Vallis系统的不变代数曲面研究*

杨 静，谈文慧，魏周超

（中国地质大学（武汉） 数学与物理学院，武汉 430074）

引 言

一些经典的三维混沌系统虽然形式很简单，但其动力学性质却极为复杂[1-2].为了便于研究，学者们往往会通过证明系统的可积性，以及寻找系统的不变代数曲面，从而将系统降维，以此达到简化系统的目的.此外，若一个微分系统有足够多的首次积分，则可证明此微分系统是可积的，从而就可以找到系统的不变代数曲面.通过将系统限制在不变代数曲面上，然后研究不变代数曲面上的动力学性质，这对我们研究系统的整体动力学性质起着非常重要的辅助作用.因此，研究微分系统的可积性和不变代数曲面是非常有必要的.在学者们的研究过程中，如何去寻找系统的首次积分就成了问题的关键，但遗憾的是，目前并没有一个通用有效的方法可以解决此问题.Darboux 多项式与首次积分的联系密切，可以通过研究系统的Darboux 多项式来寻找系统的首次积分，或者通过证明系统不存在Darboux 多项式，进而推出系统不存在首次积分.但同样地，寻找系统的Darboux 多项式也是一个困难的问题，目前仍有许多难题需要被解决.

学者们对动力系统的代数可积性及不变代数曲面问题的研究，可以追溯到Darboux[3]和Poincar[4]的研究：Darboux 最早给出了代数几何与寻找首次积分之间的联系；Poincar则研究了有理首次积分，并提出：寻找一个多项式向量场的Darboux 多项式是一项非常困难的任务，目前还没有找到一个有效的方法去计算它.1996年，Labrunie 通过初等微分代数方法[5]，计算出了Lotka-Volterra 系统的所有多项式一阶积分[6].1999年，Ollagnier 基于代数和组合学的思想，研究了Lotka-Volterra 系统的齐次有理首次积分[7].2000年，Llibre 等利用求解线性偏微分方程的特征曲线方法，描述了Rikitake 系统的所有不变代数曲面.此外，Llibre 等还证明出在某些参数条件下，系统存在一个多项式首次积分或有理首次积分[8].2002年，Llibre 等使用加权齐次多项式和特征曲线的方法，通过求解线性偏微分方程，对经典Lorenz 系统的所有Darboux 不变量、不可约Darboux 多项式、有理首次积分及代数可积性进行了分类讨论[9].2002年，Swinnerton-Dyer 通过对多项式权值的重新定义，分析并计算了Lorenz 系统的不变代数曲面[10].2007年，Lü等通过使用加权齐次多项式和特征曲线法，研究了Chen 系统的Darboux 多项式和代数可积性问题[11].2011年，Deng 等通过对多项式权值的重新定义，求出了Chen 系统的所有不变代数曲面[12].2018年，Murilo 等研究了一个金融模型的不变代数曲面和Hopf 分岔问题，并基于加权齐次多项式和特征曲线的方法，证明出该模型对于任何参数值都不存在不变代数曲面[13].2018年，Aybar 等利用计算机代数工具，研究了一个二次自相互作用的二饵一捕食者系统的动力学性质，并给出了该系统存在不变代数曲面的条件[14].2019年，Ferragut 等研究了一类平面多项式向量场的Darboux 首次积分问题，证明了这些向量场具有扩展的约简过程，并给出计算系统Darboux 首次积分的算法[15].2020年，Dias 等利用Poincar紧化，对一个病毒系统做全局分析，证明出对于两组参数值，系统具有不变代数曲面[16].同年，Dias 等利用三维空间中的Poincar紧化，对Maxwell-Bloch 系统进行了全局分析，证明出对于某些参数值，该系统具有首次积分和不变代数曲面[17].

ENSO (El Niño southern oscillation)现象是指太平洋东部和中部大规模变暖的现象，这种现象的产生与热带太平洋海洋-大气系统的无序性和地球上最突出的气候变化有关，一般会持续几个月.ENSO 现象会对当地渔业及海洋生物的迁移产生巨大的影响，并且热带海洋表面温度场对全球气候也会产生不容忽视的影响，这些影响使学者们对ENSO 现象产生了极大的兴趣.在文献[18-21]中，学者们都针对ENSO 现象提出了模型，并成功地解决了部分问题，但这些模型都比较复杂.1988年，Vallis 在研究ENSO 现象时，提出了一个简化的微分方程组，即Vallis 模型[22].Vallis 系统是一个三维微分系统，它模拟了太平洋热带地区的大气动力学与年降水量、气温和风力的变化有关.本文引入Vallis 系统如下：

式中变量x表示风力，变量y表示太平洋东西部近水面温差，变量z表示近水面平均温度，参数b和c为正实数，P为实数.

