半平面体在边界上受法向三角形分布荷载的应力分量

陈 彦, 孙 云

(1.扬州职业大学, 江苏 扬州 225000; 2.扬州大学, 江苏 扬州 225000)

近几年来铁路运行速度大大提高,对路基设计的标准提出了更高的要求,设计时要依据路基的地层条件计算沉降量。沉降量与土中的应力有关，因此,在研究土的变形时必须掌握土中应力的计算。现有研究中,应力分量计算公式要么过于复杂并不实用，要么不够精确，或者没有具体的计算结果和精确值[1-2]。许多弹性力学教材介绍了半平面体在边界上受法向集中力和法向分布力的应力分量计算方法,对集中力和均布荷载的情况都推导出了应力分量的计算式[3],但是对于非均布荷载的情况并没有计算实例。

三角形分布荷载又称为线性分布荷载,为最常见的非均布荷载,对于工程应用有着重要意义。根据弹性力学教材中半平面体在边界上受法向集中力和法向分布力的应力分量计算方法,通过三角函数换元积分法计算半平面体在边界上受法向三角形分布荷载应力分量的精确值,得到的结果简洁直观和实用,便于工程计算。

1 半平面体应力分量的换元积分式

半平面体在其边界的AB一段受法向三角形分布荷载,如图1所示,为了求出半平面体内任意一点M处的应力,以AB之间任意一点为坐标原点O,建立如图1所示的坐标系,设M点坐标为(x,y),|OA|=a,|OB|=b,在AB之间任取一点C坐标为(0,ξ),荷载集度为q(ξ),取微小长度dξ,将其上所受的力dF=q(ξ)dξ看作一个微小集中力,教材中关于半平面体在边界上受法向分布力的计算公式如下:

图1 半平面体在边界上受法向三角形分布荷载

(1)

从图1可以看出,三角形分布荷载集度q(ξ)的函数表达式为：

(2)

从式(1)积分可以看出,如果直接积分将会非常困难,所以考虑换元法,如图1所示,设直线MC的倾斜角为θ,斜率为k,则

(3)

由于M点在半平面体内部,从图1中得知x>0,根据式(3)中三角函数的正负号可以判断出θ的取值范围为-π/2<θ<π/2,设直线MA和MB的倾斜角分别为θ1和θ2,斜率分别为k1和k2,则

(4)

由式(3)中的第三式得到

ξ=y-xtanθ

(5)

将式(5)代入式(2)得到以θ为变量的荷载集度函数

(6)

将x和y看作常数,对式(5)求微分并利用式(3)中的第一式得到

(7)

将式(6)和式(7)分别代入三个应力分量的计算公式(1),并利用式(3)中的前两式将对ξ的积分全部转化为对直线倾斜角θ的积分,积分区间从[-b,a]变换为[θ2,θ1],结果如下:

(8)

2 积分与化简

以计算并化简式(8)中的第一式为例,积分时将x和y看作常数,积分结果为

(9)

可以看到式(9)中既有直角坐标项,又有三角函数项,形式不够简洁也不方便计算,需要进一步化简,现利用式(4)将x和y项替换为k1和k2的关系式:

(10)

式(9)中的二倍角三角函数项可以用下面的万能公式进行替换

(11)

另外从式(4)中可以看出tanθ2>tanθ1,再根据正切函数的单调性和倾斜角的取值范围判断出0<θ2-θ1<π,根据平面几何可以算出θ2-θ1即为图1中∠AMB的大小,由于反余切函数的值域正好为(0,π),所以可以先计算出这个角度的余切值,然后用反余切函数表示,已知两角之差的余切公式如下:

(12)

综上所述,利用式(10)、式(11)和式(12)将式(9)整理并化简为以k1和k2为自变量的函数表达式,得

(13)

再计算式(8)中的第二式和第三式,积分得

(14)

(15)

运用相同的方法整理并化简另外两个应力分量(14)和(15),这样便得到了仅以两条直线斜率k1和k2为变量的三个应力分量,结果如下:

(16)

3 结论

在隧道工程和岩土工程中计算地基沉降时需要精确计算出各种荷载条件下土中的附加应力,包括常见的三角形分布荷载和梯形分布荷载。教材中关于半平面体在边界上受法向分布力的计算方法只给出了积分公式并没有计算实例,以三角形分布荷载为例,根据半平面体在边界上受法向分布力的基本积分公式,运用三角函数积分换元法将对直角坐标的积分转化为对直线倾斜角的积分,计算了半平面体在边界上受法向三角形分布荷载的应力分量的精确值,由于积分结果形式较为繁琐,同时含有直角坐标和三角函数项,因而运用了变量整体代换和二倍角的三角函数万能公式进行化简,最终把三个应力分量全部简化为仅以两条直线斜率为变量的函数表达式,结果形式简洁直观,方便工程计算。而对于半平面体在边界上受梯形分布荷载的情况,也可以用类似的方法进行计算。