尺规作图 丰富多彩

徐焱

新课程标准（2021版讨论稿）对尺规作图的学习要求有所提高. 将三角形、全等三角形、轴对称与尺规作图联姻的试题成为2021年中考新热点.

[真题呈现]

例1 （2021·吉林·长春）在△ABC中，∠BAC = 90°，AB ≠ AC. 用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形. 作法不正确的是（ ）.

解析：选项A中，AD是△ABC的角平分线，无法证得△ADC是等腰三角形;选项B中，CA = CD，则△ADC是等腰三角形;选项C中，DA = CD，则△ADC是等腰三角形;选项D中，BD = CD，可证AD = DC = BD，则△ADC是等腰三角形. 故应选A. 该题汇集了常见的基本尺规作图，解题时极易混淆出错.

[追根溯源]

原型1：（八年级上册第48页）已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. （如图1，作法略）

原型2：（八年级上册第36页）由三边分别相等判定三角形全等的结论，可得用直尺和圆规作一个角等于已知角的方法.

已知：∠AOB. 求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B' = ∠AOB. （如图2，作法略）

原型3：（八年级上册第62页例1）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. （如图3，作法略）

原型4：（八年级上册第63页例3）如图4，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？（如图4，作法略）

[变式延伸]

变式1  将单一基本尺规作图与其他知识点联姻

例2 如图5，已知a[⫽]b，直线[l]与直线[a，b]分别交于点[A，B]，分别以点[A，B]为圆心，大于[12AB]的长为半径画弧，两弧相交于点[M，N]，作直线[MN]，交直线b于点C，连接[AC]，若[∠1=40°]，则[∠ACB]的度数是（ ）.

A. [90°] B. [95°] C. [100°]     D. [105°]

解析：由尺规作图知MN垂直平分AB，

∴CA = CB，∴∠CAB = ∠ABC.

∵a[⫽]b，∠1 = 40°，

∴∠ABC = ∠1 = 40°，∴∠CAB = 40°，

∴∠ACB = 180° - 40° - 40° = 100°. 故选C.

变式2 将单一基本尺规作图与推理论证、迁移应用联姻

例3 （1）如图6，O为AB的中点，直线l1，l2分别经过点O，B，且l1[⫽]l2，以点O为圆心，OA长为半径画弧交l2于点C，连接AC. 求证： l1垂直平分AC;

（2）如图7，平面内直线l1[⫽]l2[⫽]l3[⫽]l4，且相邻两直线间距离相等，点P，Q分别在直线l1，l4上，连接PQ. 用圆规和无刻度的直尺在直线l4上求作一点D，使线段PD最短. （两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）

解析：（1）连接OC，由作图可知OB = OA = OC，

∴∠A = ∠ACO，∠ABC = ∠OCB，∴∠ACB = 90°，∴l2⊥AC，

∵l1[⫽]l2，∴l1⊥AC，由等腰三角形的性质可知直线l1垂直平分AC.

（2）如图8，以l2与PQ的交点O为圆心，OP长为半径画弧交直线l3于点C，连接PC并延长交l4于点D，此时PD⊥l4，线段PD最短，故点D即为所求.

变式3 将两种不同的基本尺规作图在同一个问题中联姻

例4 如图9，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）.

A. ∠BDE = ∠BAC      B. ∠BAD = ∠B C. DE = DC      D. AE = AC

解析：由尺规作图知AD平分∠CAB，DE⊥AB于E .

∵∠ACB = 90°，∴∠BDE = ∠BAC，DE = DC，AE = AC，

但∠BAD = ∠B不一定成立. 故选B.

注意：不要将DE看作是AB的垂直平分线.

变式4 将两种基本尺规作图与数学思想联姻

例5 如图10，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC < BC. 分别以点A，B为圆心，大于[12]AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF. 以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC的延长线于点H，连接AH. 若BC = 3，则△AFH的周长为 .

解析：由尺规作图可知，DE是线段AB的垂直平分线，∴FB = FA.

∵∠ACB = 90°，AF = AH，∴FC = HC.

∵BC = 3，∴△AFH的周长 = AF + AH + FH = 2BF + 2FC = 2（BF + FC） = 2BC = 6.

故填6.

[跟踪检测]

1.（2021·湖北·黄冈）如图11，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，F;再分别以点E，F为圆心，大于[12]EF的长为半径画弧，两弧交于点P，则BD与CD的数量关系是       .

2.（2021·湖北·鄂州）已知锐角[∠AOB=40°]，如图12，按下列步骤作图：①在[OA]边取一点[D]，以[O]为圆心，[OD]长为半径画[MN]，交[OB]于点[C]，连接[CD]. ②以[D]为圆心，[DO]长为半徑画[GH]，交[OB]于点[E]，连接[DE]. 则[∠CDE]的度数为（ ）.

A. [20°] B. [30°] C. [40°] D. [50°]

3. （2021·湖北·荆州）如图13，在△ABC中，AB = AC，∠A = 40°，D，P分别是图中所作直线和射线与AB，CD的交点. 根据尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ）.

A. AD = CD      B. ∠ABP = ∠CBP    C. ∠BPC = 115°    D. ∠PBC = ∠A

（答案见第33页）