大学出版社如何利用学校优势做好重点项目

2022-02-09项赟飚

传播力研究 2022年9期

◎项赟飚

(中国科学技术大学出版社，安徽合肥 230026)

一、项目缘起

中国科学技术大学微分几何与拓扑学团队2020年因率先攻克了哈密尔顿-田猜想和偏零阶估计猜想这两个国际微分几何领域20余年悬而未决的难题而刷屏，这一成果无疑是我国2020年度最重大成果之一，先后入选2020年度“中国十大科技进展”“国内十大科技新闻”。

几何是研究形状的科学，是非常直观、自然的学问。生活中处处离不开几何。古典微分几何作为研究曲线与曲面的几何，近年来在诸如计算机辅助设计、三维打印等方面大放异彩。而现代微分几何，看似抽象，却是现代物理学的基石。从爱因斯坦的广义相对论、杨-米尔斯的规范场论到近年来依然热门的弦理论，都是几何学与物理学相互结合、共同发展的最好典范。从某种意义上来说，现代几何学与现代物理学可以看作是同一个事物的两个不同侧面[1]。

拓扑学起源于哥尼斯堡七桥问题，在20世纪得到了飞速发展。我国数学家吴文俊先生在这个方向上曾作出了极其重要的工作。目前拓扑学已经成为现代分析与现代几何的基础。现代微分几何的一个中心问题之一就是几何量、拓扑量与物理量之间的关系。近一个世纪以来，许多著名数学家如陈省身、丘成桐都在这一方面上作出了举世瞩目的贡献。

拓扑学有着广泛的应用，包括物理学(如液晶结构缺陷的分类)、化学(如分子的拓扑构形)、生物学(如DNA的环绕、拓扑异构酶)、经济学(如经济的数学模型，均衡的存在性、性质、计算，系统理论、对策论、规划论、网络论)。过去十年里，这一领域的研究促进了凝聚态物理研究的前沿发展，人们不仅仅对拓扑材料能够在新一代电子器件和超导体中产生应用抱有希望，而且看好其在未来量子计算机方面的应用。2016年诺贝尔物理学奖授予三位科学家——戴维·索利斯、邓肯·霍尔丹和迈克尔·科斯特利茨，以表彰他们发现了物质拓扑相以及在拓扑相变方面作出的理论贡献。拓扑学是三位得奖者能做出这一成就的关键，它解释了为什么薄层物质的电导率会以整数倍发生变化。

中国科学技术大学出版社借助这一契机，开始瞄准学校微分几何与拓扑学重大研究，约请他们对微分几何与拓扑学进行系统总结。

2017年，中国科学技术大学出版社将微分几何与拓扑学的著作进展整合，筛选出《古典微分几何》《近代微分几何》《点集拓扑》《微分拓扑》《代数拓扑同调论》《代数拓扑同伦论》，冠以丛书名《微分几何与拓扑学》申报国家出版基金项目，后成功立项，并获批“十三五”国家重点出版物出版规划项目。

迄今为止，不乏关于每个主题的有关数学教材与著作，然而作为一套系列著作，高屋建瓴地将微分几何学与拓扑学的全貌一气呵成地展示给读者，真是实属少见! 更难能可贵的是，每本著作向读者展示了微分几何与拓扑学深奥的知识点、学科发展的来龙去脉、与诸多学科之间的联系、数学概念之间的渗透，不仅将知识点交待得一清二楚，而且点拨了学习研究微分几何与拓扑学的途径和要领，实属难得。

二、项目主要内容

这套系列著作的亮点是高屋建瓴、条分缕析；先见森林、后见树木；正例反例、全方位启发；构造思维、领创新之路。

首先看微分几何学部分。

大学数学分析的主要内容是牛顿微积分，它为人类认识世界、研究宇宙提供了极其重要的工具。上至天文、下至地理，左至科研、右至教学，前至生产、后至生活，处处难觅不使用牛顿微积分的角落，似乎牛顿微积分已经解决了人类所有的问题。那么，数学家对于牛顿微积分还有什么话要说、在其之后还有什么事要做呢？

“微分几何学”回答了这个问题。“微分几何学”分成《古典微分几何》与《近代微分几何》两册。“古典微分几何”瞄准牛顿微积分未处理但已清晰可见的问题：n维欧氏空间中的曲线、曲面具有什么样的局部性质、整体性质；“近代微分几何”则是微分几何学的进一步发展(包括Riemann几何的完美理论体系，及其与近代物理的密切联系和应用)。

