从原始到进化再蜕变，方能抽丝剥茧

刘肖芬

【摘要】抽取有效信息是指在原有的信息情境中，找到特定的信息，转化成数学领域的语言。本文通过分析教材关于问题情景的呈现方式和学生易错的现象，提出有关“抽取有效信息”的策略。在抽取信息的过程中，学生容易出现“不会重组、不会筛选、不会分析、不会表达”的现象。因此提出了“巧用数学原始形态，找到教学生长点;巧建数学进化模型，找到教学关键点;巧变数学生活问题，找到教学链接点”的策略。

【关键词】小学数学;问题情境;抽取信息

关于问题解决的例题，人教版低年级教材出示 “知道了什么？”，中高年级教材则出示“阅读与理解”。抽取信息是问题解决的第一步。如何对数学信息抽丝剥茧，显得尤为重要。长期以来，学生抽取信息时依赖教师的讲解，这无疑是对学生独立获取信息的能力和思考能力都是不利的。因此，抽取有效信息是提高学生问题解决能力的重要一环。

一、关于问题情境的呈现方式

《新教材》创设贴近学生认知水平的问题情境，分为外显和内隐两种方式：

外显问题情境一般以学生熟悉的背景为元素，结合文字、数学符号、图形、图表等文本呈现（如图1），容易剥离情境，可直接抽取或者仅需一步推算即可。

内隐的情境则需联系数学概念、数量关系等。数学特征不明显，需要在理解的基础上选择恰当的方法，涉及两步或两步以上的推理和运算（如图2）。

学生对不同的信息理解的程度有所不同，对于熟悉的素材和信息简单的情境，学生能抽取信息的“骨架”，比较顺利地解决问题。对于抽象的素材以及“混合文本”，学生缺少有效的分析方法。

二、抽取信息时产生的易错现象

小学数学问题解决的信息呈现形式比较多样，需要学生重新组织问题情境，还要筛选多余条件和挖掘隐藏的条件。面对问题情境，学生常会读一遍题目，然后就不知从何下手。学生不能从问题中抽取有效信息，那更谈不上解决问题了。

（一）由于缺乏对数学情境的阅读，不会重组信息。面对问题情境，学生把题目随意看一遍，没有把信息串联起来，感到茫然失措，然后乱做。由于对图文中的词义不理解，难以进入情境，不会把它重组成一个含有条件和问题的情境。

（二）由于容易受语境干扰，不会筛选。在问题情境中，结构不一定良好的，情境可能是复杂的，数据需要取舍。学生容易受多余或不足条件等障碍的干扰，对条件取舍不当，筛选不出关键的信息（如图3）。

（三）由于没挖掘隐含的数量关系，不会分析。问题情境往往对一些关键词或句的理解有所侧重（如图4），还隐含着重要的数量关系，需要学生用四则运算的意义架起理解的桥梁。学生往往没有分析到信息与信息之间，信息与问题之间的关系，因此没能有效地往问题解决的下一步思考。

（四）由于思路不清晰，会做但不会表达。学生解决问题的结果对了，但是当教师让学生表达获取了什么数学信息时，学生表达的语言组织无序，条理不清晰，表达不出重点的条件和问题。

三、从原始到进化再蜕变，方能抽丝剥茧

数学来源于生活，高于生活，用于生活。把课堂回归到生活，找到数学的原始形态，在教学中让学生“跳一跳摘果子”。但片面化以“生活味”作为生活化，并不是真正意义的数学生活化，还得把现实问题进化到数学问题。通过建模，不断提炼、抽象、概括，直到“数学化”。最后应用数学本领，蜕变到现实世界中去，自然而然通过识别、筛选、转化、表达，把问题情境中的具体问题转化成熟悉的数学问题。

（一）巧用数学原始形态，找到教学生长点

面对枯燥的问题情境，学生心里会产生距离感，这样很容易给数学学习蒙上一层严肃的面纱。如果把连接问题情境和生活资源的经脉打通，那问题解决在学生的眼中变得平易近人、奇妙有趣了。

1.抓住数学问题在生活中的原型，摸到数学的根

抽象的数学概念往往是在生活概念的基础上，对事物的现象和共性的符号化的提炼，所以每个数学知识都有它生活的根，也就是最原始的形态、知识表象。它就像树根一样，决定了学生获取数学知识的生长点。

【案例1】植树问题

“植树问题”是一个经典的数学问题。主要分析“棵数”与“间隔数”的三种关系。两头都种，棵数=间隔数+1;两头都不种，棵数=间隔数-1;一头种一头不种，棵数=间隔数。然后将此公式模型应用于实际问题。“植树问题”的三种情况很容易混淆，特别是逆推时的情况。为此，需要找到其原始的根，让原始形态催化“植树问题”。