尽管Vallis 模型忽略了地球自转、压力场和波动现象等一些影响，但它提供了对观测到的过程的正确描述，并描述出许多观测到的ENSO 现象.2008年，Krishchenko 等利用Vallis 模型，研究了右侧可微时变系统紧不变集的局部化问题[23].在文献[24]中，Euzebio 等讨论了Vallis 系统的周期解的存在性及稳定性问题.2015年，Garay 等研究了Vallis 模型的混沌问题[25].2017年，Borghezan 等分析了Vallis 系统的混沌与周期性，证明了嵌入在混沌区域的周期结构的存在性，并且这些周期结构是以周期相加序列的形式存在的[26].2019年，Rajagopal 等研究了Vallis 模型的反单调性、分岔性和多稳定性问题，分别给出了当P为0 和不为0 时产生Hopf 分岔的参数条件[27].在本文中，我们将从代数学方面，研究系统(1)的Darboux 多项式和不变代数曲面问题.

本论文构造如下：第1 节给出了一些Darboux 多项式的相关定义及求解线性偏微分方程的特征方法，并给出了本文的主要定理；第2 节给出了主要定理的证明；第3 节给出了本文的总结.

1 主要结论和定义

设f(x,y,z)是关于变量x,y,z的实多项式，若我们称f是系统(1)的Darboux 多项式，其中k(x,y,z)是实多项式，k称为f的余因子.由于系统(1)是三维二次系统，则由可知，余因子k(x,y,z)的阶数至多为1.若f(x,y,z)是Darboux 多项式且f=0是曲面，那么它就是不变的，我们称为不变代数曲面.

对X∈Rn，若存在S=(s1,s2,···,sn)∈Nn,m∈N，对所有α ∈R{0}，有g(αsX)=g(αs1x1,αs2x2,···,αsnxn)=αmg(X)，则多项式g(X)被 称为加权齐次的，其中R 代表实数域，N代 表正整数集.我们称s为g的权，m表示加权阶数，X→αsX表示赋予变量新的加权次数.

为了方便读者理解，我们将求解线性偏微分方程的特征方法总结如下.考虑一阶线性偏微分方程：

这里A=A(x,y,z),a,b,c,d,f是C1函数，Ax,Ay,Az分别是A(x,y,z)关于x,y,z的一阶偏导.

对于xyz空间中的曲线(x(t),y(t),z(t))，若对曲线上的每一点(x0,y0,z0)，向量(a(x0,y0,z0),b(x0,y0,z0),c(x0,y0,z0))与曲线相切，则曲线(x(t),y(t),z(t))被称为线性偏微分方程(2)的特征曲线.并且，特征曲线是如下系统的解：

为了方便起见，我们将z代替t作为新的自变量，将系统(3)简化为如下方程(这里假设c(x(t),y(t),z(t))≠0)：

则常微分方程(4)称为偏微分方程(2)的特征方程.

假设方程(4)有隐式解g(x,y,z)=c1，h(x,y,z)=c2，其中c1,c2是任意常数.现考虑如下变量替换：

且变换(5)的逆变换为x=p(u,v,w),y=q(u,v,w),z=s(u,v,w).于是我们将方程(2)变成关于w的常微分方程(对于固定的u,v)：

本文的主要定理如下.

定理1当有以下条件之一成立时，系统(1)有不变代数曲面.

(ⅰ) 当c=1/2，P=0时，系统(1)的Darboux 多项式为an(x2+2bz−2b)2n，对应的余因子为k=−2n；另一个Darboux 多项式为an(x2+2bz−2b)2n−1，对应的余因子为−2n+1，其中an为任意非零实数.

(ⅱ) 当c=1，P=0时，系统(1)的Darboux 多项式为对应的余因子为k=−2n，其中a0为任意非零实数.