这两本书各具特点。《古典微分几何》一书的特点是：清楚地区分n维欧氏空间中曲线、曲面的局部性质与大范围性质；《近代微分几何》的特点则是：明确地指出微分几何与拓扑学研究的三个重要观点 —— 坐标观点(经典)、映射观点(现代)、活动标架观点(融合与升华)。

在《古典微分几何》的“曲线论”部分，首先复习了数学分析中三维欧氏空间R3的曲线曲率(曲线的弯曲程度)、曲率半径、曲线切向量、弧长、曲率圆、挠率(曲线离开密切平面的程度)等局部性质。紧接着过渡到n维向量空间Rn中更深刻的概念——Frenet标架(与R3不同的、高维空间中使用的坐标系，也称为自然活动标架)；然后通过多个例子给出求曲率、挠率、建立Frenet标架的方法，以加深印象和理解.接着证明曲线论的基本公式(Frenet公式)，并借助于Frenet公式证明曲线论的基本定理(存在与唯一性定理)。这些内容，使得读者清楚了曲线局部性质的学习要领，领悟到曲线局部性质的研究方向。

关于曲线整体性质：通过“4顶点定理”“Minkowski定理”“Fenchel定理”“Fary-Milnor不等式”(关于扭结的全率不等式)以及它们的清晰证明，启示了曲线整体性质所应掌握的内容与研究的方向。

《古典微分几何》的第二个重要部分，“曲面论”，与曲线论异曲同工：将曲面局部性质通过曲面的切向量、切空间以及在解析几何中熟知的例子(旋转面、直纹面、可展面)等内容，清楚地展示出来。之后引入曲面的第一基本形式、第二基本形式；再以曲率为主线，将各种曲率(法曲率、Gauss曲率、测地曲率)的定义、性质、作用以及其间的关系，条理分明地一一刻画。

然后给出曲面的基本方程与曲面论的基本定理。

关于曲面整体性质，则是通过紧致全脐超平面的刚性定理、极小曲面的Bernstein定理、Gauss-Bonnet公式、二维紧致定向流形的Poincare切向量场指标定理，这四个重要定理的叙述与证明，清楚地启示了曲面整体性质的学习要领与研究方向。

我们来看《近代微分几何》，这部分是现代物理学的基础、直接与Einstein广义相对论及Yang-Miles规范场挂钩的现代数学理论；是世界范围内的几何与拓扑学家们对古典微分几何向更高深、更抽象、更智慧、更神奇的几何理论的重要发展与巨大贡献。

读者在学习时会很快体会到三种重要观点。坐标观点：古典观点，接近于Euclid空间中的笛卡尔坐标，也便于计算；映射观点：近代观点，几何直观性强、整体性强；活动标架观点：微分结构与代数结构的结合、崭新的微分几何工具，渗透在《近代微分几何》一书中。这是专著的精华之处，也是作者的匠心所在。

事实上，作者是以崭新观点介绍《近代微分几何》必备的重要专业基础知识的。首先是Riemann几何基本知识，如Riemann度量g、Levi-Civita连络各种曲率、子流形几何(包括全测地、极小、全脐等子流形)；配以大量的极小曲面典型实例，如Veronese极小曲面、Clifford极小超曲面等。而后建立长度与体积的第一变分公式、第二变分公式，以便深入研究曲线长度、子流形体积的局部极小性与整体极小性，其次是星算子*、上微分算子在微分形式上推广了的Laplace算子△、在微分形式上的Hodge分解与同构定理、主特征值的各种估计，以及等谱问题，这些内容的进一步研究，都是当今科学研究的热点。然后给出Riemann几何中四个漂亮而又深刻的比较定理(Rauch比较定理、Hessian比较定理、Laplace比较定理、体积比较定理)，并证明了著名的拓扑球面定理。

下面转向代数拓扑学。

《代数拓扑学》分为三个主题：点集拓扑、微分拓扑、代数拓扑。又将其分为《点集拓扑》《微分拓扑》《代数拓扑：同调论》《代数拓扑：同伦论》四本专著，依次详述，展现了代数拓扑学的全貌与细节。

《点集拓扑》作为拓扑学的起点，同时也是与微积分、复变函数、实变函数这三门数学基础知识课程连接最紧密的一门学科。《点集拓扑》一书充分地体现了这套系列著作“高屋建瓴、条分缕析”的思维风格、“先见森林、后见树木”的治学特色。不多的三章，把点集拓扑的主要任务与内容整理得头头是道、描绘得清清楚楚：“拓扑不变量”的研究、“新拓扑空间”的构造、“基本群”及其计算法。前两者是点集拓扑学的重要任务，后者则直通代数拓扑学的至高点。这不仅使得读者了解拓扑学与近代数学千丝万缕的联系，而且也把大学数学提升到一个新的高度、把点集拓扑学的近代气息完全彰显出来了！这是《点集拓扑》的第一个特点。

