弹性阶段，则可通过式(4)-式(7)求得土体的应力应变分布。

（4）若小孔压力p＞p1y且p＜p2y，即土体为弹塑性阶段，通过式(17)、式(20)、式(35)求解：对于给定的c/b值(小于1，大于a0/b0)，由式(20)计算c/a0和c/b0，式(35)计算c/a和a/a0，式(17)计算小孔扩张所需的孔压p与给定的孔压进行匹配找出塑性区半径c和土体外边界b；然后运用式(11)、式(12)、式(24)、式(25)计算土体塑性区的应力和应变，运用式(13)、式(14)、式(4)、式(5)计算土体弹性区的应力和应变。

（5）若小孔压力p＞p2y，即土体为完全塑性阶段，通过式(41)求解，然后运用式(36)、式(37)、式(24)、式(25)计算塑性土体的应力和应变。

2 桩基承载力

本文桩基承载力的计算是基于第1 节的有限介质小孔扩张理论模型。假设桩端处小孔扩张，且周围土体介质半径为桩基深度zp，计算模型如图2所示。

图2 桩端阻力计算模型

对于挤土桩打桩过程和桩基承载力的计算分为两个部分：

(1)桩端阻力：将桩端部分土体近似简化成球形小孔扩张，从而计算桩端阻力。对于球形小孔扩张的外边界取为桩长，小孔扩张的起始半径相当于土颗粒的间距(a0≈d50/2)，扩张后小孔半径为位移桩半径(a=rp，rp为挤土桩半径)，计算挤土桩施工过程所改变的土体应力场，在更新后的应力场，采用的承载力计算依据10%沉降原则，对于小孔扩张的起始孔半径a0=rp和扩张后小孔半径变为a=1.1rp，计算的初始应力取塑性区土体的平均应力，从而计算桩端阻力。如图2所示，zp为桩的埋深。

(2)桩侧摩擦力：桩周土体假设为圆柱形孔扩张，可根据Randolph[12]进行计算，但在桩周土周围由于土体的剪胀作用，会形成一个柱形弹性小孔的剪胀带，在计算时考虑上述两部分。

桩基承载力的计算流程包括初始条件输入、挤土桩施工过程的桩端/桩侧阻力计算、挤土引起的土体应力变化和施工后承载力计算，具体如图3所示。

图3 桩基承载力计算流程图

在挤土桩贯入完成后，基于改变的应力场计算小孔扩张内壁孔压pf，桩端阻力的计算由Randolph[12]方法进行计算

桩侧摩阻力计算

式中：pa为柱形孔扩张孔壁内压；Δy≈0.02 mm；δf为桩土间摩擦角；剪切模量[14]以式(50)计算

式中：P0为桩侧土体平均应力；c′=1000；n′=0.5；σatm=100 kPa，为一个标准大气压。

由上述可知，桩基总承载力为

挤土桩在成桩过程中会对桩周土产生扰动，形成挤土效应，从而使与桩身对周围土体形成挤密作用。根据Randolph[12]，土的内摩擦角和剪胀角取值按式（43）、式（44）计算

Bolton[13]依据三轴试验给出了最大摩擦角和最大剪胀角的计算方法：

式中：IR为相对剪胀系数，IR=Id(Q′-lnP0)-R′，Id为相对密实度，P0为土体原位应力，Q′=9.4，R′=0.28[14]。

挤土桩施工将会使部分土体进入塑性状态，如图4所示。此贯入过程的小孔内压为pg，可根据上述理论求得。由于挤土桩的贯入过程与静力触探过程相似，在挤土桩贯入过程中的贯入阻力根据Yasufuku[15]计算

图4 桩端土体应力状态

3 结果与分析

3.1 有限介质小孔扩张解

假设土体的力学参数为c=20 kPa；E=100 MPa；P0=200 kPa；ν=0.3；φ=30◦；ψ=15◦，土体从a0=1扩张到a=3，土体外边界b0=5不断增大，扩张后土体的内壁孔压如图5所示。将本文的有限介质小孔扩张结果与余海岁[5]的无限介质小孔扩张结果进行对比，发现对于柱形孔扩张，当b0/a≈110时，有限土体扩张的内壁孔压与塑性区范围与无限土体扩张所得出的大致相同，球形孔土体扩张b0/a≈25才与无限土体扩张得出的曲线相一致。验证了本文计算结果的正确性，同时说明对于土体的小孔扩张过程，土体的边界效应对于扩张过程中孔壁内压的影响随着边界的增大而逐渐消失。相比之下，对于柱形孔扩张，小孔外边界效应的影响强于球形孔扩张。对于挤土桩施工过程，由于地表的存在，土体的边界并非是一个完全的无限边界条件，故对于挤土桩的桩基承载力计算应该考虑地表效应的影响。

图5 小孔扩张土体外边界的影响

3.2 挤土桩施工过程土体应力场改变

假设桩基施工土体为粗砂，计算中的土体的土颗粒直径d50=0.5 mm，土体的黏聚力c=1 kPa，弹性模量E=20 MPa，临界摩擦角φcrit=32◦，土体的重度γw=18 kN/m3，相对密实度Id=0.8，土体的侧压力系数K0=0.5，泊松比ν=0.3，桩半径rp=0.5 m，桩基的埋深H=10 m。