情境一：出示生活中爬楼梯、锯木、排队的间隔情境;再到校园中树与树之间、学生与学生之间、路灯与路灯之间的间隔情境;最后到自身手指与手指之间的间隔情境，找到间隔这个概念在生活的原始形态，创建一个学生伸手可得的直观原型，能真切地触摸到“间隔”在生活中的根。

情境二：直接從除法的意义入手，把平均分引申到植树问题。通过对比两个问题“20米路，每5米分一段，共分几段”和“20米路，每5米栽一棵，共栽几棵树”，让学生明白植树问题是在以前学过的“平均分”基础上学习的，并明确区别平均分是一段一段地分，而植的树是在段与段之间的点上。从而找到植树问题的原始形态是“平均分”，再过渡到点和段的问题。

情境三：以“植树”为载体，渗透“化繁为简”的思想生长点。原来的问题情境“在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端都要栽），一共要栽多少棵树？”让学生感受到“直接研究大数据100米比较难”，于是把复杂数据变成简单数据，先研究“小数据20米”的情况，再找规律推理出“大数据100米”的情况。

情境四：以微课《植树问题—记忆小窍门》进行原始模拟，促进“植树问题”的生长。通过观看微课视频，把手张开，五指四空相当于两端都种的情况，表示“棵数=间隔数+1”;把大拇指弯曲一下，四指四空相当于一头种，一头不种的情况，表示“棵数=间隔数”;把大拇指和小指同时弯曲，三指四空相当于两端都不种的情况，表示“棵数=间隔数-1”。最后还可以把手旋转90度，变成“爬楼梯问题”等“植树问题”的演变。

生活中数学原始形态牵连着数学知识的“心”，找到它们之间内在的联系，才能找到教学中的生长点。

2.从已有的生活经验出发，构建数学知识的雏形

生活经验给数学学习提供感觉，围绕小学生的生活经验，把“经验”激活，促进数学知识生长，提升抽取信息的能力。

【案例2】求不规则物体的体积

求不规则物体的体积用到的基本策略有两个：一是将不规则物体转化为规则物体;二是用排水法来测量不规则物体的体积，其基本的数量关系是“总体积—水的体积=物体的体积”。两种方法本质上都利用了转化的思想，把先前所获得的知识用于新的、不熟悉的情境的过程。

情境一：唤醒学生玩橡皮泥的经验，感受等积变形。如图5，五年级的学生在生活中见过雪梨，玩过橡皮泥，能直观感受雪梨和橡皮泥都是不规则的物体，不同的是橡皮泥可以捏压变形。在教学时，唤醒学生玩橡皮泥的经验，拿橡皮泥可变形的特性大做文章。提问：乍一看，橡皮泥的体积我们不能直接求出来，但它可以变形，我们又学过长方体和正方体的体积，如果……？这里留白，给予学生充分的时间思考，学生虽然没有现场玩橡皮泥，但在头脑中想象玩橡皮泥的经验，很快便知道：把它捏成长方体或正方体这样的图形就可以计算出体积了。

情境二：激活《乌鸦喝水》的经验，类比捏橡皮泥等积变形的转化。可以把橡皮泥捏成规则图形的体积来研究，形状变了，但体积不变。追问：那雪梨呢？它是不规则物体，又不能变形。怎么办呢？这时，学生皱着眉头，苦思冥想。教师此时诱一诱学生，晾出《乌鸦喝水》这个故事图。学生已经学过《乌鸦喝水》的故事情境，在头脑中想象乌鸦借助石头把水排出来的情景，很快学生就联想到用排水法求不规则雪梨的体积，从而找到解决问题的出路。

（二）巧建数学进化模型，找到教学关键点

北京师范大学周玉仁教授在《小学数学教育》指出，小学生在解决问题的过程中，实质上是完成了两次认识上的转化。抽取数学信息是第一个转化，指从纷乱的实际问题中收集、观察、比较、筛选出有用的信息从而抽象出数学问题。

在问题情境中建立数学进化模型充当转译，使条件与问题“双向通路”。数学进化模型的优势在于既联系问题情境，又转化成学习难度低的问题。数学进化模型包括把信息进化成表格、把信息进化成图、把信息进化成数量关系结构。

1.整理信息，进化成表格

学生面对混乱的信息时，教师要让学生感受“需要整理”的迫切性，引导学生把信息进化成表格。列表仅是一种呈现形式，其背后蕴含着学生独立整理信息、抽取有效信息的意识。

【案例3】应用估算解决实际问题

在教学过程中先让学生把信息一项一项找出来，再把信息板打乱（如图6）。

师问：这么多信息，一下子不好判断，所以我们需要——

生答：需要整理这些信息。

接着把信息进行分类（如图7）。

为了加固，给它加个边框，变成3行、3列，形成简单表格（如图8）。

最后归类完善（如图9）。

形成表格后，让学生观察把信息整理成表格的好处。学生很快就能从表格中找到数量关系，最后再小结列表整理信息的好处。

2.压缩情境，进化成图

遇到复杂的信息时，压缩情境，进化成图，使问题变得更加容易。同时，让学生感受画图的意义，帮助理解抽象的数量关系，感悟图的直观性，从而为学生自觉画图解决问题做了很好的铺垫。