仔细阅读“构造新拓扑空间”一章，会发现《点集拓扑》的第二个特点：在“(子拓扑空间，嵌入映射)、(积拓扑空间，投影映射)、(商拓扑空间、商映射)”框架下，指明了原拓扑空间与所构造的新拓扑空间的重要纽带——嵌入映射(或称恒同映射)、投影映射、商映射；解答了为何要构建新拓扑空间、所给定的已知拓扑空间应满足什么条件、已知拓扑空间的哪些性质会遗传给被构建的新拓扑空间，等等。而后利用关键联系(三种映射)详细证明所构建的新拓扑空间的性质，特别是拓扑不变性，也就是从给定空间所能遗传下来(或继承下来)的拓扑性质，如分类性质、各种连通性、各种紧致性、各种正则性正规性。每一步的构建都配以清晰易懂的例子；每一个性质都给予严格的证明；整个第二章前后呼应，一气呵成。

《点集拓扑》的第三个特点，是全书辅以大量的正例、反例。众所周知，数学的高度抽象性，决定了举例子的重要性。特别是给出反例，尤为重要。一般来说，正例比较容易举出，但反例就大不相同了。在微分几何学、拓扑学中，由于这两个学科深层的难度与高度的抽象，要想得到比较直观、容易理解的反例更属不易。

点集拓扑，一般设置在大学本科3年级下学期或4年级上学期、4个周学时的课程。这时期，大学本科数学分析、解析几何、高等代数(常称“老三高”)已经打下基础，复变函数、实变函数课程也已经读完；点集拓扑若恰好与泛函分析课程同时起步，对于培养一个职业数学工作者来说，是很合适的。然而，正如“点集拓扑是从19世纪经典分析到20世纪近代数学的桥梁，其知识与能力的培养至关重要”，特别是从形象思维到抽象思维能力的引导和训练，更是重中之重。诸多问题需要解决，例如，为什么有了直线、平面、人类生活的三维空间，还不够用？为什么要建立抽象的拓扑空间？各种抽象拓扑空间有什么重要拓扑性质？所研究的拓扑性质(分离性、可数性、连通性、紧性)等繁多的概念有何背景与实际意义？特别是各种紧致性之间有何关系？只有明确地解决了这些问题，才能稳步地从形象思维过渡到抽象思维，才能更好地学习近代数学！系列丛书在引入每个新概念的同时，都辅以清晰解说，并给以大量的正例、反例。这些例子连接着经典数学分析与近代数学科学、连接着真实的现实世界与抽象的数学领空。每当遇到一个抽象拓扑概念时、总有非常贴切的正例或反例相伴，帮助初学者理解、认识、抽象、升华。

再往高处、深处，就轮到《微分拓扑》《代数拓扑：同调论》《代数拓扑：同伦论》了。这三个主题中，《微分拓扑》是研究微分流形(如流形、流形等)在一定的映射下(如微分同构、微分同胚、同调、同伦等)保持不变的各种性质的学科。《代数拓扑》则是抽象代数结构(群、环等)与点集拓扑相互渗透、相互联系、相互影响、有机结合的学科。它以群环概念与方法为主要工具、以组合方法给出单纯同调群与奇异同调群，并研究它们的特征性质，特别是拓扑不变性(同胚不变、同伦不变等)。这些都是当代的主流数学。

从连续性开始，到同胚、同构、同调、同伦……读者不难看到，几何与拓扑学家手中这些强有力的重要数学工具，以及由这些工具所刻画的一个个鲜活的自然规律及它们之间的深刻内涵性质。《代数拓扑学》这三本系列专著更让读者深深地领会到：拓扑学家巧妙地利用重要的拓扑不变量，将具有复杂结构的(代数的、拓扑的、微分的)抽象的拓扑流形、微分流形进行分类，从而确定它们是否同胚、同构、同伦。

三、如何利用学校优势做好重点项目

(一)服务学校“双一流”建设

“双一流”建设大学监测指标体系的监测要素“课程与教学”下列有“年度公开出版的代表性教材”、“科学研究成果”下列有“公开出版的专著清单”，这为大学出版社做好重点项目创造了得天独厚的条件。所有的大学都非常重视学校的“双一流”建设，教材和专著的出版是学科评估中一项很重要的指标，所以大学出版社得到了学校政策和资金的支持，出版社可以借此机会从中整合资源做好重点项目。