具有饱和发生率和恢复率的HIV模型稳定性分析*

张馨予，王丽媛

(兰州交通大学 数理学院，甘肃 兰州 730070)

0 引言

艾滋病病毒即HIV病毒主要破坏人体免疫系统，其主要攻击T淋巴细胞，并大量损伤T淋巴细胞，导致病毒入侵，使人体免疫功能遭到破坏。自文献[1]中首次引入HIV的CTL免疫反应模型，HIV模型就引起了众多研究者的关注与讨论，并建立了很多CTL免疫模型进行研究[2-10]。发生率和恢复率均是传染病动力学中不可或缺的重要因素。研究发现，饱和发生率比线性发生率更能反应出T淋巴细胞被感染后的变化趋势。2015年，文献[11]提出了带有饱和发生率的CTL免疫反应模型，即模型(1)：

(1)

(2)

1 解的非负性和有界性

引理在初始条件T(0)>0,I(0)≥0,V(0)≥0,C(0)>0的情形下，模型(2)的解(T(t),I(t),V(t),C(t))是非负的，且始终有界。

假设存在最小的时间t2>0使得V(t2)=0，代入模型(2)的第三个方程得到

通过求解方程可以得到

故模型(2)的解是非负的。因此，当T(0)>0,I(0)>0,V(0)>0,C(0)>0时，解是非负的。

下面证明解的有界性。令

对L(t)求导，得

故模型(2)的解始终有界。

由模型(2)的前两个方程得

λ1-d1T(t)-d2I(t)-qI(t)C(t)=

λ1-d1T(t)-I(t)[d2-qC(t)]≤

λ1-n(T(t)+I(t)),n=min{d1,d2}。

于是得

由模型(2)的第四个方程得

由引理可得模型(2)的正向不变集为

(3)

下面就在Ω里研究模型(2)的动力学性态。

2 基本再生数和平衡点

基本再生数是HIV模型中，为了刻画在发病初期疾病传染时的一个重要阈值，它表明了在一个全部都是未感染的T细胞中混入一个已感染T细胞，在其平均感染周期内所能传染的T细胞数量。

根据下一代矩阵的方法[14]，得到

即有

因此，下一代矩阵为

FV-1=

将无病平衡点代入，并得到基本再生数

证明令

通过求解方程得到

其中V*为下面方程的正解：

d3N2β(kλ1b-d4λ1-d4c)-(d1α+β)·

(qbλ2d3N2+d2d3d4N2b-cd3d4N2)]V*+

N2[qd1d3λ2b+d4(d1d2d3b-Nbβλ1-d1d3c)]=0。

由此可以得到V*的一元三次方程A1V*3+A2V*2+A3V*+A4=0，通过根与系数关系有

d3N2β(kλ1b-d4λ1-d4c)-(d1α+β)(qbλ2d3N2+

d2d3d4N2b-cd3d4N2)]<0，

A4=

N2[qd1d3λ2b+d4(d1d2d3b-Nbβλ1-d1d3c)]>0

。

由解的非负性可知，在域Ω中模型(2)有一个正平衡点E*。

3 稳定性分析

3.1 无病平衡点稳定性分析

定理21)若R0<1，则无病平衡点E0是局部渐近稳定的；

2)若R0>1，则无病平衡点E0是不稳定的。

它的特征多项式为

(ω+d1)(ω+d4)·

即得

得到特征值

ω1=-d1,ω2=-d4。

由根与系数关系可得

根据Hurwitz判据可以得出，当R0<1时，所有的特征值都有负实部，当R0>1时，特征值存在一个正值。因此，结论得证。

证明设(T(t),I(t),V(t),C(t))为模型(2)满足初始条件(3)的任一正解。为方便计算，构造出正定的Lyapunov函数，

沿轨线求导得

代入λ1=d1T0,λ2=d4C0得

所以在D0中最大的不变集为

3.2 正平衡点稳定性分析

定理4若R0>1，正平衡点E*=(T*,I*,V*,C*)是全局渐近稳定的。

证明设(T(t),I(t),V(t),C(t))为模型(2)满足初始条件(3)的任一正解。为方便计算，构造正定的Lyapunov函数，

沿轨线求导得

代入

得

{(T,I,V,C)|T=T*,I=I*,V=V*,C=C*}。

基于LaSalle不变集原理，当R0>1时，正平衡点E*=(T*,I*,V*,C*)是全局渐近稳定的。

4 数值模拟

本节通过数值模拟来验证所得结果的有效性。

例1在模型(2)中取参数：λ1=40,d1=0.1,β=0.02,α=0.1,b=0.4,c=0.3,d2=2,q=0.5,N=15,d3=1,λ2=90,k=0.3,d4=0.3。经计算可得，基本再生数R0<1，所取参数满足定理3的条件，因此无病平衡点E0(400,0,0,300)为全局渐近稳定的(如图1所示)。

图1 无病平衡点E0稳定性的数值模拟

例2在模型(2)中取参数：λ1=200,d1=0.1,β=0.02,α=0.1,b=0.4,c=0.3,d2=2,q=0.5,N=15,d3=1,λ2=90,k=0.3,d4=0.3。经计算可得，基本再生数R0>1，所取参数满足定理4的条件，因此正平衡点E*(1 185.1,0.35,5.25,461.4)为全局渐近稳定的(如图2所示)。

图2 正平衡点E*稳定性的数值模拟

5 结语

本文提出了具有饱和发生率和饱和恢复率的HIV模型。利用Hurwitz判据和LaSalle不变集原理证得,当R0<1时,无病平衡点是局部渐近稳定的和全局渐近稳定的。通过构造正定的Lyapunov函数得,当R0>1时,正平衡点是全局渐近稳定的。讨论结果表明,虽然饱和恢复率不影响系统的动力学特性,但饱和恢复率影响基本再生数,从而影响到平衡点的全局稳定性,即加入饱和恢复率后使模型(2)的基本再生数减小,降低了T细胞被感染的风险,延缓了感染HIV的进程,并对延长患者生命和减少感染起到了积极作用。