2 定理1的证明

通过变量替换

我们将系统(1)变为

接下来，我们继续对系统(8)做变量替换:

则系统(8)变为

其中上标点表示变量对T的导数.

若f(x,y,z)是系统(1)的一个Darboux 多项式，其余因子为k(x,y,z).不失一般性，我们假设k(x,y,z)=k0+k1x+k2y+k3z.令F(X,Y,Z)=αl f(α−1X,α−2Y，α−2Z),K(X,Y,Z)=α2k(α−1X,α−2Y,α−2Z)，其中l为f的权齐次分量中的最高权次，(x,y,z)的权次为(1,2,2).假设F=F0+αF1+α2F2+···+αmFm，这里Fi是一个权齐次多项式，其权次为l−i，且i=0,1,···,m,l≥m.由Darboux 多项式定义，我们可以得到以下等式：

式中，我们仍用x,y,z代替X,Y,Z.比较等式(11)两边 α−1的系数，可以证明k2=k3=0.再比较等式(11)两边αi,i=0,1,···,m+2的系数，我们有

其中j=2,3,···,m+2；当j>m时，Fj=0；L是线性偏微分算子，

那么与线性偏微分算子(13)相关的特征方程为

经计算，特征方程(14)的通解为x2−2az=d1,y2+z2=d2,此处d1和d2是积分常数.接下来，我们做变量替换：

则变换(15)的逆变换是

在后面的计算中，为了方便，我们只考虑

通过变换(15)和(17)，方程(12)的第一个方程变为如下常微分方程(对于固定的u,v)：

这里G0是关于u,v的任意光滑函数.为了使是一个权齐次多项式，我们必须使k1=0，于是有

因此，系统(1)的每个Darboux 多项式的余因子是一个常数.由于u和v在x,y,z中的权次分别是2 和4，则F0的权次应为l=4n或l=4n−2,n∈N.所以F0的形式为

此处l=4n，且当i=0,1,···,n时，ai是任意实数；或

此处l=4n−2，且当i=1,2,···,n时，ai是任意实数.

对于这两种不同的情况，我们将证明分为两部分.

2.1 F0的形式为式(20)

将F0代入式(12)的第二个方程，我们可以证明

将方程(23)对w积分，我们得到

进一步，条件(25)可等同以下条件：

(ⅰ)c=1/2，k0=−2n，且存在i0∈0,1,···,n，使得ai0≠0；

(ⅱ)c≠1/2，k0=−2n，a0≠0，对i=1,2,···,n，有ai=0.

这里对两个条件进行说明，我们首先假设2c−1=0.于是条件(25)可以被简化为

由式(26)可以看出，当k0≠−2n时，对i=0,1,···,n，有ai=0，此时F0=0.将F0=0代入式(11)，可以发现，对i=1,2,···,n，有Fi=0，则F=0，Darboux 多项式不存在；当k0=−2n时，对i=0,1,···,n，ai可以为任意实数，但须存在i0∈0,1,···,n，使得ai0≠0(否则有F0=0 )，即为条件(ⅰ)；现在我们假设 2c−1≠0，由式(25)的第二个式子可以看出，若a0=0，则一定有a1=0，同理递推，对i=2,3,···,n，有ai=0，所以a0≠0(否则有F0=0)；在式(25)的第二个式子和第三个式子中，令i=0，则有

由于a0≠0，则必须有k0+2n=0，于是可以得到a1=0，递推有ai=0,i=2,3,···,n，即为条件(ⅱ).

接下来，我们分别在这两个条件下进行计算.

条件(ⅰ) 当c=1/2,k0=−2n，且存在i0∈0,1,···,n，使得ai0≠0时，有F1=0.由式(11)，当j=2时，计算得

通过使用变换(15)和(17)，我们得到以下常微分方程：

将方程(28)关于w求积分，得到

由条件(ⅰ)，我们得到P=0，且有

这里bi是实常数，其中i=0,1,···,n−1.同样地，由式(11)，当j=3时，计算得

类似地，通过计算，我们得到

由于F3是权次为4n−3的权齐次多项式，则有(u,v)=0，且

这表明F2=0,F3=0.循环计算，当i=4,5,···,m时，我们可以得到Fi=0.由式(33)的第一个式子得到，对i=0,1,···,n−1，有ai=0.结合条件，存在i0∈0,1,···,n，使得ai0≠0.由此可得，系统(8)的Darboux 多项式为F=an(x2−2bz)2n，对应的余因子为−2n.回到系统(1)，我们得到系统(1)的Darboux多项式为F=an(x2+2bz−2b)2n，对应的余因子为−2n.

