巧用数学思想，提升数学思维和素养

眭亚燕 沈秋萍

数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁。通过学习平面图形的认识（一），我们了解了线段、射线、直线的概念、性质以及三者间的关系，掌握了角、余角、补角、对顶角的概念及相关计算，认识了平行和垂直。通过学习平面图形的认识（二），我们对直线和角的关系继续进行了深入研究，同时了解了图形的平移的特征并学习了三角形的入门知识。下面，我们以“线段”“角”为例，谈谈如何巧用数学思想解决问题。

一、数形结合思想

数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的数学思想。

如图1，已知线段a、b，求图2中线段AB的长。

求线段AB的长，即求两点之间的距离（数）。这个距离是一个数，而已知条件是图形，这就需要我们正确地识别图形（形），数形结合着思考。AB的长为2a-b。

二、方程思想

方程思想的本质即从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程），然后通过解方程（组）来使问题获解。方程思想在解决线段问题的时候是一个很重要的工具。

已知，如图3，点C、D在线段AB上，且AC∶CD∶DB=2∶3∶4，如果AB=18，那么线段AD的长是多少？

根据已知条件中的比值，设合理的未知数，列正确的方程，是解决本题的关键。因为AC∶CD∶DB=2∶3∶4，故可设AC=2x，CD=3x，DB=4x，则AB=9x。又因为AB=18，所以9x=18，解得x=2，故AD=2x+3x=5x=10。

三、整体思想

整体思想就是从问题的整体性质出发，对问题的整体结构进行分析，发现问题的整体结构特征，用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，有目的、有意识地进行整体处理的思想。

例如，如图4，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，直线上有A、B、C、D四点。点P沿直线l从右向左移动，当点P与A、B、C、D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有 个。

利用整体思想去思考线段的总条数是一种巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类。由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报，这时，我们只要数出线段总条数即可。因为图中共有6条线段：DC、DB、DA、CB、CA、BA，所以发出警报的点P最多有6个。

四、化归思想（化未知为已知）

化归思想的本质在于将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎、归纳，转化为已知的、熟悉的、简单的问题。

如图5，C、D是线段AB上的两点，E是AC的中点，F是BD的中点，若EF=m，CD=n，则AB= 。

我们可以利用中点的性质转化线段之间的倍分关系。在不同的情况下，灵活选用中点性质的表示方法，有利于提高解题的简洁性。因为AE=EC，FB=FD，所以AB=AE+FB+EF=EC+FD+EF=EF-CD+EF=2m-n。

五、从特殊到一般的思想

从特殊到一般，即先观察一些特殊的事例，然后分析它们具有的共同特征，最后做出一般的结论。从简单情形中认识复杂的事物，能使抽象的数学问题变得更简单，从而破解问题，乃至发现规律。

例如，一条直线上有若干个点，以任意两点为端点可以确定一条线段，线段的条数与点的个数之间的对应关系如表1所示。请你探究表内数据间的关系，根据发现的规律，求表中p和q的值。

求p和q的过程，就体现了“从特殊到一般”的思维探索过程。我们设线段有n个点，分成的线段有m条，可以发现表2中的规律。从特殊到一般，找到规律是关键。

再如，如图6，在△ABC中，∠A=80°，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB。（1）求∠P的度数;（2）如果将条件“∠A=80°”改为“∠A=α”，∠P的度数如何表示？

这里的第一问中，∠A=80°，∠A是具体的度数，同学们可以很容易地理清解题思路，得到∠P=130°。而第二问中，∠A=α，特殊的80°换成了一般化的α，此时方法不变，体现了解法的一般性和结论的一般性，得到∠P=90+[α2]。我们还可以将图形一般化，将三角形变成四边形。同学们，你能用类似的方法，把这个一般化问题独立解决吗？

如图7，在四边形ABCD中，PB平分∠ABC，PC平分∠DCB，∠A+∠D=α，求∠P的度数。

六、建模思想

数学语言作为数学理论的基本构成成分，具有“高度的抽象性、严密的逻辑性、应用的广泛性”。简单地讲，数学语言科学、简洁、通用。用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时将实际问题抽象成数学模型来解决，会更方便。

例如，往返于甲、乙两地的火车，中途要停靠三个站，则有 种不同的票价（来回票价一样），铁路公司需准备 种车票。

本题的实质是问共有多少条线段。我们可以从这个生活问题中抽象出数学模型——数线段，运用数学知识解决生活中的票价与票种问题。因为中间有3个站点，所以相当于一条直线上共有5个点，由表2的规律可知共有10条线段，因此共有10种不同的票价。有多少种车票是要考虑顺序的，10×2=20，故共有20种车票。

七、类比思想

类比思想是我们学习道路上伟大的引路人。类比揭示了数学知识间的关系，能让我们感悟数学思想和方法的内在联系，升华思维，创造性地解决问题。

例如，已知△ABC和四边形ABCD，我们能否分别将它们分成面积相等的四个部分？同学们在学习了三角形的中线、角平分线、高之后，不难发现，三角形的中线具有平分三角形面积的性质。因此，我们只需要先作一条三角形中线把三角形面积二等分，再用同样的方法继续将两个三角形分别二等分即可。那四边形怎么分呢？我们可以利用类比思想，将四等分四边形面积的问题转化为四等分三角形面积的问题，构造相应的三角形即可。

八、分类思想

当一个问题因为某个量或某个图形的情况不同而有可能引起结果不同时，我们需要对这个量或图形的各种情况进行分类讨论。分类讨论是一种重要的思想方法，更是一种解题策略。分类的原则是不重不漏。

例如，已知点P是射线AB上一点，当[PAPB]=2或[PAPB]=[12]时，称点P是射线AB的强弱点。若AB=6，P是射线AB的强弱点，则PA= 。

求PA的距离，需要我们对点P的位置进行分类讨论（当点P在点B右侧时和当点P在点B左侧时），我们可以画出相关图形进行求解。求得PA=2或4或12。

再如，已知直线AB∥CD，点P不在直线AB、CD上，连接PB、PD，则∠ABP、∠CDP、∠BPD有何数量关系？为什么？

对于七年级的我们来说，本题没有相关的图形，难度较大。同学们不妨自己动手画出图形，思考∠ABP、∠CDP、∠BPD这三个角的大小。结果出现的情况是唯一的吗？显然不是。我们可以按点P的位置分类讨论。情况1：点P在直线AB、CD之间。（1）点P在直线BD的左侧时，∠BPD=∠ABP +∠CDP;（2）點P在直线BD的右侧时，同理可解。情况2：点P在直线AB、CD之外。希望同学们能用类比思想，按照“观察→操作→思考→说理”这个流程，一步一步去解决问题。

同学们，数学的精神和数学中的思维方法、研究方法、推理方法、看问题的方式等，会在我们的生活、学习中随时随地发生作用，使我们终身受益。希望同学们在日后的学习或者生活中，能领悟到这句话的内涵，在数学的道路上越走越远。

（作者单位∶江苏省常州市新北区浦河实验学校，江苏省常州市田家炳初级中学）