【案例4】连续求一个数的几分之几的应用

学生通过文字信息，难以理解萝卜地面积与大棚面积关系;红萝卜地面积与整个萝卜地面积的关系;红萝卜地与整个大棚面积的关系。此时不妨引导学生画图看看效果，再交流对比，凸显画图的价值。

把信息进化成图，需要描述并提炼情境中关键的数学要素。在抽取信息的过程中，要主动见数思形、见形思数、数形结合。想到哪里有困难，想不清了，学生会不自觉产生画图的需要，从中更清晰地理解和分析数量关系。

3.进化成易理解的数量关系结构

小学阶段的数量关系结构可以分为五种结构：加法、减法、乘法、等分除、包含除。这五种运算结构总的来说都属于部分与整体的关系。掌握部分与整体的关系，就是解决问题的关键。在教学时，可以把问题情境的信息拆解、分析成学生容易接受的数量关系结构。

【案例5】公倍数和最小公倍数的应用

学生已经知道因数和倍数是在整除的情况下产生的，此时才能说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。出示问题“有一些小朋友在排队，6人为一组或9人为一组，都刚好没有剩余，人数在40人以内，问这里可能有多少人？”

让学生用两条除法等式表示情境。

（    ）÷6=（    ）

（    ）÷9=（    ）

接着进化成容易理解的数量关系结构：总人数÷每组人数=组数

因为总人数相同，把括号改成框框。

然后找到解题的关键：总人数既是6的倍数，又是9的倍数，也就是6和9的公倍数。总人数在40人以内，也就是求40以内6和9的公倍数。

在复杂的信息中，从情境剥离，替换成对应的数学问题，聚焦某一数学概念和数学结构，找准关键点就可突围了。

（三）巧变数学生活问题，找到教学链接点

提高学生抽取信息的能力最好的方式就是一次次推进“改变的生活问题”，靠近学生的最近发展区，借助一把梯子，找到数学知识的链接点。

1.巧变生活素材内容，让学生“找最近的教具”动手操作

【案例6】公因数和最大公因数的应用

教材的例题（如图10）。例题涉及二维空间，学生难以突破正方形边长分别与长方形贮藏室长和宽的关系。

因此，在教学时“找最近的教具”，巧妙地改成“数笔的问题”：请同学们准备好6支铅笔，8支圆珠笔，分别分给同一些同学，都正好分完。这里最多可能有几位同学？每人得到几支铅笔，几支圆珠笔？

学生在动手分笔的过程中，对6和8的公因数形成天然的领悟。

2.选择采用不同的生活文本形式，让学生养成融合信息的习惯

在练习的过程中，可以呈现数学相关的绘本、故事、新闻等生活信息，让学生把信息融合重组成简单而突出重点的语句，积累处理非标准文本的经验。

3.加入语境干扰，提高学生分析和处理信息的能力

首先数据要取舍得当。抽取信息的过程中，要排除多余条件，不要在枝节问题上纠缠，在抽取信息时，可借助信息处理参考表进行分析。

然后挖掘隐含的数学信息，发现已知信息与问题目标之间的联系。如图11，在教学时，让学生在“在变中找不变”，虽然形状变了，但正方体的体积和长方体体积相等。从“形变等积”这个结构出发，建立题目中隐含条件之间的关系，找到解决问题的关键。

俗话说：“唯有源头活水来。”抽取信息是问题解决的源头，需要学生多读，其义自现;需要学生养成抽取信息的习惯，筛选、挖掘、提炼、改造信息;学会用图、表、数量关系等形式去表达。抽取信息的素养非一日之功，需要亲自“想数学”“做数学”“说数学”，方能抽丝剥茧。

【参考文献】

[1]郜舒竹.问题解决与数学思考[M].北京：北京首都师范大学出版社，2007.

[2]王光明.新版课程标准解析与教学指导[M].北京：北京师范大学出版社，2018.

[3]上海出版社.小学数学教师[J].上海出版社，2016（3）.

[4]馮克永.中学数学教学中培养学生独立获取数学知识能力的研究.

[5]李修昂.小学低年级学生获取组织表达数学信息能力现状的分析.

[6]中国人民大学书报资料中心.小学数学教与学，2017（3）.

（责任编辑：洪冬梅）