条件(ⅱ) 当c≠1/2，k0=−2n，a0≠0，且对i=1,2,···,n，有ai=0 时，我们有F0=a0(y2+z2)n,F1=0.由式(11)，当j=2 时，计算得

由于F2是权次为4n−2的权齐次多项式，则有

这里bi是实常数，其中i=0,1,···,n−1.接下来，由式(11)，当j=3时，计算得

于是我们有

将方程(37)关于w求积分，得到

由于F3是权次为4n−3的权齐次多项式，则有(u,v)=0，且

这表明F3=0.因为a0≠0，c≠1/2，由式(39)的第一个式子知，b1≠0；由式(39)的第三个式子知bi=0,i=2,3,···,n，由式(39)的第二个式子，令i=1，有(c−1)b1=0，于是求得c=1，b1=−a0n/b.代入式(35)，我们有

将F3代 入式(11)，当j=4时，我们求得

与F3类似的求解方法，我们求得

这表明F5=0.在式(45)的第二个式子中，令i=1，得到于是有

循环计算，我们得到

因此系统(8)的Darboux 多项式为

对应的余因子为−2n.回到系统(1)，我们得到系统(1)的Darboux 多项式为对应的余因子为−2n.

2.2 F0的形式为式(21)

将F0代入式(11)的第二个方程，我们计算得到

与上一种情况计算方法相似，我们求出

其中a0=an+1=0.进一步，条件(52)可以等同以下条件：

(ⅰ)c=1/2，k0=−2n+1，且存在i0∈1,2,···,n，使得ai0≠0；

(ⅱ)c≠1/2，F0=0.

这里对两个条件进行说明.我们首先假设2c−1=0，于是条件(52)可以被简化为

若k0−1+2n≠0，则对i=1,2,···,n，必须有ai=0，此时F0=0，Darboux 多项式不存在.若k0−1+2n=0，则须存在i0∈1,2,···,n,使得ai0≠0，否则F0=0，即为条件(ⅰ).现在假设2c−1≠0，于是由a0=an+1=0和条件(52)的第一个式子，可以看出，对i=1,2,···,n，有ai=0，则有F0=0，即为条件(ⅱ).显而易见，当F0=0时，系统(8)不存在Darboux 多项式，所以对条件情况(ⅱ)不再进行分析.现在我们计算系统(10)在条件(ⅰ)下的Darboux 多项式.

当c=1/2，k0=−2n+1，且存在i0∈1,2,···,n，使得ai0≠0时，有F1=0.由式(11)，当j=2时，计算得

按照之前类似的计算，我们能够得到

将式(55)关于w求积分，得到

由于F2是权次为4n−4的权齐次多项式，则有

由于存在i0∈1,2,···,n，使得ai0≠0，且c=1/2，则P=0.于是F2可写为

这里bi是实常数，其中i=0,1,···,n−1.接下来，由式(11)，当j=3时，计算得

类似地，我们得到常微分方程(对于固定的u,v)：

将方程(60)关于w求积分，得到

由于F3是权数为4n−5的权齐次多项式，则有G3(u,v)=0，并且有

这表明F3=0，且对i=1,2,···,n−1，有ai=0，对i=0,1,···,n−1，有bi=0.此时F2=0.循环计算，可以得到Fi=0,i=4,5,···,n.根据条件(ⅰ)，存在i0∈1,2,···,n，使得ai0≠0，于是有an≠0，因此系统(8)的Darboux 多项式为F=an(x2−2bz)2n−1，余因子为−2n+1.回到系统(1)，我们得到系统(1)的Darboux 多项式为F=an(x2+2bz−2b)2n−1，对应的余因子为−2n+1.

定理1 证毕.

3 结 论

基于加权齐次多项式和特征曲线的方法，通过求解线性偏微分方程，研究了Vallis 系统的Darboux 多项式和不变代数曲面问题.最终，在适当的参数条件下，我们得到了Vallis 系统的三类Darboux 多项式.除了Darboux 多项式和不变代数曲面问题，Vallis 系统的首次积分和代数可积性等问题也值得思考.