关注知识本质 巧用转化思想

李燕华

“平面图形的认识（二）”是在“平面图形的认识（一）”的基础上，对平行线和角的关系的进一步研究，介绍了图形的平移特征及三角形、多边形的基本知识。善于关注知识的本质，巧妙运用转化思想，能帮助我们轻松找到解决问题的线索。

一、抓住平行线的本质

1.如图1，将一块含有60°角的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1=45°，则∠2为（ ）。

A.15° B.25° C.35° D.45°

【解析】正确作出辅助线，熟练运用“两直线平行，内错角相等” 是关键。如图2，我们观察发现，60°的角在两条平行线之间，并与∠1、∠2是异侧关系，于是，过三角形的60°角的顶点F作EF∥AB，先根据平行线的性质推出∠EFG=∠1=45°，进而求出∠EFH=15°，再求出∠2=15°。

2.如图3，一束光线AB先后经平面镜OM、ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM=40°时，∠DCN的度数为（ ）。

A.40° B.50° C.60° D.80°

【解析】此题考查了平行线的性质及物理中的“入射角等于反射角”，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的基础。平面镜反射时，由“入射角等于反射角”，得∠OBC=∠ABM=40°，从而得∠ABC=180°-∠ABM-∠OBC

=100°。根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠BCD=180°-∠ABC=80°，从而得∠BCO=∠DCN=[12]（180°-∠BCD）=50°。

二、理解三角形基本概念

3.如图4，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB=5，BC=4，AC=6，则CE∶AD∶BF值为 。

【解析】我们要理解“三角形的三条高线交于一点”，得到BF⊥AC。根据三角形面积公式，已知三角形的底边，可以得出高之比，从而求得CE∶AD∶BF=12∶15∶10。

4.如图5，在△ABC中，BC=3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于 。

【解析】把问题分解成多个知识点，抓住各知识的本质，各个击破，方能有效解决问题。如图6，根据点P、Q分别是AB、A1C1的中点，可想到取AC的中点M和A1B1的中点N，连接PM、MQ、NQ、PN。根据平移的性质，得B1C1=BC=3，PN=5。根据三角形的中位線性质，知NQ=[12]B1C1=[32]。由三角形的三边关系，得5-[32]≤PQ≤5+[32]（点P、N、Q也可能在同一条直线上），即[72]≤PQ≤[132]。故PQ的最小值为[72]。本题用到的三角形中位线定理将在八年级下学期学习。

三、紧扣多边形角的关系

5. 如图7，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1=19°，则∠2的度数为（ ）。

A.41° B.51° C.42° D.49

【解析】我们要会求正六边形的每个内角，能综合运用“两直线平行，同位角相等”、三角形的内角和、三角形的外角定理。如图8，延长BA交GE于点H，由正六边形的每个外角都相等，得∠AFH=∠FAH=60°，所以∠AHF=60°，由三角形的外角定理，得∠2=∠G=∠AHF-∠GAH=41°。

（作者单位：江苏省常州市新北区小河中学）