Banach代数中的p群逆

周心悦，刘大勇，陈焕艮

(1.杭州师范大学数学学院，浙江 杭州 311121；2.中南林业科技大学理学院，湖南 长沙 410004)

0 引言

自从Drazin逆被引入以来，多方学者对其进行了研究，并将其进一步推广，从而推进了广义逆理论的发展.1996年，Koliha在[1]中引入了广义Drazin逆.2012年，Wang在[2]中引入了一种介于Drazin与广义Drazin逆的广义逆，称为伪Drazin逆.从文[3-12]中可以看到，在这些广义逆的研究中，往往最终聚焦到对于算子矩阵的广义逆研究.

ax=xa,x=x2a,ak+1x=ak，

(1)

ax=xa,xax=x,axa=a.

(2)

方程(1)等价于

令

(5)

(6)

在Banach代数中,我们引进了p群逆，并研究了其相关的各种性质，进而对指标为1的p-Drazin逆进行了新刻画.

1 基本性质

方程(6)中的解x若存在,则是唯一的,写作a×.根据定义,x是a的p-Drazin逆,由文[2]，所以是唯一的.

可得M×=0.但M没有群逆,因为对于任意可与M交换的矩阵X,M-MXM=M≠0.

□

由上述并结合文[2]，容易得到关系：

e2=(1-ax)2=1-ax-ax+axax=1-ax=e.

xa=(a+e)-1(1-e)a=(a+e)-1a(1-e)=a(a+e)-1(1-e)=ax.

xax=(a+e)-1(1-e)a(a+e)-1(1-e)=

(a+e)-1(1-e)(a+e)(a+e)-1(1-e)=

(a+e)-1(1-e)(1-e)=(a+e)-1(1-e)=x.

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□

2 p群可逆的和问题

本节的目的是研究Banach代数中两个p群可逆元素的和何时具有p群逆.

证明令

令

因此有

a+b-(a+b)2x=(a+b)[1-(a+b)x]=(a+b)(1-bb×aπ-abπa×)-(a+b)y=

a-a2bπa×+b-b2b×aπ-babπa×-(a+b)y=

a-a2a×+b-b2b×+b2b×aa×-baa×-(a+b)y=

a-a2a×+b-b2b×-(b-b2b×)aa×-(a+b)y,

(1+adb)d=aπ+a2ad(a+b)d.

(1+adb)-(1+adb)(1+adb)d=(1+adb)[1-(1+adb)(aπ+a2ad(a+b)d)]=

(1+adb)[1-aπ-a2ad(a+b)d-adba2ad(a+b)d]=

(1+adb)[aad-a2ad(a+b)d-aadb(a+b)d]=

(1+adb){aad[1-(a+b)(a+b)d]}=

(aad+adb)[1-(a+b)(a+b)d]=

(⟸)根据[3,定理6.22]和ab=ba,我们有

只需核实

(a+b)-(a+b)2(a+b)d=

(a+b)[1-aad(1+adb)d-bad(1+adb)d-

(a+b)[1-aad(1+adb)d-bad(1+adb)d-bbdaπ]=

a+b-bbdaπa-b2bdaπ-(a2ad+baad+aadb+b2ad)(1+adb)d=

a+b-bbdaπa-b2bdaπ-ad(a+b)2(1+adb)d=

a+b-bbdaπa-b2bdaπ-a2ad(1+adb)2(1+adb)d=

a+b-bbdaπa-b2bdaπ+a2ad[(1+adb)-(1+adb)2(1+adb)d]-a2ad(1+adb)=

a+b-bbdaπa-b2bdaπ+a2ad[(1+adb)-(1+adb)2(1+adb)d]-a2ad-aadb=

a-a2ad-bbdaπa+b-b2bd+b2bd-b2bdaπ-aadb+a2ad[(1+adb)-(1+adb)2(1+adb)d]=

□

3 算子矩阵

本节主要研究2×2算子矩阵何时具有p群逆，我们有：

证明显然M有g-Drazin逆且

这里

那么MMd=MdM,Md=MdMMd.

只需验证

可验证

-a2z-abdd+bdπ=

因此M×=Md.

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□

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进一步，我们还有：

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