图6 为打桩过程中桩身受到的侧摩阻力的分布，随着桩不断打入土体，桩侧摩阻力不断增大，增长趋势刚开始缓慢，在z=3 m时趋势逐渐增大，说明孔扩张所得的孔压变化逐渐加快，挤土桩对桩侧土体造成的挤密作用会随着深度的增大影响逐渐明显。在z=8 m时趋势逐渐减缓，这是由于随着深度的增加，土体在自重应力作用下会较为密实，使得土体桩侧土体的正应力增长较缓。图7 给出了打桩过程的土体应力场的变化图。图7(a)表示打桩之前土体的初始应力场。随着深度增加，应力呈线性趋势增长；打桩过程中土体的应力场变化见图7(b)。沿着桩身方向桩周土形成不同程度的挤密作用，土体的塑性区逐渐增大，桩周土体应力场以改变沿着桩身横向方向逐渐减小，桩端土体塑性区范围约为桩径的5 倍，此现象正与图6 结果对应。

图6 桩侧摩阻力分布

图7 桩侧摩阻力的分布及桩周应力场变化

3.3 桩基承载力的验证

桩基承载力分为桩端阻力和桩侧摩阻力，Vesic[16]认为桩端土体发生局部刺入破坏，桩端阻力为式(52)，桩侧摩阻力可根据有效应力法式(53)进行计算

式中：qp为桩端阻力；为土体刚度系数，C为黏聚力；为土体平均应力，为静土压力系数；γ′l为桩端处自重应力，Δ为塑性区土体的平均体积应变；qs为桩侧摩阻力；μ为桩侧摩阻力系数；σv桩侧土竖向有效自重应力。

现行《建筑桩基技术规范》（JGJ 94-2008）[16]，对于单桩桩基竖向极限承载力标准值可按照式(54)进行计算

式中：u为 桩身周长；li为桩周土第i层厚度；Ap为桩端面积；qsik为桩侧第i层土的极限侧阻力标准值；qpk为桩端阻力标准值。

根据上述3.2 节算例计算桩基承载力。表1 为计算桩基承载力不同方法的计算值对比。由表1 可知，采用无限介质小孔扩张理论计算的桩基承载力最大。这是由于无限介质小孔扩张假设土体为无限介质，未考虑地表效应影响。对于规范中的桩端阻力标准值和极限侧阻力标准值按照规范取值，本文方法计算值和规范方法计算值结果相近，与Vesic 法[17]和有效应力法[18]计算结果相比略小。但对比桩端阻力和桩侧摩阻力的计算值，本文方法计算的桩端阻力值偏小，桩侧摩阻力偏大，这是由于在打桩过程中对土的挤密作用使得桩身周围的土出现塑性变形区，桩身周围受到的水平向荷载提高使得桩侧摩阻力增大；计算结果具有一定合理性，且考虑了土体的塑性变形和打桩过程中的挤土效应。

表1 桩基承载力计算值

4 工程实例分析

本文的工程实例选取昆山市花桥镇[19]的静载荷试验。试验场地的地质资料和土层物理力学性质指标如表2所示。由于未给出上述计算所需的弹性模量，取泊松比ν=0.3，土体的弹性模量与压缩模量关系式(55)得

表2 试验土层的物理力学性质指标[19]

试验桩的桩长L=15 m，半径0.25 m，桩基施工工艺为静压桩施工工艺，对于本文桩基承载力的计算所需的土体物理力学性质参数简化为桩端土层的力学性质参数，即取第6 层粉质黏土夹粉土的物理力学参数。将其代入至上述计算方法之中，土的剪胀角假设为摩擦角的一半，其他土体参数同3.2 节。桩基静荷载试验得到的Q-s曲线与本文预测的Q-s曲线如图8所示。静载荷试验的Q-s曲线在沉降量为14.4 mm 时出现拐点，由此可知，桩基的承载力极限值为2420 kN。对于本文方法的预测值，随着外荷载不断增大，桩基沉降量先缓慢增长，后急剧下滑。说明在土体未进入破坏阶段，土体具有一定的承载能力，随着外荷载持续增强，土体进入塑性状态，土体发生破坏，桩基沉降位移不断加大，桩基达到极限承载力。Q-s曲线的预测拐点和实测曲线的拐点位置相近，桩端承载力的计算值为2638 kN，与现场工程实测值相差8.99%。主要原因：基于小孔扩张理论所需的土体的物理力学参数和土体的重度为桩端土体参数，而实际现场的土体含有耕植土、淤泥质粉质黏土等其他类型土体，土体的物理力学性质有所偏差，导致计算的结果值偏大。结果表明，该计算方法与现场单桩静荷载实验值相差较小，能够较好地预测单桩承载力，具有一定的工程应用价值。

图8 试验桩静荷载试验Q -s 曲线

5 结论

本文根据有限介质弹塑性小孔扩张理论提出挤土桩的桩基承载力计算方法，主要结论如下：

（1）基于Mohr-Coulomb 屈服准则和大应变假设推导的有限介质球柱形小孔扩张统一解析解，依据算例与既有解进行对比，证明了理论解的正确性。

（2）分析了小孔扩张边界对扩张过程内壁孔压的影响。当柱形孔b0/a＞110时，小孔扩张的内壁孔压与既有解结果相近，球形孔b0/a＞25时土体扩张与既有解结果相同。

（3）分别采用球形孔扩张模型和柱形孔扩张模型对桩端阻力和桩侧阻力进行计算，得到了挤土桩贯入过程对桩周土的挤密效应，预测的桩基承载力与既有理论解和原位静荷载实测值结果相近，验证了本文计算方法的可靠性，具有一定的工程实践意义。